VI
Nous prendrons pour vitesse moyenne de Teau à son passage sur la vanne :
La valeur de Z est donc, en considérant le cas du maximum du débit :
et la largeur / du canal et de la roue est :
Z=2Zz=:2™,142.
La vitesse du filet supérieur, pour lequel Taubage doit être tracé, est égale à
V==l,25ttzzl,25x0,70=0'n,875,
C'est cette vitesse que nous composerons avec la vitesse de rotation à la circonférence extérieure de la roue pour obtenir la direction de l'aubage au point où le niveau d'amont coupe la circonférence extérieure de la roue.
|3. — Dctermlnntlon du diamètre extérieur 9R de la roue* du nombre do tour« de la roue par minute et de la profondeur de l^auba^e.
Ayant tracé les niveaux d'amont et d'aval dans leurs positions respectives, nous avons procédé par essais successifs ainsi qu'il est dit à la page 207 de la 4« Introduction de cette série.
Après plusieurs tâtonnements, nous avons adopté, pour diamètre extérieur de la roue :
2RnlO mètres.
Ce nombre est compris dans les limites pratiques que nous avons indiquées :
R=:3 mètres et R=6 mètres.
Après quelques essais, nous avons fixé à :
par seconde la vitesse à la circonférence extérieure de la roue. Le nombre de tours de la roue par minute sera donc :
2irR 2irX5°i
Ce nombre est compris dans les limites indiquées 0S96 et 2S55 par minute.
Pour calculer la profondeur (R— r) de l'aubage, il faut tenir compte de la place occupée par les aubes.
Nous avons vu, page 208 de la 4® Introduction de la série D, que le coefficient de réduction tenant compte de l'épaisseur de l'aubage a pour valeur :
Or:
27rR'
pas de l'aubage sur sa circonférence moyenne d'immersion. Ou:
d'après le tracé adopté.
N = 90 (nombre des aubes), e = 0°»,025, épaisseur du bois constituant les aubes;
donc:
La largeur da canal étant égale à 2'°,143, cette largeur estaussi celle de la roue.
La dépense par mètre de largeur de la roue, dans le cas de débit de 1500 litres, est donc :
La profondeur de Teau dans Taubage se déduit de la formule (869) 0« de laquelle nous tirons :
d'où:
,4/I~^Rr ./y 2X5X0,7 001 r-y R^Q^^^g ^-V ^ 0,916X0,60--^ '^^
et
telle est la profondeur de l'eau dans Taubage pour le débit de 1500 litres par §eçQ?idç .
§ 4. — IVombro et espacement «le» auben.
L'écartemeat des auhea sur la circonférence extérieure de la roue devant être compris entre O'^jSO et 0°»,45, nous avons pris :
E=0«,35, et nous en avons déduit le nombre N d'aubes par la relation :
or ce nombre doit être entier^ et multiple de celui des bras, nous avons donc pris N=90 aubes, le nombre des bras étant égal à 10.
L'écartement rée) des aubes sur la circonférence extérieure, c'est-àdire la pas de Taubage, est donc :
(*) Voir la 4<^ Introduction de la séria D, Hydraulique appliquée, page 208.
§ tt. — Direction et forme de i^auhase.
La direction de Taubage doit satisfaire aux conditions que nous avons indiquées paga 208 de la 4^ Introduction de cette série.
En construisant le triangle des vitesses, pour le cas du maximum du débit, au point où le âlet supérieur de la lame d'eau coupe la circonférence extérieure de la roue, on voit (flg. 2, pi. XXVI) que la direction de W est tangente à un cercle de l»,720 de rayon; si Ton adoptait cette direction pour l'aubage, celui-ci, au moment où il va sortir complètement de l'eau d'aval, ferait avec le niveau d'aval le plus élevé, un angle notablement inférieur à 30^.
Nous sommes donc conduit à diriger l'aubage de telle sorte que cet angle soit au minimum de 30^; il en résulte que la direction des aubes doit être tangente aune circonférence de rayon p=.lm,300. Il en résulte aussi qu'il y aura, dans les hauteseaux, c'est-à-dire pour le débit le plus grand, un petit choc de l'eau à son entrée dans l'aubage, mais nous montrons plus loin qu'à l'étiage, la direction de l'aubage concorde presque absolument avec celle de la vitesse relative W^ (voir flg, 2, pi. XXVI).
