CHAPITRE IV
DIMENSIONS DBS ORGANBS DB LA ROUB A ÉTABLIR SUR LA GHUTB A BT DB LA TRANSMISSION DR MOUYBMBNT DB CBTTB ROUB A l'aRBRB DB GOUCHB
DE l'usine .
S l«r. — K|Mil«i*ar de la fbncallle et de* augets.
La roue comprenant 56 augets et faisant 3S37 par minute, le nombre d'augets qui passe dans ce temps sous le déversoir de la huche est :
Comme la roue débite 280 litres par seconde ou 16.800 litres par minute, chaque auget recevra :
i|^ -89 litres ou 89 kilogr.
soit 44k,50 pour chaque travée.
A la partie supérieure de la roue, ce poids repose entièrement sur la fonçaille, dont chaque élément doit être considéré comme une pièce prismatique reposant sur deux appuis de niveau et supportant une charge uniformément répartie et égale à 44*^,50.
Le maximum du moment fléchissant a lieu au milieu de la largeur de cette travée, et a pour valeur :
Or:
pl=4A\50;
l est la longueur de la pièce, c'est-à-dire la largeur d'une travée :
Donc :
jx 1=5X44^,50X1,505=^8,37.
Il faut appliquer la formule :
Rbh^
dans laquelle nous ferons :
îi.=8,37, 6=0m,282
(largeur de la portion de fonçaille comprise entre deux augets consécutifs) et :
R=300.000 kilogr.
L'épaisseur h de la fonçaille sera donc :
soit 0»,025, en nombre rond.
A la mise en train de la roue, les augets se remplissent complètement, tandis que le calcul précédent, qui s'applique au cas ordinaire, où la roue à pris sa vitesse de régime, ne les suppose remplis qu'au tiers de leur capacité. A la mise en train, les augets ont donc à résister à une charge triple de la charge normale et l'on a :
R=3x3(»0.000 kilogr. =900.000 kilogr.
résultat qui peut âtre accepté pour une charge accidentelle.
Portion des augets reposant sur la fonçaille. — Le poids de l'eau exerce son maximum d'action sur cette portion de l'auget quand celle-ci arrive sur le diamètre horizontal de la roue.
La portion de paroi considérée a 0,16 de hauteur suivant le rayon de la roue ; sa longueur est la même que celle de la fonçaille ; doue :
comme dans le cas précédent. Il en résulte :
Psous aurions à présenter ici une observation analogue à la précédente et concernant la mise en train pendant laquelle l'auget est plus chargé qu'en marche normale.
Le maximum de la charge que supporte la partie inclinée de l'auget, a lieu quand l'auget est dans la position c (ôg. 2, pL XXIV) où commencerait le déversement s'il n'y avait pas de coursier. La hauteur de l'eau sur le centre de gravité de cette paroi est 0°^,090.
Calculons la pression normale au milieu de la partie incliné de Tau-
get; nous aurons par mètre courant, et sur une bande de (P^fil de largeur :
l)=0«,09X0^01Xl0i)0k:=:0k,90.
Cette charge est uniformément répartie sur toute la largeur de Tauget, nous avons donc :
jjL=^P=tx0,9Qxl,505^=0,2548.
Or:
La section résistante est un rectangle ;
d'où nous déduisons :
Si nous avions calculé cette partie de Tauget pour la plus grande hauteur de l'eau (0>»,180) nous aurions trouvé, en employant la même méthode :
A:::0in,032;
mais la pression considérée n'a lieu qu'en un point ; nous avons donc adopté :
&=0»,025, comme pour la fonçaille.
