e-^2.310kg.-ll .000 kg
quand à la force verticale négative de 714 kg, appliquée en C, nous la supposerons uniformément répartie par l'intermédiaire du moyeu de la roue dentée.
(') 2 mètres est la vitesse ronstante à la circonférence extérieure de la roue hydraulique.
282 PARTIE PIPACTIQUS
L'arbre de la roue hydrauliq^ue e$t absolument dajis les mêmes conditions que celui de la roue hydraulique du Projet n^ 4, nous emploierons donc la même méthode de calculs.
Soient (flg. 4, pi. XXVÏI) :
Qo et Qi les réactions verticales des paliers ; ixi le moment fléchissant
en 6 et [x le moment fléchissant en un point intermédiaire M distant de œ du point A.
Nous aurons :
Qo+Q4it:.11.660k«— 714te«:iad46 kg. (1)
Pour x=l, on a :
Ii.-ll.660x-,— Qoa: (2)
où :
{JL,=5.8:ÎO/--Qo/ (3)
Dans l'intervalle AB, le maximum de la valeur de |jl s'obtient en égalant à zéro la dérivée première de l'équation (2) par rapport à a: ; on a ainsi :
o=:11.660x^Qo=:o
d'où :
Qol
^■^11.660' et le maximum de (x :
«Xm-
Si nous considérons la portion BG de Tarbre, en prenant le moment, par rapport au point B, des forces qui agissent sur cette portion, nous aurons :
— jx^ir— 714xr (5)
Or :
Am 3)5
Donc :
De réquation (3) on tire :
Qo=5830 kg-.^-^=5759 kg.
L'équation (1^ donne :
Q,=:10.946kg— 5.759kg=:5.187 kg.
L'équation (4) fournit ;
La position du point M pour laquelle le moment fléchissant est maximum résulte de la valeur de x trouvée plus haut :
elle correspond donc très sensiblement au tourteau de Tembrassure intermédiaire.
Nous avons ainsi les éléments nécessaires pour calculer les dimensions transversales de la section de l'arbre de la roue hydraulique ea ses points principaux.
Tourillon À. — Il exerce sur le coussinet du palier une pression de 5.759 kg.
En adoptant le rapport 1,5 entre la longueur et le dîftmètre de ce tourillon et une pression de 15 kilogrammes par centimètre carré de sa surfiice projetée, son diamètre sera :
Pour tenir compte de l'usure qui se produira pendant la marche» nous prendrons :
rfr=0M70 et /=:l,5rf=0«, 170x1, 5zz0°^,255.
Corps de l'arbre au tourteau du milieu. — Eu ce point, l'arbre est soumis à la fois à la flexion et à la torsion.
HT
Nous avons vu précédemmeat que le moment fléchissant maximum avait lieu sensiblement au tourteau du milieu.
Ce moment fléchissant a pour valeur :
[Lm rr 5.675.
Le couple de torsion correspond aux trois quarts du travail transmis par la roue hydraulique, il a donc pour valeur :
2979kRmx3 ., — =1117.
2rx4
En prenant : ,
R=3xl0«,
à cause des chocs, le rayon de Tarbre en ce point se déduit de la relation :
d'où:
Nous donnerons donc au corps de Tarbre en cet endroit un diamètre de 0'",280,et à la portée recevant le tourteau un diamètre de 0",320 pour tenir compte des rainures à pratiquer dans cette portée pour le calage du tourteau.
Portée recevant le tourteau conligu au palier A. — En ce point, le moment fléchissant a pour valeur celle fournie par l'équation (2), dans laquelle il faut faire :
0° 255 XT-l ■«,566— 1-,1524- -^ =0'»,540;
il en résulte :
IIC^X -?^^— 5759x0,540=--247r 2x3,99
Le moment du couple de torsion correspond au quart environ du travail transrais par la roue hydraulique ; il a donc pour valeur :
2979kgm
en nombre rond.
Il en résulte, pour le rayon de l'arbre en ce point :
d'où :
rri:0n»,102.
Il convient donc de donner, en cet endroit, un diamètre de 0",210 au corps de Tarbre, et par conséquent 0m,250 à la portée du tourteau pour tenir compte des clavetages.
Tourillon B. — En ce point le moment fléchissant :
uL^=i284,
et le moment du couple de torsion correspond au travail total fourni par la roue hydraulique ; il a pour valeur :
2979kgmx3n.
Le rayon de Tarbre en ce point se déduit donc de :
d'où;
Pour tenir compte de Tusure qui se produira par la marche, nous donnerons au tourillon B un diamètre de O'^jSlO ; sa longueur sera :
La réaction du palier étant :
Q«=5.187kg,
la pression par centimètre carré de la surface projetée du coussinet sera seulement de :
51«liil.=7 U .84.
c'est-à-dire bien inférieure à 15 kg, valeur qu'on ne doit pas dépasser pour assurer un bon graissage.