Pour fixer la profondeur réelle de l'aubage, il faut tenir compte de la direction adoptée et de ce que l'eau d'amont ne doit pas pouvoir déborder, par l'aubage, à l'intérieur des jantes.
Considérons donc (flg. 2, pi XXVI) l'épaisseur de la lame d'eau correspondant au débit de 1500 litres par seconde et traçons la position de l'aube aboutissant à la crête de la vsnne et celle de l'aube suivante. Ces deux aubes forment un vase dont le remplissage se termine au moment où il cesse de communiquer avec le bief d'amont, c'est-à-dire lorsqu'il est parvenu dans la position indiquée en pointillé sur la figure. La dénivellation de la surface de l'eau étant sensiblement nulle pendant la marche de la roue et absolument nulle à la mise en train, il faut que l'extrémité intérieure de l'aube la plus basse, formant l'une des parois du vase, soit placée à 0'°,100 environ au-dessus du niveau d'amont.
Ces considérations nous ont permis de tracer, sur la figure 2 de la planche XXVI, la circonférence intérieure limitant la profondeur de l'aubage.
En raison de la direction adoptée pour les aubes, par rapport au sens de rotation de la roue, l'extrémité de ces aubes pourrait coincer sur le coursier si un corps étranger s'y trouvait engagé; il pourrait en résulter une grave détérioration ou même la rupture d'un organe important. Pour obvier aux chances d'un accident de cette nature, l'extrémité extérieure des aubes est redressée suivant le rayon et la première planche formant l'aube est faite en bois tendre (en peuplier ou en aulne), susceptible de se rompre sous un effort anormal et ne donnant lieu, dès lors, à aucun accident grave.
§ O. — ImmePsIon et vlte««e de la roue à Pétiole*
A rétiage, le niveau d'aval descend de 0°»,40(); il faut donc, pour que Ton ait p=iy que la profondeur de l'eau dans l'aubage parvenu à l'aplomb de l'axe de la roue, soit égale à la hauteur de l'eau dans le canal de fuite, c'est-à-dire à 1«»,491— 0°»,400=1«»,091.
Donc :
(R-^) doit être = 1^091 .
Traçons, du centre de la roue (flg. 2, pi. XXVI), une circonférence tangente au niveau d'aval à l'étiage; l'intersection de cette circonférence et du niveau d'amont permet de tracer les positions des deux aubes consécutives pour lesquelles le vase formé par ces aubes, doit cesser de communiquer avec le bief d'amont, lorsque le débit du cours d'eau est réduit à 1200 litres par seconde; l'extrémité extérieure de l'aube supérieure donne la position de la crête de la vanne à l'étiage.
En mesurant, sur la figure, l'épaisseur de la lame d'eau qui passe sur la vanne, dans ce cas, on trouve :
la vitesse moyenne de l'eau, à son passage sur la vanne, est alors :
et la vitesse V« du fllet supérieur est :
V4ii:l,25x0^835=l«,044.
Le débit par mètre de largeur de la roue est alors :
Connaissant le débit et la profondeur de l'eau dans l'aubage, nous pouvons en déduire la vitesse de rotation v que doit avoir la roue à sa circonférence extérieure pour conserver la relation i=p.
Nous déduisons cette vitesse de la formule :
d'où:
2R q 2x5mX0.560 ^^ .-.
On voit que cette vitesse diffère peu de celle que nous avons adoptée pour le cas du maximum de débit.
Le nombre de tours que fera la roue par minute est :
et comme la roue fait 1U46 dans les crues» la variation proportionnelle est seulement de :
Ce faible écart nous permet de considérer, dans la suite de ce mémoire, le rendement du récepteur comme constant pour les différents états du cours d'eau.