9 1* -> Coui'onnes*
Les couronnes extrêmes formant les parois latérales des augets sont soumises à la poussée de l'eau renfermée dans les angets. Il convient, pour calculer leur épaisseur, de considérer ce qui a lieu au moment de la mise en train et de supposer, pour plus de sécurité, que l'eau rem* plit complètement les aùgets d'un segment de roue compris entre deux
bras consécutifs, c'est-à-dire les augets correspondant à- de la cir-
conférence moyenne, c'est-à-dire à un arc égal à :
'ïr(5«,67-0°»,3i8) ^ ,^
Chaque segment d*î couronne sera donc considéré comme un solide prismatique reposant sur deux appuis de niveau (les deux bras auquels il est fixé) et supportant une charge uniformément répartie due à la poussée totale de reau :
1000kgX2M0x0m,318 -^^^^,^ jg Il faut donc appliquer la relation :
dans laquelle :
^«=106^18, /=:r2°^,10, R=300.000 kilogr.
et :
Il en résulte :
Comme les augets sont fixés sur les couronnes au moyen de rainures de 0",025 de profondeur, il faut ajouter cette profondeur à la valeur trouvée pour h\ de telle sorte que l'épaisseur des couronnes extrêmes devrait être ;
Mais il faut tenir compte de ce que ces couronnes sont formées de segments dont la réunion ne peut s'obtenir qu'en composant ces couronnes de deux planches superposées, dont les joints sont croisés; un segment de couronne, de 2°»,100 de développement sur la circonférence moyenne, se compose de quatre planches superposées deux à deux et occupant chacune un arc de 1",05 (voir la planche XXIV); les joints des planches intérieures sont au milieu de la longueur des planches extérieures ; les planches d'un même cours sont placées bout à bout et sont fixées sur les autres par un rang de vis à bois de 0'",019 de diamètre et à tête fraisée.
En raison de ce mode de construction, la pratique a conduit à constituer les couronnes de deux épaisseurs de 0°*,060, au lieu d'une seule épaisseur de 0™,067 que nous a fournie le calcul ci-dessus.
Les couronnes extrêmes auront donc une épaisseur totale de :
En ce qui concerne la couronne intermédiaire, son épaisseur se calcule comme celle des couronnes extrêmes et par les mêmes considérations ; elle résiste à la même pression de l'eau et on trouTcrait encore :
mais comme à cette couronne sont assemblés les augets des deux travées, il faut ajouter, à l'épaisseur calculée, le double de la profondeur des rainures recevant les augets : de telle sorte que l'épaisseur de cette couronne intermédiaire devrait être :
=O'°,O424-O'»,O5O=:Om,O02.
En pratique, on la construit comme les couronnes extrêmes et on lui donne la même épaisseur, c'est-à-dire 0°^,120.
Pour consolider les assemblages des couronnes et des augets et empêcher la déformation de la roue, on réunit les couronnes entre elles par des entretoises en fer rond, de 0n*,030 de diamètre, filetées à leurs extrémités et munies d'écrous de chaque côté des couronnes.
Ces entretoises, au nombre de 8 dans chaque travée, sont régulièrement espacées dans les intervalles des bras et sont placées derrière les augets afin de ne pas gêner l'entrée de l'eau.
S s* = Dimensions des bras de le rone.
Nous allons nous occuper tout d'abord des bras, au nombre du huit, qui réunissent la couronne intermédiaire à l'arbre, parce que ces bras correspondent à la moitié de chacune des deux travées, c est-à-dire à la moitié de la largeur d^, la roue.
Si l'on considère en particulier l'un quelconque de ces bras, il est placé dans les conditions les moins favorables, au point de vue de sa résistance, lorsqu'il est horizontal et situé du côté d'aval par rapport à la verticale du centre de la roue.
Dans ces conditions, il est soumis à la flexion par des forces verticales qui comprennent :
1* Le poids d'un segment de la couronne intermédiaire, celui d'un segment de fonçaille et celui de 7 moitiés d'auget ;
29 Le poids de l'eau contenu dans ces augets.
Cube d'un segment de couronne :
Cube d'un segment de fonçaille :
Cube de sept moitiés d'auget ;
6(0»,177x0»,032-f0°»,39x0'»,025)xl«,505= ,154.548
Cube total de bois de chêne = ,316.060
Le poids correspondant est donc :
950kx0,31606=301 k,26,
qu'il convient de porter à 320 kilogr., à cause des ferrures et des entretoises en fer rond.
