CH
Jante :
^X(3nî,69—2x0",04 1 )X0«,04 rx0„„210=
Nervure sous la jante :
::(3",69— 4X0'",041)X0 ,04lx0m,034==
Huit bras :
8xl°,323[ Q'^'^Q^+Q"'^- xO">03 l+0"/>55xQ'»,022] -
0,lô72r>7
Moyeu :
Cube total de la fonte= Poids de la roue dentée :
2585 kg.
La charge totale verticale que l'arbre de la roue hydraulique aura à supporter est donc :
Nous avons ainsi tous les éléments nécessaires pour calculer la section de cet arbre et les dimensions de ses tourillons.
§ G. — Calcul de l*arbre «le la i*oile lijfdratillqiie et de «e» toui*lllonM*
Cet arbre est soumis à des forces verticales comprenant une charge uniformément répartie (son propre poids) et des forces distinctes dont la résultante est 17030 kilogr.; ces forces verticales tendent à le faire
fléchir ; il doit, en outre, résister à la torsion résultant du travail que cet arbre «oit transmettre à la roue d'engrenage calée sur Tune de ses extrémités. En consultant la figure 4 de la planche XXIV, on voit que l'arbre est un solide prismatique reposant sur deux appuis de niveau, en A et F. Les charges distinctes sont appliquées en B^ G» M, D ; elles ont respectivement pour valeur : ^
En B, le poids de la roue dentée ou 2585 kil.
En C, C)>
Une couronne extérieure, une embrassure, un quart de la fonçaille, un quart des augets, un quart des entretoises reliant les embrassures, un quart des entretoises en fer rond reliant les couronnes, un cercle sous la fonçaille, un tourteau et m\ tiers des autres ferrures ; un quart du poids de l'eau; ensemble . . . 4235 kil.
En M,
Une couronne intérieure, une embrassure, moitié de la fonçaille, moitié des augets, moitié des entretoises reliant les embrassures, moitié des entretoises en fer rond reliant les couronnes, deux cercles sous la fonçaille, un tourteau, un tiers des autres ferrures; moitié du poids de 1 eau. Ensemble , 5975 kil.
En D, comme en G 4235 kih
Résultante = 17030 kil.
Pour tenir compte du poids de l'arbre en chêne et de ses tourillons» nous lui supposerons un diamètre de 0°<',600; sa longueur étant de qua' tre mètres , son poids est :
950k«XitXÔ^*'x4»,00= 1068 kg ;
disons 1100 kilogr.,en nombre rond.
Les réactions Qo et Q^ des appuis se calculent comme suit : Réaction Qo :
Moitié du poids de l'arbre. 550 kil.
Gomposante de la charge en B :
2585kgX?!!î^rr: 2321
Composante de la charge en G :
Composante de la charge en M :
5975^gX=^= 2784
Composante de la charge en D :
4235kgxV^= 433
Valeur de Qo= 9601 kil.
') Voir les détails dM calculs relatifs à la détermination do poids de laroae et de l'eau coDtenae dans les augets.
La réaction Qi a donc pour valeur :
Q4=^17030'^-fll00*^— 9601=8529^.
ATinspection de la figure, on voit que la plus grande valeur da moment âéchissant a lieu en M; elle se calcule en considérant soit les forces verticales qui agissent sur Tarbre à droite de cette section, soit celles qui agissent à gauche .
En prenant celles qui agissent à droite, on a :
(iL=:8529x2'»,05— 4235X1'»,60— -i^x— r-=10484 .
Le moment Pp du couple produisant la torsion de l'arbre a pour valeur :
Pp=1278J^X2«,835=:3623.
Le rayon r de l'arbre doit être calculé en tenant compte que cet arbre doit résister simultanément à la flexion et à la torsion. Il faut donc appliquer la^formule Ç) :
En prenant :
R=600.000 kilogr.;
et en substituant aux lettres leurs valeurs, on a :
d'où:
r=:0",286 ; soit 0",290.
L'arbre aura pour section celle d'un octogone régulier circonscrit à un cercle de 0™,290 de rayon.
