NOTIONS PRÉLIMINAIRES SUR LES PROGRESSIONS ( I

§ I er . — Progressions par différence.

On donne le nom de progression par différence à une suite de nombres telle , qu’un quelconque d’entre eux surpasse celui qui le suit, ou. est surpassé par lui d’une même quantité. D’après cela, la forme la plus générale sous laquelle

(i) En présentant quelques notions sur les progressions, mon intention n’est point de traiter complètement cette matière , je veux au contraire me borner à ce qui est strictement nécessaire pour l’intelligence de la théorie des logarithmes, à ce qui est indispensable pour l’exposition de cette théorie telle que je l’ai conçue.

Définition.

des nombres en progression par différence peuvent être représentés, est la suivante :

fi t fi — H d j fi 4" id y fi *4" j ••••••*•• i • «

Raison de la La quantité d , qui représente la différence 1 C constante entre deux de ces nombres consécutifs, s’appelle la raison de la progression.

Dans le cas où les nombres sont disposés de manière à aller constamment en croissant, c’està-dire lorsque la quantité d est positive, on dit que la progression est croissante ; dans le cas, au contraire , où les nombres vont sans cesse en diminuant, c’est-à-dire lorsque d est négatif, on dit qu’elle est décroissante.

Il faudrait donc, pour représenter ces deux sortes de progression , employer les deux symboles suivants :

a , a-+-d, a-\-zd, a-\-Zd, . . ’

pour la progression croissante, et

pour la progression décroissante.

Mais on sait que lorsqu’une vérité est démontrée pour un seul de ces symboles, le premier, par exemple, elle l’est également pour l’autre. La nature des procédés algébriques est telle, en effet , que les quantités qui entrent dans

les résultats obtenus les vérifient également , soit qu’elles y figurent avec le signe , soit qu’elles y figurent avec le signe — , pourvu , d’ailleurs , que ces résultats soient indépendants de toute supposition primitivement faite sur la nature positive ou négative de ces mêmes quantités.

Lorsque dans une question particulière on rai- Progressions

sonne sur un nombre fini de quantités qui sont prog ressions

' indéfinie».

en progression par différence , cette progression a nécessairement pour limites la plus grande et la plus petite de ces quantités; toutes les autres viennent se placer entre celles-là dans le rang que leur grandeur leur assigne. Mais une progression étant ainsi commencée, rien ne s’oppose à ce que l’esprit la conçoive indéfiniment prolongée en dehors de ces limites, par une suite de nouveaux termes déduits les uns des autres , au moyen de la loi à laquelle sont soumis les premiers. Au-delà de ces deux limites, les nouveaux termes, formés par l’addition ou la soustraction successive de la raison, iront sans cesse en augmentant d’une part, et en diminuant de l’autre, de manière à atteindre, les uns l’infini positif, les autres l’infini négatif, limites naturelles entre lesquelles se trouvent comprises toutes les progressions par différence. C’est sous ce point de vue plus large qu’il faut s’accoutumer à considérer ces sortes de sé-

ries; un nombre fini de termes formés et disposés en progression n’en est pour ainsi dire que l’ébauche, c’est la seule chose qu’il soit permis d’en voir ; mais le reste doit toujours se penser. Rangs des Dans une progression dont le nombre, de progression, termes est limité, le rang de ces termes est naturellement déterminé par la place même qu’ils occupent dans la série; le premier est celui qui est écrit en tête de la progression et à sa gauche , le dernier celui qui la termine à droite.

Mais dans la progression considérée connue série indéfinie, et s’étendant de l’infini négatif à l’infini positif, le rang des termes ne saurait plus être déterminé par ce procédé; et il faut, si l’on veut s’entendre , recourir à une convention pour désigner ces rangs. Pour cela, je remarque que , dans une pareille progression , il y a un nombre infini de termes négatifs et un nombre infini de termes positifs; or, c’est au point . où l’opposition des signes se manifeste qu’il est le plus convenable de commencer à compter les rangs. Le terme du rang i est donc le premier des termes positifs; celui du rang a le deuxième,, et ainsi des autres. On dit ensuite que le premier des termes négatifs occupe le rang — i , le deuxième le rang — i , le troisième le rang — 3, etc., etc.

Par exemple, si l’on désigne le premier terme positif par a , le premier terme négatif par — a ' , et la raison par d, voici comment , à droite et à gauche de ces termes, sera conçue la progression : •

• • • ^ — d 9 — fl’j H“fl } -ha-hdj -f-fl *?.d y . . . j

en conséquence on dira que

-ha occupe le rang i ,

-h a-hd le rang i,

-ha-ht-d le rang 3 ,

et que

— a' occupe Je rang — i ,

— a' — d le rang — a,

— a' — 2 d lç rang — 3 ,

et ainsi de suite.