Nous ayons tu, page 119, que le poids d'eau contenu dans un auget» lorsque la roue a pris sa vitesse de régime, est de 89 kilogr.
Pour les 7 moitiés d'auget intéressant le bras en question, le poids de l'eau sera de :
—^ =312 kg.
en nombre rond C)«
La force transversale qui tend à faire fléchir le bras est donc, au total;
La longueur du bras, depuis la circonférence moyenne des couronnes de la roue Jusqu'au tourteau est de :
(voir la planche XXIV).
Le moment fléchissant, par rapport à la section d'encastrement dans le tourteau en fonte, est :
jx=:632ï^Xl .721=1088,
Nous appliquerons la relation.
<*) Ao IÎ60 de faire inienrooir le poids de Tean coulena dans les aageu, on pourrait con- •idérer la force laogenlielle eorrespondanl an iravail eflrecttf de 1i7S kilogr. par i» que reçoit la rone et qae les bras doivent transmettre à l'arbre; celle force tangentielle :
== l*Ji « 1278 kilogr.
dont la moitié doit dtre considérée comme agiiisant sur la couronne intermédiaire, soit 689 k* Si Ton admet maintenant, comme cela est sensiblement vrai, qae cette force de 639 kilogr* est également répartie an moins entre deux bras conséeotifs de cette couronne intermédiaire, on arrive pour chaqoe bras, à une force de 319 k. 50 appliquée à son extrémité et peu diffé. rente de celle qui correspond au poids de Teau contenue dans les 7 moitiés d*auget. Il y a donc lieu de s'en tenir à la méthode de calcul que nous appliquons ici.
dans laquelle nous prendrons pour l'épaisseur des bras, mesurée parallèlement à l'arbre de la roue :
6=0m,120; ^ et :
R=600.000kilogr.;
parce que la charge transversale de 632 kilogr. est un maximum et n'est pas permanente.
Il en résulte» poar la largeur des bras :
Ce résultat nous conduit à chaîner les bras de la roue, au moyen d'entretoises en bois de chêne (voir la planche XXIV), afin de réduire de moitié environ la valeur du moment fléchissant ; de cette façon on peut réduire la dimension h des bras à :
mais, à cause des mortaises à pratiquer dans les bras, nous avons adopté définitivement /i=0m,230.
Théoriquement, il faudrait donner aux bras la forme d'égale résis'tance, en les découpant en parabole dans le plan de flexion, &est-à-dire dans le plan de rotation, mais, en pratique, 11 n'y a aucun intérêt à le faire car la main d'œuvre que nécessiterait l'exécution de cette forme ferait plus que compenser le petit avantage résultant d'une réduction dans le poids de ces bras ; en outre, leur flèche serait plus grande et il faut, au contraire, réduire cette flèche le plus possible. C'est en vertu de ces considérations que Téquarrissage des bras est le même dans toute leur longueur.
Occupons-nous maintenant des bras supportant les couronnes extrêmes, en les considérant placés dans les mêmes circonstances que les bras de la couronne intermédiaire ; chacun d'eux sera soumis à une force transversale comprenant :
P Le poids d'un segment de couronne, celui d'un segment de fon-
7 ' caille et celui dey d'auget ;
2p Le poids de l'eau contenue dans ces augets.
mélm cubes.
Cube d'un segment de couronne 0,080205
Cube du segment de fonçai lie :
5!2<Ç^LV^xa-.025= 0,040153
Cube de 7 quarts d'auget :
lia 505 7(0«,16XO",032+0«>,39XO",025)X^^ — = 0,077274
Cube total de bois de chêne z^ Omc ,107.632
Le poids correspomlant est donc :
qu'il convient de porter à 200 kilogr., à cause des ferrures et entretoises.
Le poids de l'eau contenue dans les -d'auget correspondant à un bras.