La surface de l'octogone régulier circonscrit à un cercle a pour valeur :
Sr^S— l) =8x5]29'V2— l)i=:0"^296705.
Le poids de l'arbre est donc, non compris ses tourillons :
950i^x0,296705x4"z^ll27 kilogr.
(*) Voir la !'• introduction de la série A, Hésislufice des malérinux .
La différence qui existe entre ce poids et celui que nous avons admis à priori est assez faible pour nous permettre de conserver le résultat fourni pour r parles calculs qui précèdent.
Gomme les tourillons de l'arbre n'ont pas à résister à la torsion, leur diamètre et leur longueur se calculeront en ayant égard à ce que la pression qu'ils exerceront sur leurs coussinets ne dépasse pas 15 kilogrammes par centimètre carré de la projection horizontale de leur surface de contact avec leurs coussinets ; si d est le diamètre d'un tourillon et l sa longueur, cette projection :
=lxd.
L'un des paliers supporte la pression :
Qoi;r9601 kilogr., et Tautre la pression :
Qi=:8529kilogn
Pour le tourillon A (flg. 4 pi. XXIV), nous aurons :
9601k=fc<ctXl5, en exprimant letden centimètres ; si nous faisons :
/=l,5rf (relation habituelle), nous aurons :
l,5xl5flr=9601 ; d'où :
nous prendrons :
rf=i(i",210
et :
Pour le tourillon F, nous aurions :
soit:
rfzz0m,20
et :
/--ll,50x0^200=^'»,300.
En raison de ce que les dimensions que fournit le calcul sont peu
différentes pour les deux tourillons, nous leur donnerons à tous deux :
rf=0«»,210 et :
afin de n'avoir & faire qu'un seul modèle pour les deux paliers.
Chacun de ces tourillons est fondu avec un plateau boulonné sur une cloche en fonte maintenue sur Textrémité de Tarbre au moyen d'un calage effectué avec du bois dur et sec, de Om.OôO d'épaisseur.
L'une de ces cloches reçoit la roue d'engrenage qui transmet le travail de la roue hydraulique. Son épaisseur se calcule comme celle d'un moyeu de roue, par la formule :
2Pr e:iZ'
fR-Kld '
Ici, il faut prendre :
Pr=1278kx2«»,835^=3623 ;
/■-0,20, /=0",800, (i=0°»,700, et :
R^l . 000.000 kilogr.
Donc :
prenons 0^1,060 comme nombre rond.
Afin de n'avoir qu'un seul modèle de cloche, nous donnerons la même épaisseur à la cloche du tourillon F, bien qu'elle n'ait à transmettre à l'arbre, ainsi que le montre la figure 4 de la pi. XXIV, qu'un quart du travail de la roue hydraulique.
Il nous reste à calculer les dimensions des tourteaux qui servent à relier les bras de la roue hydraulique avec son arbre.
On peut se borner à faire ce calcul pour le tourteau de l'embrassure intermédiaire car il doit transmettre à l'arbre la moitié du travail de la roue hydraulique. Le diamètre intérieur de la lumière de ce tourteau est de 0°>,700.
Si, dans le calcul de l'épaisseur du moyeu de ce tourteau, on s'en tenait à l'application de la formule ci-dessus comme :
et comme :
/nO-,300
il en résulterait :
Mais il faat tenir compte de la nécessité de placer, autour de ce moyeu, les 8 bras composant Tembrassure intermédiaire; cela nous a conduit à faire :
Il faut, d'ailleurs, tenir compte du surcroît de tension, par rapport à celle due au travail à transmettre, résultant du serrage des coins en bois servant à opérer le calage du tourteau sur l'arbre et que Ton enfonce à coups de marteau ; il faut compter que ce serrage quadruple environ la tension correspondant au travail à transmettre.
En calculant la section des bras de la couronne intermédiaire, nous avons trouvé que chacun d'eux est soumis à une force transversale de 682 kilogr., appliquée à une distance du centre de la roue égale à :
Le bras est boulonné dans une boîte venue de fonte avec le moyeu du tourteau ; le fond de cette boîte a 0",505 de hauteur (suivant le rayon de la roue), 0'",230 de largeur et nous lui donnons une épaisseur de 0",035 ; les côtés de la boîte ont la m^me hauteur de 0",505 et une largeur de 0'",120; nous allons en calculer l'épaisseur.
