CHAPITRE IV

DÉVELOPPEMENTS COMPLÉMENTAIRES SUR LES BASES DES DIVERS SYSTÈMES DE LOGARITHMES.

de définir un Dans la première sèction du présent Mémoire , en parlant des différents systèmes de logarith- $ ra u on* de^a* mes > j’ a i dit que le choix de la progression P pard?ffé° n P ar différence restant arbitraire, il en résulrence. tait que pour chaque valeur de la raison de cette progression on , obtenait un nouveau système de logarithmes, et qu’en conséquence il semblait naturel de se servir de cette raison pour caractériser un système , de dire que cette raison en était la base. J’ai ensuite ajouté que ce n’était point ainsi qu’on définissait la base d’un système, et qu’on réservait cette dénomination à celui des nombres qui , dans chaque système , avait pour logarithme l’unité ; enfin j’ai appris à déterminer ce nombre.

Il aurait été difficile d’en dire alors davantage, parce que, d’une part, notre plan d’exposition serait devenu plus compliqué, et que, de l’autre,

il est probable que nous aurions été moins facilement compris par les lecteurs encore peu familiarisés sur les matières qui font l’objet de ce Mémoire. Maintenant il importe de montrer qu’en adoptant comme seul élément de la base d’un système de logarithmes la valeur de la raison de la progression par différence, on serait tombé dans la confusion , et que le seul moyen de définir un système , de le caractériser nettement , c’est de faire usage de la base communément employée, ou du moins d’un équivalent.

Pour se convaincre de cette vérité , il suffit de remarquer que le logarithme d’un nombre K dépend non-seulement de la raison /u de la progression par différence, mais encore de l’exposant n de la puissance à laquelle il faut élever la raison de- la progression par quotient pour obtenir N. Cette observation suffit à elle seule pour montrer que faire dépendre le système de la quantité ju seulement, c’était en réalité ne rien arrêter de fixe ; et que , suivant qu’on se serait imposé la condition de calculer les nombres avec tel ou tel autre degré d’approximation , le logarithme du même nombre, dans le même système, aurait reçu des valeurs différentes pour chacun de ces degrés.

Si la limite convenue pour l’évaluation des

( IOO )

nombres restait invariable, si cette limite était adoptée la même par tout le monde, il s’ensuit que la raison de la progression par quotient, et par conséquent la progression elle-même, seraient invariables comme cette limite; dans ce cas il n’y aurait aucun inconvénient à dire que chaque système est complètement défini par le choix qu’on aurait fait de la progression par différence. Mais il est évident qu’une semblable hypothèse est inadmissible, non point à cause de la difficulté qu’il y aurait de la faire adopter par tout le monde, mais parce que la limite d’approximation qu’il est nécessaire d’obtenir dans l’évaluation des nombres, suivant les diverses circonstances de calcul dans lesquelles on peut se trouver, reste complètement indépendante de toute convention faite à cet égard.

Cela posé, si l’on prenait .1 -h ^ pour raison de la progression par quotient , on aurait

et, si u est la raison de la progression par différence, ou en conclurait • 7

logM =r rilft, logN = rifi, log R = rft. . . .

. Dlgiii;

Mais si , voulant une approximation plus grande ou plus petite que la précédente, on prend i -4- -p pour raison de la progression par quotient^ on aura

et alors , en conservant toujours la même valeur de fx , il viendra.

log M = m'fi , log N = ri p , log K= r'ft ....

Donc, comme dans les deux cas /u est resté le même , il s’ensuivrait qu’en désignant la base d’un système par u . , il faudrait admettre que dans ce même système les logarithmes des mêmes nombres M , N , R, peuvent être indistincte-

ment ou mu , n/u, r/u, ou îript, ri fi, r'/u. . . .

Cette conséquence est-elle rationnelle? C’est ce que nous allons examiner.

Il est évident que du moment où l’on prononce le mot système , on entend que dans ce cas le logarithme d’un nombre devient une quantité fixe invariable dont la valeur n’est plus susceptible d’être confondue avec celle qui pourrait correspondre à un système différent de celui-là; dans

la recherche de cette valeur on pourra bien approcher plus ou moins du but , suivant le degré d’approximation plus ou moins grand dont on aura fait usage ; mais toutes ces variations viendront se grouper autour d’une valeur fixe dont elles s’approcheront ou s’éloigneront d’après une loi uniforme, suivant qu’on fera usage d’une approximation de plus en plus grande ou de plus en plus petite.

Les caractères essentiels que nous venons de mentionner appartiennent-ils aux valeurs précédentes des logarithmes de M, N, R , .... c’est-àdire les valeurs m/j,, n/u., r/u et m’/u. , n'u, r'fx, jouissent-elles de cette propriété qu’on peut les considérer comme les variations éprouvées par les véritables valeurs de logM, logN, logR, suivant qu’on a procédé dans les calculs avec un degré de précision plus ou moins grand ; en un mot , y a-t-il une limite finie de laquelle elles s’écartent plus ou moins, et vers laquelle elles convergent à mesure que l’approximation numérique augmente ?