=!-——= 156kg.
en nombre rond.
La force transversale qui tend à faire fléchir le bras est donc, au total de :
Le moment fléchissant, par rapporta la section d'encastrement dans le tourteau en fonte, est donc :
La relation :
Rbh^
nous donne :
Nous avons pris :
comme pour les bras de la couronne intermédiaire :
On voit qu'on pourrait se dispenser de chaîner entre eux les bras des couronnes extrêmes; cependant en pratique, toutes les fois qu'un chaînage est nécessaire pour les bras des couronnes intermédiaires, on le fait aussi pour ceux des couronnes extrêmes ; c'est pour cela que nous l'avons indiqué sur la planche XXIV ; toutefois, nous ne verrions aucun inconvénient, dans le cas particulier qui nous occupe, à ne conserver le chaînage que pour les bras de la couronne intermédiaire.
Pour calculer la section des entretoises en chêne qui servent à chaîner ces bras, il faut considérer ces entretoises comme des supports isolés soumis à une pression parallèle à leur longueur.
La force tangentielle qui s'exerce à l'extrémité d'un bras est égale à 632 kilogr.; elle est appliquée à une distance de l'n,721 à partir du tourteau qui porte les bras ; la distance du chaînage ^u tourteau est de 0^,921.
Son action sur le bras peut être remplacée par celle d'une force égale à :
appliquée à l'endroit où le chaînage rencontre le bras,
La force qui s'exerce dans le sens de la longueur de chacune des pièces formant le chaînage est égale à :
COS a
a désignant l'angle que fait la direction du chaînage avec la perpendiculaire au bras (voir flg. 7, pi. XXIV) ; cet angle est égal à 22''30' ;
donc :
N— i^^— y ?i -1^78 kff ^^~cos 22«30~0,Ô24"'.^'^^^ ^^'
L'équarrissage de la pièce supportant la charge N est donnée par la formule (125) de la 2* introduction de la série A, Résistance des matériaux :
Mais comme nous avons pris, pour valeur du coefficient de résistance du bois de chêne, R.~0k,30 par millimètre carré au lieu de 0^,60, parce que le bois est alternativement exposé à l'action de Tair et à l'action de l'eau, nous devons réduire de moitié le coefficient numérique de la formule ci-dessus rappelée.
Elle devient donc :
N-- 65.000.000^-; d'où nous déduisons :
La section de cette pièce est donc :
chiffire inférieur a celui obtenu par les dimensions adoptées :
Nous conserverons néanmoins ces dimensions, parce que nous avons adopté une section rectangulaire et non une section carrée.
Indépendamment du chaînage établi dans le plan de chaque embrassure, nous avons employé un deuxième chaînage dans le sens trans* versai pour empêcher la déformation de la roue dans ce sens et concourir à l'entretolsement des travées. Les pièces qui le constituent sont assemblées à tenon et mortaise sur les différents bras et ont pour dimensions transversales 0m,160 de hauteur sur 0"^,100 de largeur.
Ces chaînages, pour les deux travées, sont établis dans des plans parallèles distants de 0°*,L50 afin de ne pas trop affamer les bras intermédiaires.
1 4. -^ Calcnl du poids de la roue.
Le cube total du bois entrant dans la construction de la roue comprend :
Les trois couronnes :
4ir(2;835^— 2,517^)x0",060=
La fonçaille :
2icX2«^,517x3m,25Qx0»,O25ji
Augets ; 56(0",16x«)",032+0m,3ftx0»,025)x3m,01=
Bras :
Entretoises chaînant les bras de chaque embrassure :
24xln»,30x0,10x0,06:t:
Entretoises reliant les trois embrassures :
16xlmi025x0m,iex0'°,10=
Cube total :
dont le poids :
=:950kx7,936.504r:7540k.
maires carrés.
en nombre rond .