Pour cela, remarquons que la force tangentielle de 632 kilogr. appliquée à la circonférence moyenne des couronnes de la roue hydraulique, devient, en la rapportant à la circonférence extérieure du tourteau (voir la planche XXIV) :
0in,980
Cette force tend à faire fléchir la boîte . L'épaisseur des côtés de cette boîte se déduira donc de la relation générale :
Nous avons ici :
IJL=1726x0»",505=872 ;
en désignant par x l'épaisseur cherchée ;
Nods prendrons :
Il en résulte :
R=l. 500.000 kilogr.;
070^ 1,50Q.Q00[0,155xÔ;23Q'— 0,120 (o,23a--x)'J
d'où :
0m,23— a=VO,0082483z=Om,202 ; ii en résulte :
ar=0-,230— 0,202=0«n,028 :
Nons avons adopté :
Lé volume de la fonte formant ce tourteau comprend :
Moyeu octogonal formé de deux octogones réguliers concentriques circonscrits à des circonférences ayant respectivement pour rayons :
0»,350ct0",475:
mélre cabe 8(0475^—0350') (v^2— l)x0m,300:r 0,102465
8 boîtes recevant les bras :
Nervures réunissant les extrémités des 8 boîtes :
(2itX0^,980— 8X0«»,290JX0,12X0«»,025= 0,011 .512
8 nervures triangulaires et évidées réunissant les côtés des cages :
Volume total de la fonte du tourteau = 0,199.053
Poids du tourteau intermédiaire :
7200x0,199053=1433 kilogr.
1 7. — DlmeiiAlon» de la deuxième paire d'engrenage» et de l*arbre Intermédiaire* — > Diamètre de l*arbre de couche*
La deuxième paire d'engrenages cylindriques servant à relier Turbre intermédiaire à l'arbre de couche étant placée dans Tatelier, nous pouvons armer la roue de dents en bois de cormier, le pignon ayant ses
dents en fonte. On obtient ainsi une meilleure marche des engrenages, qui font moins de bruit que les engrenages marchant fonte contre fonte.
Nous savons que le travail transmis par la roue hydraulique est de 1278 kilogr. par seconde.
Il faut en retrancher le travail absorbé par le frottement des touriU Ions de son arbre.
Ces tourillons supportent ensemble une charge totale de :
17030k+1127=18.157 kilogr.;
ils font 3t,37 par minute et ont 0°>,210 de diamètre ; en comptant sur un coefficient de frottement =0,10» le travail absorbé par le frottement de ces tourillons est :
/.in io,-m 7rX0ni,210x3,37 ^^ , 0,10x18157 kg.X -^, — -^=:67 kgm.
par seconde.
La roue dentée de 164 dents recevra donc un travail de :
1278— 67=121 Ikilogm.
De telle sorte que le travail effectif, mesuré sur le pignon mené par cette roue sera, en réalité :
T»=121l[l-^,157r(^+^i^)]=rll92 kgm.
par seconde, au lieu des 1258 kilogr. trouvés page 132, en négligeant le frottement des tourillons de la roue hydraulique*
Nous maintenons néanmoins les dimensions calculées pour la première paire d'engrenages, parce que l'erreur est commise par excès et parce qu*elle est, d'ailleurs peu, importante.
L'arbre de couche doit faire 70 tours par minute et l'arbre intermédiaire en fera :
164 dents , ^ ^^ 3i,37x rs ^=:15i,35.
Le pignon calé sur l'arbre de couche doit comporter au moins 36 dents en fonte. Gomme les dents de la roue sont en bois, la formule dont nous nous sommes servi précédemment pour calculer le plus petit rayon primitif du pignon, dans une paire d'engrenages marchant fonte contre fonte, doit être modifié.
Il faut se reporter aux calculs établis dans le Mémoire du projet n"" 1 de la série B, Cinématique.