On voit donc qu’en général les termes des rangs n et — n seront respectivement égaux à

a-h(n — i )d et a' — ( n — i )d,

et l’on peut remarquer que leur somme se réduit à <z — a! \ d’où l’on conclut que la somme de deux termes, dont les rangs ne diffèrent que par le signe, est constante et égale à la somme algébrique du premier terme positif et du premier, terme négatif. .

progressions p 0 ur l'objet qui nous occupe, il n’est pas né-

progressions cessa i re ( | e considérer les progressions sous leur

simples. i o

forme la plus générale. Il nous suffira d’étudier quelques propriétés de celles dans lesquelles a est nul, et par conséquent — a' égal à — d; je donnerai à celles-ci le nom de progressions simples , et aux premières celui de progressions composées ; on peut remarquer qu’une progression composée n’est autre chose qu’une progression simple dont tous les termes ont été augmentés d’une même quantité : ce qui justifie suffisamment les dénominations que j’ai affectées aux unes et aux autres.

Cette sorte de progression s’écrira donc sous la • forme suivante :

— 3 d, — 2 d, — d, O, d, id, 3 d,.'....

Rang* des Ici se présente une observation à faire relative-

termcs d une r

P™^“ 8 e ion ment au passage des termes négatifs à ceux qui sont positifs : dans les premiers la quantité d figure toujours avec le signe — , dans les seconds avec le signe -K

Le terme zéro est le seul qui ne possède la raison ni de l’une ni de l’autre de ces deux manières.

Ce terme ne peut appartenir à la classe des termes positifs, puisque comme eux il n’est pas plus grand que zéro ; et d’un autre côté il ne peut

appartenir à la classe des ternies négatifs , puisque comme eux il n’est pas inférieur à zéro.

On voit donc qu’en réalité il n’appartient spécialement à aucune des deux classes; qu’en conséquence on ne peut donner à son rang ni un indice positif qui l’assimilerait à ceux de la première, ni un indice négatif qui l’assimilerait à ceux de • la seconde; voilà pourquoi nous adopterons le parti de donner à ce terme, seul de son espèce, le rang zéro.

Par suite de cette convention ,

Le terme du rang i sera égal à la raison ,

Celui. ... du rang i à î fois la raison

Celui.... du rang 3 à 3 fois la raison,

et généralement

Celui.... du rang n à « fois la raison.

Le terme du rang — i sera égal à moins la raison,

Celui.... du rang — i à — 2 fois la raison,

Celui. . . . du rang — 3 à — 3 fois la raison,

et généralement

Celui.... du rang 1 — n à — n fois la raison.

On voit donc que dans les progressions par différence simples les termes qui occupent des rangs dont les indices ne diffèrent que par le signe font une somme algébrique égale à zéro.

De la somme de deux termes de'rang quelconque d’une

progression simple par différence.

Occupons-nous maintenant de déterminer la somme de deux termes de rang quelconque d’une progression simple.

Il pourra se présenter deux cas : ou ces termes seront de même signe, ou ils seront de signe con-

traire.

i er cas. Soient ±.m et ±. n les indices des rangs de ces deux termes, leur somme sera égale à '•

± md rfc nd.

qu’on peut écrire ± + n)d, c’est-à-dire que

cette somme est un nouveau terme de la progression qui occupe le rang ±(m-+-n).

a e cas. Si les indices sont de signes différents, il arriyera que l’un d’eux étant ±m , l’autre sera q: n; leur somme sera donc

md q: nd,

qu’on peut écrire ± ( ni — n ) d, et c’est encore un nouveau terme de la progression dont le rang s’obtient en faisant la somme algébrique des indices qui marquent les rangs des termes ajoutés.

Ainsi, quels que soient les termes dont on s’occupe , leur somme est égale à un nouveau terme de la progression, et la somme des indices de leur rang exprime le rang de ce nouveau terme.

Soient deux termes quelconques ±. nid ifc nd Uo diffé d’une progression : on veut soustraire le deuxième termes do

ru 7 rang quel-

du premier, le résultat de l’opération sera conque d’une

r ' i progression

simple par

zfc nid qz nd, différence.

qu’on peut écrire ±{m — n)d.

C’est, comme on voit, un nouveau terme de la progression dont le rang ± (m — ri) est égal à la différence entre les indices ±m et ±n des rangs des nombres soustraits.

Si les deux termes sont de signes contraires et représentés par zh md et qr nd, leur différence sera '

± md rt nd,

qu’on peut écrire ±(m-\~n)d, et on retombe encore sur un terme de la progression dont le rang ±:(m-\-n ) est égal à la différence entre les indices rh m et qr n des rangs des nombres soustraits. •

De là on conclura que, quels que soient les termes dont on s’occupe, leur différence est égale à un nouveau terme de la progression ,' et que la différence algébrique des indices de leur rang exprime le rang de ce nouveau terme.

Il résulte du premier de ces deux théorèmes Du produit

, d’un terme

que, si 1 on ajoute tant de termes qu on voudra d’une pro-

„ , gressionsim-

tl une progression simple par différence, la somme par difle-