Le poids de la partie mécanique comprend :
16 entretoises en fer rond de 0'n,030 de diamètre, pesant 5^,46 le mètre courant et ayant chacune une longueur de 2*û,20 y compris la longueur réduite des 4 écrous (*) ;
16x2»,20x5k,46=: 192 ki 1 .
72 boulons de 0",030 de diamètre et de 0«,340 de longueur réduite, pesant 5k»46 le mètre courant, pour fixer les 24 bras sur les tourteaux :
72x0»,340x5k,46=: 137 kil .
24 platines en fer sous les écrous des boulons fixant les bras sur les tourteaux, à 5 kilogr. Ihine 120 kil.
24 platines en fer sous les écrous des boulons fixant les couronnes sur les bras, à 3 kilogr. 50 l'une 81 kil.
4 cercles en fer plat soutenant la fonçaille :
7800kX4X^X4m,972x0",075x0«,015= 546 kil .
3 tourteaux en fonte 3600 kil.
Poids de la partie métallique. . . . 4679 kil.
Poids total de la roue .
7540*^+4679 12219 kil.
soit 12220 kilogr. en nombre rond.
En ce qui concerne le poids de Teau contenue dans la roue, il y a lieu de remarquer que, par l'emploi d'un col-de-cygne ou coursier, Feau y est maintenue jusqu'à 0m,200 au-dessus du niveau d'aval des hautes eaux, c'est-à-dire jusqu'à 0^,200 du bas de la roue; ces 0in,200 représentent la projection verticale de trois auf?ets et comme il y en a 28 sur la demi circonférence de la roue, il faut donc compter qu'en marche normale, 25 augets sont remplis au tiers de leur capacité ex contiennent ensemble:
25x89kz=2225 kilogr. d'eau.
La charge totale que l'arbre reçoit de la part de la roue est donc :
n l/écroQ ayant une liaatear égale an diamètre da boalon et un diamètre égal au douMo de celui du boulon, son poids éqnivaol à celui d*un boulon ayant pour longueur 3 fois son diamètre.
Ainsi, la longueur réduite de Técrou d'un boulon de 0,030 de diamètre est de :
3XO»,030=0-,090 8KH. D. HYD. APP. 3
Pour calculer le diamètre de l'arbre de la roue hydraulique et les dimensions de ses tourillons, il faut que nous connaissions le poids de la roue d'engrenage que cet arbre doit recevoir. Cela nous conduit à faire le calcul de la transmission à établir entre cet arbre et l'arbre de couche de l'usine.
§ 5. — Dimensions prl»ielpnles de la première paire d^engrenasea de
transmission de mouvement.
Nous avons vu que la roue hydraulique fera 3t»37 par minute, et le programme dit que l'arbre de couche doit en faire 70.
Le rapport des nombres de tours est donc égal à :
En prenant double harnais et des rapports égaux pour les deux paires d'engrenages, nous aurons pour chacune d'elles on rapport des vitesses égal à :
Le nombre de tours de l'arbre intermédiaire sera donc égal à :
La roue d'engrenage calée sur l'arbre de la roue hydraulique est à entures de fonte et engrène avec un pignon muni également de dents en fonte.
La formule qui donne le rayon primitif du pignon correspondant au minimum de 36 dents, est O;
r'zz:89,5y.
T désigne le travail à transmettre exprimé en chevaux =17 ; Nous prendrons :
(*) Voit le Mémoire du projet n^ h de la série B* CinémtUiquef page^lO,
et
enfin :
Donc, en substituant :
•V 17 •r'zz89,5V/- =0«.405,
2xl0«X6xl5,385
et :
rfn0n„810.
Le pas est alors égal à : '
P= gg rt0«i,071 ;
en laissant nn jeu de 0jn>003, tout à fait suffisant ici, i*épaisscur dents :
et la largeur de la denture :
6=6c3:ftx0,034=:0m,204 .
Nous avons pris :
6=0mt210,
Le nombre des dents de la roue menant ce pignon est égal ^ :
30X4,557=164,05, j soit 164 ; Son diamètre primitif est alors :
0m,81xl64 ^ ^^ -^ 3g ir3",60O.