La résistance du bois de cormier peut être prise égale à la moitié de celle de la fonte ; par conséquent, c étant l'épaisseur des dents en fonte, celle des dents en cormier sera :
cnzc^Jï»
la somme des épaisseurs d'une dent du pignon et d'une dent de la roue sera donc :
c+c'—cil+y/^).
Si Ton donne à ces dentures le même jeu qu'à des dentures fonte contre fonte» ce qui est suffisant, le pas des engrenages sera :
c(l+V2 )+0,2 c=:c(l,2+v'2 )• Le rayon primitif r du pignon ayant 36 dents, se déduira de :
Tzr
jg — (l.^v/2 )
mais nous savons que :
6Pn Rw/"'
donc :
epw
Rw'
En nous reportant à la série B, Cinématique, Mémoire du projet n"" I, page 10, nous avons :
-^r' ^ ^,4 /6» TX75X60.
d'où» en faisant :
nzz:l,05 :
C'est à l'aide de cette formule que nous calculerons la plus petit rayon primitif qui puisse être adopté pour le pignon de la deuxième paire d'engrenages.
Nous avons :
11 go
nous prendrons :
mzt» et R=:2X10» ; il Tient donc :
nous prendrons :
r'-0ni,270 ;
le diamètre primitif du pignon sera donc de 0in,540 et ce pignon aura 36 dents en fonte.
La roue à dents de bois devrait en comporter : et son diamètre devrait être :
1Ô4 Qin,540X^=2m,46.
Ce diamètre exige que la roue comporte 8 bras ; elle sera, d'ailleurs, exécutée en deux pièces, afin qu'on puisse» lorsque les dents en bois seront usées, démonter la roue pour la redenter à nouveau dans Tate* lier d'un mécanicien.
D'autre part, il faut que le nombre des dents d'une roue à dents de bois soit dividible par le nombre des bras de cette roue ; comme 164 n'est pas divisible par huit, il faut adopter 160 ou 168 dents. En adoptant 160 dents, on serait conduit, pour conserver le rapport des vitesses de la roue et du pignon, & donner moins de 96 dents & ce pignon ; il vaut donc mieux donner 168 dents à la roue et 37 au pignon.
Il en résulte que si l'on maintient à la roue hydraulique sa vitesse de 3S37 par minute, l'arbre de couche fera :
^.^ 164 168^^ ^, 3*37Xgg-X-gp:6y,71
par minute.
Ce qui est bien près des 70 tours demandés ; on pourra, d'ailleurs, les obtenir en faisant faire à la roue hjrdrauliqne : '
par minute, au lieu de 3t,37. Cela ne présente aucun inconvénient.
Nous adopterons donc, pour la deuxième paire d'engrenages, un pignon de 37 dents en fonte avec un diamètre primitif de 0°^,540 et une roue de 168 dents en cormier, ayant un diamètre primitif de :
Le pas de ces engrenages sera :
itX0'»,5 40
5= ii:0m,0458
144 PARTIE DroACTIQUE
L'épaisseur des dents en fonte du pignon sera :
0in,0458. ., cz:=-^^^zt:0.,01.5;
celle des dents en bois de la roue sera :
cci:0m,0175\/2Ï::i0m,025 et la largeur des dents du pignon et de la roue sera :
/=:6x0»,0175rz0«',105.
Les dimensions des autres parties de ces engrenages doivent être calculées en suivant la marche qui a été indiquée dans le Mémoire du projet n^ 1 de la série A» Résistance des matériaux, et dans les calculs relatifs à la roue dentée calée sur l'arbre de la roue hydraulique. Il est inutile, pour le but que nous nous proposons dans le présent Mémoire» de les reproduire ici ; ils serviraient à connaître le poids du pignon et de la roue montés sur l'arbre intermédiaire afin de pouvoir calculer la section de cet arbre» qui doit résister simultanément à la flexion et à la torsion.
En général, pour les arbres secondaires et pour les arbres de couche» on tient compte d'une façon suffisante des forces transversales, auxquelles ils sont soumis, en les calculant seulement au point de vue de la résistance à la torsion par la formule :
en prenant :
si ces arbres ne sont pas soumis à des chocs» c'est-à-dire à une résistance très variable.