Portée recevant le tourteau contigu au palier B, — En ce point, le moment fléchissant est donné par l'équation (2) dans laquelle il faut faire :
fun OKR
jcrz:lm,300-f lm,560+^-^=i2B,994.
Il en résulte :
Le moment du couple de torsion est le même que pour le tourillon B, il est donc égal à 4.469 ; il en résulte pour le rayon de Tarbre :
*"= ^X3XÎÔ^ V 16X458?+4X 4469^'
d'où:
rnO-,129.
Il faut donner au corps de Tarbre un diamètre de 0=»,260 et 0",300 à la portée pour tenir compte des clavetages du tourteau.
Portée recevant la roue dentée. — Elle doit être renflée pour former ainsi l'un des deux collets de Tarbre ; afin que le tourteau calé près du palier 6 puisse être facilement monté sur l'arbre, nous donnerons à la portée de la roue dentée un diamètre de 0"»,298, laissant ainsi 0°^,002 de Jeu pour le libre passage du tourteau en question.
L'arbre de la roue hydraulique aura donc la forme indiquée par les figures 2 et 3 de la planche XXVII.
S 0. — Calcul des dimensloa» pplmolpal-ef» de la deuxième pali*o d*en§prena§fe« cylindrique» et de l*ai-bre Intermédiaire*
Pour calculer les dimensions de ces engrenages, il faut d'abord connaître le travail disponible sur le pignon P (flg. 3, pi. XXVIl).
Le travail transmis à l'arbre de la roue hydraulique est de 2979 kgm. en hautes eaux.
Il faut en déduire le travail absorbé par les frottements dos touril-- Ions de cet arbre sur leurs paliers ; pour cela, il suffit de se reporter aux valeurs trouvées précédemment pour Qo et Qi, de se rappeler que la vitesse à la circonférence extérieure de la roue hydraulique est de 2 mètres par seconde, et de prendre 0»10 pour la valeur du coefficient de frottement.
La perte de travail par le frottement des tourillons sur leurs paliers sera donc :
On» 170 ^
0, 10X5750 kg X 2°X ^~^ +0,10X5187 kg X S-'X ~P '
soit 69 kgm en nombre rond.
Le travail disponible sur la roue dentée G est doue :
par seconde.
Il nous faut tenir compte également du travail absorbé par le frottement des dents de la première paire d*engrenages. Pour cela, nous appliquerons l'équation posée page 91 de la l^ Introduction de la Série E, Mécanique appliquée.
Le travail disponible sur le pignon P sera donc :
T^=29I0 kgmx[l— 0,157t(^+i)}==2857kgin,62.
Pour avoir le travail à transmettre par la s^tconde paire d'engrenages, il faudrait retrancher de la valeur ci-dessus calculée,te travail de frottement de l'arbre intermédiaire dans ses paliers ; mais comme nous ne le connaissons pas encore, nous ne commettrons qu*une légère erreur par excès en adoptant 2857tem,62, ou :
♦ 2857krm,ô2 ^^^ ,^ — ^ — =38<^M0,
pour le travail transmis par la deuxième paire d'engrenages.
L'arbre de couche devant faire 40 tours par minute, et la seconde roue droite devant être munie de dents en b6is de cormier, nous calculerons le rayon primitif du pignon de 3(5 dents calé sur cet arbre, par la formule :
dans laquelle nous ferons :
Tii:38ch.,10; t'=40, m=6 et Rzzl,5xl0*^
à cause des chocs qui se produisent pendant le travail ; il vient donc :
^ \5xl0^6x40 '
Le diamètre primitif du pignon sera doM :
2x0™,474=0°»,948 ; et le pas de la denture sera :
iîX0°»,948 ^ ^^^ -3Q~=0-.083.
288 PARTIE DmACTIQUE
En supposant un jeu de 0'",004, la somme des épaisseurs d'ane dent en bois de la roue et d'une dent en fonte du pignon est :
L'épaisseur des dents en fonte du pignon sera, ainsi que cela a été établi dans le Projet n** 3 de cette Série :
et l'épaisseur des dents en bois de la roue, sera :
La largeur des deux dentures sera égale à :
nous avons pris 0»°,190 en nombre rond.
Le nombre de tours de l'arbre intermédiaire ayant été fixé à :
par minute, la roue dentée R (fig. 2 et 3, planche XXVII) devrait avoir un nombre de dents égal à :
et un diamètre primitif de :
0",948XYg^=2™,385;
elle comportera 6 bras, et comme le nombre des dents en bois doit être un multiple de celui des bras, nous donnerons 90 dents à la roue dentée.