Remarque. — Nous nous sommes assuré que la valeur adoptée pour (R — r) est telle que, si nous considérons Taube parvenue à la crête de la vanne complètement baissée et l'aube qui la suit immédiatement, l'extrémité supérieure de cette dernière est à 0",10 au-dessus du niveau d'amont, afin que l'eau du bief d'amont ne puisse déborder à l'intérieur de la roue.
Si le. niveau d'amont était variable, on devrait vérifier que cette condition est remplie pour le niveau d'amont le plus élevé.
§ T. — Dli*ectlon de l^auba^e par rapport à la vitesse relative d^entrêe de l^eau à l^étta^e. Dlmposltlon de la vanne motrtee*
En construisant (fig. 2, pi. XXVI), le triangle des vitesses pour le cas de l'étiage, on voit que la direction de la vitesse W< se confond très sensiblement avec celle que nous avons adoptée pour l'aubage et qu'il n'y a pas de choc à l'entrée de l'eau dans la roue. L'émersion des aubes se fait, d'ailleurs, dans de meilleures conditions qu'en hautes
eaux, puisque l'on a :
L'épaisseur de la lame d'eau devant varier avec le débit, cette épais-
seur, qui est de l-^OTl en hautes eaux et de 0%670 à l'étiage, est réglée par une vanne plongeante et courbe marchant derrière un coNde-cygne en fonte qui forme Torigine du coursier de la roue. Cette vanne glisse dans deux poteaux courbes» en fonte (voir âg. 2 et 3, pi. XXVI), logés dans les murs latéraux du canal.
§ 9. —Travail utile et rendement.
Nous établirons le calcul pour les deux cas» c'est-à-dire pour les deux débits extrêmes du cours d'eau.
Le travail utile de cette roue est donné par l'équation (174) (*)• Evaluons les pertes de travail dont la somme est représentée par Tf, Premier cas, — Débit 1500 litres par seconde, — 1® Perte par le frottement de Teau à son passage sur la vanne : C*)
0,05 P Vo' 0,05X1500X0^875- ^^^ 2g 2X9,8088 ' *^'
2° Perte due à la vitesse relative d'entrée de l'eau sur la roue et égale à
Pw"
Or:
donc :
u;in0m,880.
Pe^1500x0^^ 2; "" 2X9,8088 -^"^ '^
3* Perte p^r le jeu entre la roue et son coursier. Cette perte se calcule par la formule '251) (***).
arc
^^^ J'iOOO t/çXy-lOOO m(/+2;^)vv/2^xarc a[?^1^
(*) Voir la 3« Introduction de la série D, Hydraulique appliquée.
(*') Nous prenons pour Vola vitesse du filet supérieur, c'est-à-dire la plus grande des vitesses des filets qui composent la lame d'eau, ce^a nous conduit à une valeur approchée par excès de la perte de travail.
(***) Voir la 4« introduction de la série D, Hydraulique tippliquée, p. 184.
Or:
d'où l'angle
et arc
A=:56oi3'15"
Calculons la valeur du terme constant du 2» membre de l'équation précédente.
Nous avons :
tii=0°»,70, coefficient de contraction de la veine liquide ;
/=2™,142 largeur de la roue;
p=\^,49l, profondeur de l'eau dans Taubage;
Yr=z0ni,005, jeu entre la roue et son coursier;
R=5 mètres, rayon extérieur de la roue ;
N— 90 nombre des aubes.
Tous calculs effectués, le terme constant a pour valeur :
lOOOw (/+2io)YV^2^Xarc A ^^ ^^7^^ J«~9,617.
La quantité placée sous le signe d'intégration n'étant pas une différentielle exacte, l'intégrale se calcule par la formule de Th. Simpson.
Pour cela, on divise l'angle A en un nombre pair n de parties égales
et on calcule (sin a)i pour chacun des points de division. L'application de la formule donne :
r • arcAf î / -' i \ f - - M
J^ (sina)»=:— — I o+sin2A+4( sin*a4+sin«a3-|-. . . .1+21 sin «aa-|-sin«a4+. .. J
Les valeurs de a et de (sin a)2 permettent de dresser le tableau sui-
vant :
N*' de division.
Valeurs de l'angle a.
Valeurs de (sin a)».
Nous avons donc :
(sin at)*zz
fW\ é% •