Il est facile de montrer qu’il n’en est point ainsi .

En effet, il ressort aisément de ce que nous avons dit sur la constitution de la progression par

quotient, que pour une raison i -t- ~ la valeur de

m, qui satisfait à l’équatio» M = ( i , doit

être supérieure à M M - d. Pour s’en convaincre, il suffit de remarquer que la différence entre le terme M et le suivant est M-.; et comme toutes

les différences antérieures sont moindres que celle-ci, on en conclura que le nombre de termes de la progression qui précèdent le terme M est supérieur au quotient de la différence totale

M — i par , c’est-à-dire à M — 1 d : il suit de là

que , quel que soit d, on aura

et, par suite,

logM> ^ïir^

Or m restant le même, à mesure que l’approximation ^ est plus grande, d , qui est égal à PR ,

augmentera sans cesse en proportion, sans que rien limite cette augmentation en vertu de laquelle d atteindra une valeur infiniment grande

lorsque la limite d’approximation sera elle-même devenue infiniment petite. Nous arriverions donc à cette conclusion ^ue, sans changer la raison de la progression par différence , la valeur du logarithme de M devrait croître sans cesse jusqu’à l’infini, à mesure que la limite d’approximation avec laquelle on calcule les nombres devient de plus en plus petite, et atteint elle-même zéro.

En voilà certes bien assez pour montrer qu’un système de logarithmes ne pe^it en réalité être défini par la seule quantité /u, et qu’il ne • pourrait alors présenter quelque chose de fixe que tout autant qu’il serait possible de convenir que l’on calculera à tout jamais les nombres avec une limite d’approximation invariable , mais iqu’en dehors de cette convention un système défini par la quantité /u seulement ne présenterait que confusion. •

Rechercha Ces observations tendent à nous faire penser 'non 1 "a- 1 que si dans la formation des tables logàrithmi- |U saiufàire Ut ques on veut avoir un système réellement fixe, la vcrV couples condition qu’il faut s’imposer doit frapper à la sl^sparSf- fuis les deux progressions; que cette condition par^quo tient doit être une relation à l’aide de laquelle la raison ■ ! i^sv s {«'me» d e la progression par différence sera assujétie à identiques, décroître en même temps que la limite d’approximation adoptée pour l’évaluation des nom-

bres ; par ce moyen la valeur des logarithmes dans un système , au lieu de marcher sans cesse vers l’infini à mesure que l’approximation augmente, converge vers une quantité constante et invariable pour ce système, mais susceptible de changer d’un système à l’autre» A ces conditionslà nous aurons établi, sous le point de vue logique, un véritable système. Examinons maintenant la nature des développements que l’analyse mathématique apportera à la réalisation dé cette pensée.

Or, si l’on ne perd pas de vue l’esprit dans lequel notre travail a été conçu, on se convaincra sans peine que ce qui caractérise un système, ce n’est pas seulement que fx est la raison de la progression par différence, mais c’est qu’en même

temps u est le logarithme de i 4 - ^ , c’est-à-diré

de la raison de la progression par quotient.

• Cela, posé , si maintenant je veux adopter pour cette dernière une valeur plus petite

que i 4 - ^ , par exemple r 4- j, } il faudra , si je

ne veux pas changer de système , qu’avant tout

le logarithme de i 4 - ~ reste toujours égal à u-

Or, si t est le degré de la puissance à laquelle il

( io6 )

faut élever i -4- ~ pour avoir i -+- on aura

et si l’on appelait u! la raison de la nouvelle progression par différence correspondant à 1 -4-^, il

faudrait , pour que les deux systèmes de logarithmes rentrassent l’un dans l’autre, qu’on eût r/u' =(jl. Il est facile de se convaincre que, s’il en est ainsi , les logarithmes du même nombre N seront toujours égaux.

En effet, on aura simultanément

N= ( ,+ rf) et •

Donc , dans le premier système , on aurait logN = Tif * , et dans le second logN = rn/jt,' , ce qui revient absolument au même, et d’où l’on conclut qu’en effet les deux systèmes sont identiques , pùisqu’ils donnent les mêmes valeurs pour les logarithmes des mêmes nombres.

Ceci montre que deux systèmes qui auraient /u et m' pour raison rentrent l’un dans

l’autre, pourvu que le rapport — soit égal à la

( lo 7 )

quantité r déduite de l’équation de relation (i), qui lie l’une à l’autre les raisons des deux progressions par quotient.

Reste à déterminer r : or, comme i -+- y. est moindre que ( i -4- J T ,. il s’ensuit que la valeur de r , tirée de i -H- ~ = i + ^ , sera trop

grande ; et , puisque çette valeur est ^ , on en

conclura qu’on doit avoir r < — .D’ailleurs, dans la progression dont la raison est , la différence

entre le terme i-+- ^ et celui qui le suit immédiatement est ^ i + ~ ; et comme toutes les diffé-

rences précédentes depuis i sont plus petites que . celles-là, il s’ensuit que leur nombre ou r sera

plus grand que la différence totale ^ divisée par

^ i -+- ^ ; on aura donc r >

rence des deux limites est

. La diffé-