Le diamètre primitif de cette roue sera donc définitivement :
90 dents
ou
Il en résulte que pour6i,36 de la roue hydraulique, l'arbre de couche fera, par minute :
au lieu de 40 ; la différence est assez faible pour que nous puissions la négliger.
Nous conserverons donc, pour les roues et les pignons, les nombres de dents que nous avons indiqués.
Le poids approximatif de la roue de 2",370 de diamètre, portant 90 dents, sera :
Là poids approximatif du pignon de 0'",948 de diamètre et de 36 dents, calé sur l'extrémité de l'arbre de couche, sera :
et celui du pignon P de lœ,170 et 36 dents, calé sur l'arbre intermédiaire, sera :
Nous possédons ainsi tous les éléments nécessaires pour calci^ler les dimensions transversales de l'arbre intermédiaire.
Les flg. 3 et 4 de la planche XXVII montrent que cet arbre repose librement sur deux appuis de niveau M et N, et qu'il porte le pignon P dont le poids est de 375 kil.
et la roue R dont le poids est de . 1.243
La charge transversale en P comprend :
1^ Le poids du pignon 375 kil.
2^ La force tangentielle exercée sur ce pignon 3.054
Total : 3.429 l>il.
La charge transversale en R comprend le poids de la roue dentée 1.243 kil,
dont il faut retrancher la composante verticale de la force tangentielle exercée par le pignon de l'arbre de couche sur cette roue.
En tenant compte du travail transmis au pignon P et de la vitesse à la circonférence primitive de la roue R, on voit que cette force tangentielle est :
ii:1448 kg,
dont la composante verticale est i
Or :
(flg.2,p), XXYII).
COS.a'~0,788 ;
donc :
1448xcos.a'=
Résultante =
102 kil.
Les réactions des paliers sont (voir la âg. 4 de la planche 3LXVII) :
!•» En M :
Q.=3429 kgx^-^— + j— - =2794 kg
2*> En N :
Q/=3429 kg X f^l02 kg X h^^^^:=z 737 kg,
Qo'+Q/=3429+102zz 3.531 kil.
Dans ces calculs, nous avons négligé le poids de l'arbre à cause de son peu de longueur; mais nous aurions pu, comme pour celui de la roue hydraulique^, en tenir compte par une hypothèse faite sur ce poids.
Le moment fléchissant en P est :
az:i2794x0,24-670,60
et en R :
jx=737x0,225-lG5,80
DimensiOThi du tourillon M. — En faisant :
i::=l,5rf,
et en adoptant une pression de 15 kg par centimètre carré, on trouve :
nous avons adopté 0"*,120 pour tenir compte de l'usure produite par la marche.
Il en résulte :
inl ,5d=i ,5X0°>, 120=0", 1 80.
Dimensions du iouriUon iV. — En faisant :
fcl,5rf, on trouve :
pour tenir compte de l'usure due à la marche, nous avons adopté :
d=0^fi70.
Il en résulte :
inl,5XO-,070::î;0% 105.
flé?hi?sant est?'"*'''" ^''''^^''' '^''^'^'^ ^- ^ ^"^ ^^ P'^^^*' '^ '"^^^^t
[Ar=670,60,
et le couple qui tend à produire la torsion est :
3054kx0'°,535zzl.787.
Le rayon de l'arbre en ce point est donné par la formule :
d'où:
A ^^"fo*A^^^ compte des clavetages, nous lui avons donné un diamètre ae Um>loU«
Diamètre de V arbre à V endroit de la roue dentée Jt. — En ce noinf 1a moment fléchissant : P^^^^' ^®
l*=165,8 et le couple de torsion a pour valeur ;
1448kgXlM85zzl.716.
Nous avons donc :
En raison de ce que la différence qui devrait exister théoriquement entre les valeurs du diamètre en P et en R est très petite, nous faisons Tarbre cylindrique^ au diamètre uniforme de 0°^ 180.
S 7. — Diamètre de l*ai*bi*e de couche.
Le premier tourillon de cet arbre doit résister à la fois à la flexion et à la torsion.
Calculons tout d'abord quel est le travail disponible sur le pignon calé à l'extrémité de cet arbre.
Nous avons vu que le travail mesuré sur le pignon P de 36 dents, calé sur l'arbre intermédiaire, est de 2857^801,62, soit 2858 kgm en nombre rond .
Il faut en retrancher le travail absorbé par le ftrottement des tourillons de cet arbre. En prenant 0,08 pour le coefficient de frottementt comme nous l'avons fait dans les Projets n*»» 3 et 4 de cette Série, pour des cas analogues, le travail cherché est :
nV^l^t QO
0,08X--^M2794 kgxO-n. 12+737 kgx0in,07)i=25'8'»,75, oU
soit 26 kgm, en nombre rond.
Le travail disponible sur la roue dentée R est donc :
2858 kgm— 26 kgm=:2832 kgm.
