HD

: donc , en

prenant -r pour valeur de r, on commet une er-

reur moindre que — i , erreur d’autant plus petite ,

que la quantité ^ l’est elle-même davant a ge , et que

par conséquent on est le maître d’atténuer autant que l’on voudra. Il s’ensuit que si je fais diminuer à

volonté les quantités et ^ , pourvu que je

laisse le rapport — constant , la valeur de r

ne changera pas , et les limites qui la comprendront se rapprocheront indéfiniment l’une de l’autre et de cette véritable valeur. Or, comme

dans cette marche elles convergent vers — , qui

est resté invariable, il s’ensuit que — est non-

seulement une valeur approchée , mais la valeur exacte de t.

La condition cherchée est donc exprimée par l’équation

—, = J «U fld=f t 'd'.

fi d

Du module II résulte du théorème précédent que i

et de scs a

propriétés. u étant les raisons des deux progressions , on peut, sans sortir du même système, faire varier d et ^ pourvu que leur produit reste constant.

( io 9 )

La valeur de cette constante peut donc être prise pour spécifier chaque système : on lui a donné le nom de module y et la manière dont nous sommes conduits à sa considération prouve en même temps l’importance de cette quantité et le véritable rôle qu’elle joue dans la théorie des logarithmes. Liant ensemble les quantités d et /u, qui caractérisent elles-mêmes les deux progressions, le module fait voir comment p doit varier avec d , afin qu’on soit le maître, dans les calculs logarithmiques, d’adopter telle valeur qu’on voudra de la raison de la progression par quotient, sans que ]es résultats obtenus cessent de pouvoir être considérés comme faisant partie d’une seule et même progression par différence dont la raison définitive pourra être considérée égale à la plus petite des valeurs qu’on aura été conduit à admettre pour la quantité fj, dans le cours complet de ses variations.

Je ne sais si je m’abuse, mais il me semble que cette définition du module satisfait mieux l’esprit, indique mieux son importance et le caractère de son véritable rôle que les définitions ordinaires qu’on donne de cette quantité.

Si, à l’exemple de presque tous les auteurs d’éléments, nous ne faisons connaître le module qu’en parlant des développements en série, nous

sommes bien convaincus de son importance, mais dans cette conviction il y a, comme je l’ai dit dans l’avant-propos, du parce que plutôt que du pourquoi. Ajoutez à cela qu’en agissant ainsi, on condamne les élèves à n’avoir une idée du module que lorsqu’ils ont poussé très loin les études algébriques.

Si nous disons, avec d’autres, que le module est le rapport qui existe entre le logarithme d’un nombre très voisin de l’unité et ce même nombre diminué de un , nous connaissons là une des propriétés du module , mais cela est insuffisant po.ur nous donner une idée de son importance et de la manière dont il est mis en jeu dans la formation d’un système de logarithmes.

Maintenant, pour compléter ces études, montrons que la quantité /ud, que nous appelons le module, est bien en effet ce qu’on est généralement convenu d’appeler de ce nom : prouvons,

par exemple, que l’on doit avoir fud— — ,

et qu’en général /ud = log e, e désignant la base des logarithmes népériens.

On a log N i — log N — ^/u,, avec une er-

reur moindre que ^ ; donc

log

= log

tlf4

et enfin

C’est précisément la formule précédente, et l’on

voit qu’elle sera d’autant plus exacte que N sera plus petit, puisque la limite de l’erreur décroît comme le carré de 4,.

Pour la seconde proposition , nous ferons remarquer que la valeur la plus simple qu’on puisse donner à du est l’unité. Dans ce cas, on tombe sur le système de logarithmes appelé népérien, dü nom de l’inventeur de la théorie logarithmique.

La base de ce système, d’après ce que nous avons dit dans la i re section du chapitre III, est

égale, quelle que soit la quantité d, à

t i -t- j ) , et puisque fui est égal a i, on en con-