Le pas et les dimensions des dents sont évidemment les mêmes que pour le pignon.
La roue hydranlique reçoit un travail effectif de 1278 kilogr. par seconde ; en tenant compte du frottement des engrenages dont le travail a pour expression C)-
Tf^Txf.(l+l.),
rfi«
n Voir lal^iatroduction delà série E, Mécanique appliquée, page 91.
le travail disponible sur les dents du pignon, en négligeant le frottement des tourillons de Tarbre de la roue hydraulique sera :
T,=T[l-/.(i+jJ;)]:
dans cette formule, T est le travail fourni par la roue = 1278 kilogr, /==0,15 (parce que les dents sont exposées à Teau); N=164 dents ; N'=:36 dents ; Donc :
T,rrl278[l-0,157r(jgj+^)l= 1258 kgm.,
qui doivent être transmis par l'arbre intermédiaire à la roue dentée calée sur l'autre extrémité de cet arbre.
La roue dentée calée sur l'arbre de la roue hydraulique ayant 3«»,090 de diamètre primitif, nous lui avons donné 8 bras.
Pour tenir compte à la fois, dans le calcul de la section des bras, du moment fléchissant et de l'effdrt tranchant, nous emploierons la formule (6) de la T® Introduction de la série A, Résistance des matériaux, soit :
WS^\/ê^' '•
Or, la vitesse à la circonférence de la roue hydraulique étant d'un mètre par seconde, celle à la circonférence primitive de la roue de 164 dents pst ;
ln»,00x — ' —
et la force tangentielle correspondant au travail à transmettre est :
l'épaisseur c du bras se prend égale à celle des dents, soit0in,034; enfin nous prendrons :
en supposant que l'effort P n'agit que sur un seul bras, tandis qu'en réalité la force tangentielle se trouve répartie enU^ tons les bras de la roue dentée, suivant une loi qui ne peut être déterminée exactement; rcxpérience prouve que, pour les engrenages qui ne sont pas soumis
à des chocs (et c'est le cas qui nous occupe ici), les bras peuvent être calculés comme nous le faisons.
Donc :
K^^.rL^ ^^A/ -^ , I 3 6xl>845-==0",302.
X7X10'^X0,034' 7X10«X0,034 Y 4x7x10«XÔ;Ô34-
Cette hauteur est celle du bras près du moyeu ; à la jante, pour nous rapprocher autant que possible de la forme parabolique d'égale résistance» nous prenons :
A'=rO,8&=On,242.
Ces bras sont renforcés» de chaque côté» par une nervure ayant
comme épaisseur les-r de l'épaisseur du bras, soit :
leur largeur s'obtient en joignant les deux extrémités du moyeu aux deux extrémités de la largeur de la jante.
La longueur du moyeu de la roue dentée est :
. /=6+0,05r=0«,204+0.05xl"^,845=:0'n,296 ; soit :
fc=0«n,300.
L'épaisseur e du moyeu est donnée par la formule :
2Pr O
dans laquelle d est le diamètre de la lumière du moyeu; ainsi qu'on le verra plus loin» la roue dentée est calée sur la cloche du tourillon de la roue hydraulique et le diamètre intérieur du moyeu est de 0°^,820 ;
Donc:
2xl963»'8Xl-,845
0,20Xl.OOO.OOOXitXO'«,300xO«n,82
soit:
c=0in,050.
nO-,0495;
C) Voir le Mémoire du projet n« i de U »éne A, Réaûlafwe des matériaux.
iS4 PARTIE DIDACTIQUE
Les deux moitiés de la roue dentée sont assemblées au moyen de boulons pour le calcul desquels il suffit de se reporter au Mémoire du Projet n» 1 de la série A, Résistance des matériaux.
Il nous reste donc à calculer le poids de cette roue dentée. Le volume de la fonte comporte :
Dents :
mètre enbe.