Il faut en déduire le travail absorbé par le frottement des dents de la roue R et du pignon qu'elle commande ; en prenant 0,10 pour la valeur du coefficient de frottement de ces dents, nous aurons, pour le travail disponible sur le pignon calé sur l'arbre de couche :
T*=2832 kgmx[l -0,iœr (I +1)]=2798 kgm'
2 798 kgm 75 ~ en nombre rond.
L'arbre de couche faisant 39S75 par minute,, la vitesse aux circonférences primitives de la roue de 90 dents et de son pignon est donc :
7ÇX0-,948X3ÔST5. ^^
La force tangentielle à la circonférence de la roue de 90 dents, à denture en bois, est donc :
2798 kgm ,^,^,
Quant au moment du couple detorsion, il faut le calculer en tenant compte seulement du travail disponible sur le pignon de 36 dents, calé sur l'arbre de couche.
Ce moment a pour valeur :
Nous calculerons le premier tourillon de l'arbre de couche en considérant la portée recevant le pignon denté comme un solide prismatique encastré à l'une de ses extrémités et libre à l'autre; dans l'intervalle il reçoit une charge transversjale qui comprend :
Le poids du pignon 200 kil.
La force tangentielle 1.418
Total = 1.618 klL
D'après la flg. 4 de la planche XXVII, le moment fléchissant, dans la section d'encastrement, est :
Le rayon du tourillon se déduit de la formule :
d'où :
Pour tenir compte de l'usure, nous donnerons à ce tourillon un diamètre de 0°»,130 et une longueur de :
Quant à la porcée rec^evant le pignon denté, nous lui donnerons 0",160 de diamètre, afln qu'elle forme collet pour le tourillon et aussi pour tenir compte du clavotage du pignon.
Nous calculerons le diamètre du corps de l'arbre de couche par la formule :
SÉR, D . HYD APP.
dans laquelle nous ferons :
K=0,00000075, A— 2798 kgmx60"= 167.880 kgm.
et :
Il en résalte :
71=40 tours.
soit 0»,150 en nombre rond.
La valeur prise pour K correspond à 1*^8,08 pour la résistance du fer par millimètre carré de section; nous pouvons donc conserver les dimensions ainsi calculées, qui nous donnent toute sécurité, malgré les chocs qui se produisent dans le travail des outils actionnés par l'arbre de couche.
Série O. — HYORAUI^IQUE AI^I^I^IQUÉE
ÉTUDE COMPLÈTE D'UNE TURBINE CENTRIFUGE. A AXE HORIZONTAL (GIRARD) ' ET DÉTERMINATION DES DIMENSIONS PRINCIPALES D'UNE TURBINE CENTRIFUGE A AXE VERTICAL (FOURNEYRON)
On dispose d'une chute d'eau établie sur une rivière dont le débit varie de 250 à 1200 litres par seconde.
Le niveau d'amont est constant et situé à la cote de 10 mètres audessus du niveau de la mer; quant au niveau d'aval, il varie de la cote 5"",00 à la cote 5°^,15.
On propose d'utiliser cette chute au moyen de deux turbines centrifuges, l'une à axe horizontal et du système Girard, et l'autre à axe vertical, du système Fonrneyron.
La turbine à axe horizontal sera établie pour un débit pouvant varier de 250 à 500 litres par seconde, le plus petit débit correspondant à la chute de l'étiage, c'est-à-dire au niveau d'aval le plus bas ; l'arbre de cette turbine sera considéré comme formant l'origine de l'arbre de couche général de l'usine, qui devra tourner dans le sens des aiguilles d'une montre, pour un observateur qui aurait la turbine placée entre lui et l'arbre de couche.
La turbine à axe vertical sera calculée pour un débit maximum de 700 litres par seconde qui pourra, accidentellement, être réduit à 350 litres ; elle sera donc pourvue d'un vannage.
Cette turbine devra tourner en sens inverse des aiguilles d'une montre ; elle sera montée sur un arbre creux, en fonte, tournant autour d'un arbre plein en fer forgé supportant le pivot.
En ce qui concerne la turbine à axe horizontal, on en étudiera complètement toutes les parties, tant au point de vue de leurs formes qu'à
SBRIB D. HTD. APP. 26 1
celui de leurs dimensions d'exécution, en appuyant les calculs' des dessins nécessaires à leur complète intelligence.
Quant à la turbine à axe vertical, on se bornera à la détermination de ses dimensions essentielles sans entrer dans les détails d'exécution dû pivot, qui sont étudiés dans le projet n"" 7 de éette série et auxquels il suffîra de se reporter.
Les deux turbines seront étudiées en vue de donner le rendement mécanique le plus élevé, sans qu'on ait à se préoccuper de la dépense de construction et d'installation.
MÉMOIRE