Nous avons vu que le travail transmis par la roue hydraulique à l'arbre intermédiaire est de 1192 kilogrammètres par seconde et que cet arbre fait 15S35 par minute. Nous avons donc : '
par minute ; d'où:
A=l 102x60=71520 kilogm.
n:til5t,35;
. y0,000Q0075x 71520-^ On», 152.
c'est le diamètre qu'il faut donner au tourillon contigu au pignon droit calé en porte à faux sur une extrémité de cet arbre; mais comme il faut tenir compte de l'usure produite par la marche, il convient de
faire :
rf=0™,155
{*) Voir série A, Résistatice des matériaux. Mémoire du projel u" 4, page 187,
Dans ses parties autres que les deux tourillons, l'arbre aura 0"»,170 de diamètre, à cause des collets nécessaires et du clavetage du pignon et de la roue montés sur cet arbre.
Pour vérifior dans quelles conditions seront placés les tourillons de cet arbre, au point de vue du graissage et pour calculer le travail absorbé par le frottement de ces tourillons, il faut connaître le poids dont ils sont chargés.
Si Ton veut se dispenser de calculer le poids des engrenages, il faut pouvoir les comparer à des engrenages établis dont on connaît les poids.
Le poids d'une roue dentée est sensiblement proportionnel» au produit du diamètre primitif de cette roue par la largeur et par le pas de la denture.
Or la largeur de la denture est proportionnelle au pas et cette grandeur est elle-même proportionnelle à — , en désignant par d le diamètre primitif et par N le nombre des dents.
On peut donc dire que le poids d'une roue dentée est à peu près proportionnel au rapport :
dh telle sorte que si Ton désigne par P le poids d'une roue de diamètçe primitif c/ et de N dents, par p' le poids d'une autre roue de diamètre primitif d' et de N' dents, on aura :
Nous avons trouvé que le poids de la roue de 164 dents calée sur Tarbre de la roue hydraulique est de*2585 kilogr., son diamètre primitif =3-,690.
Le poids du pignon de 36 dents et de 0'°,810 de diamètre primitif que cette roue mène est donc approximativement :
Le poids de la roue de 168 dents et de 2",460 de diamètre primitif, calée sur l'arbre intermédiaire serait :
En général, les constructeurs d'engrenages ont des tableaux renfermant la série de leurs modèles, avec l'indication, pour chacun d'eux, du diamètre primitif, du pas,du nombre des dents,de leur largeur et du
SÉH. D^ HYD, APP. 4
poids de l'engrenage. Lorsqu'il s'agit, pour eux, d'établir un modèle nouveau, ils en connaissent alors par interpolation le poids approximatif.
La relation que nous avons établie plus haut entre les poids P et P' de deux engrenages se trouve généralement en défaut, en ce qui concerne les pignons, c'est-à-dire les roues de petit diamètre, quand on veut l'appliquer aux tableaux des constructeurs ; cela provient de ce que la plupart d'entre eux font les pignons beaucoup trop forts relativement aux roues avec lesquels ils engrènent.
L'arbre intermédiaire ayant une longueur de l^jOOO et un diamètre de 0«^,170, pèse :
7800»^X^x6;Ô85-X1°^,900=33(3 kg.
Le poids total supporté par les deux paliers de l'arbre intermédiaire est donc :
125k+748k+336»^=:1209 kilogr.
Nous admettrons,pour simplifier les calculs, que ce poids est réparti entre les deux paliers, comme suit :
Pression sur le palier placé entre les deux engrenages :
Poids du pignon de 36 dents 125 kil.
Demi-poids de l'arbre 118
Total. . 243 kil.
Pression sur le palier d'extrémité :
Poids de la roue de 168 dents 748 kil.
Demi-poids de l'arbre 118
Total. . 866 kil.
Le tourillon intermédiaire a 0™,155 de diamètre et sa longueur :
La pression par centimètre carré de la surface projetée horizontalement est seulement :
tandis qu'on peut aller à 15 kilogr.
Le diamètre du tourillon d'extrémité est donné par la formule :
