A VIS DE L'ÉDITE UH

Ldvalwithn de la maçonnerie' en pierre de taille , selon la noupeiie méthode , a/wU été V objet d^mne eriti* ^ue ipéeude H minutieuse de la part de M, Moriiot, dam la 2* édition de ses tableau» publiée en 1830 , routeur», dans > sein de la retraité , a porté tous ses soins à rectifier quelques erreurs qui lui étaient échappées au milieu desgropes occupations que lui donnaient les importantes fonctions dont il était révétu. Ion de la U«. édition de ce livre. Secondé dans ce travail par M. DessaUe, vérificateur, répétiteur honoraire attaché au cours de construction de V École des Beaux-jârts 1 , il venait d arrêter les nouvelles btues de sa méthode, lorsque iu premières atteintes de la maladie qui mit Jin à ses Jours vint t empêcher détendre cette nouvelle r^ision sur ks autres ouvrages de bâtiment dont il traite dans les chapitres suivons.

Comme toutes les évaluations de Fauteur reposent , en général , sur des données qui ont servi de bases aux règfemens des puis grands travaust de F^poque , mous n avons pas cru , à défaut du secours de ses lumières , devoirapporter aucun ekangemeut data son propre travail, persuadés d ailleurs que la sagacité du lecteur saura foire une judicieuse appUcation des rensdgnemens qu'il renferme, en raison du temps et des circonstances.

Appugatior DÉTAXLiiB DE LA METBODE GéoMiTiiQUE , pQUT téifohuMtion de quotrô %foussoirs pris dans les i^ûtes en berceau^ darite^ de cloître et sphérique.

Nous prenons pour exemple les quatre voussoirs représentés par les %. 8,10, 1 2 et 1 4 de la PL ce , dont le premiei^ fait partie d'une voûte en berceau cylindrique, le second d'une voûte d arête, le troisième d'une voûte en arc de clottre , et lè quatrième d'une voûte sphérique. Ces quatre voûtes sont supposées de même dia* mètre, et extradossées à une même épaisseur. Le diamètre est de 1 mètre 26 centimètres, et les douelles d'intrados e) d'extrados sont formées par deux demi-circonférences de cercles concentriques.

Le rayon C, e, fig. 6 de la circonférence d'intrados, étant 0,63 c«, la circonférence de la voûte, qui est la demi-circonférence du cercle , sera 1 mètre 98 c. Cette circonférence étant formée par sept rangs de voussoirs , chacun comprend un arc de 28 centimètres f, répondant à 25 degrés f , ou environ 43 minutes de degré.

L'épaisseur de la voûte étant de 0,35 centimètres, le rayon C, ^ de la circonférence d'extrados sera de 63 -4-35 =98 centimètres; et la demi-circonférence formant l'extrados de 3^08, ce qui donne 44 centimètres pour l'arc répondant à chaque rang de voussoirs.

La superficie ae coupe^ ^, A, i, dé chaque tête de voussoirs, doit être égale à la différence des deux secteursy^ C , jp^ A , C , i , dans laquelle elle se trouve comprise.

La superficie du grand secteur étant égale au produit de l'arc d'-extrados /*, g, par la moitié du rayon C, t, sera exprimée par 44 Xt i qui donne 0^2156.

1 M. Dessalle ayant recoonn Ja possibilité d'estimer spécifiquement les trayaux de bâtiment » comme Brisson Fa fait pour la pesanteur, nous croyons devoir appeler Faltention du lecteur sur la neurième colonne du tableau de ia page 98 , qui offre on essai de cette ingénieuse idée , et dont TexplicatioB ce troure aux pages suirantes.

Et celle du petit secteur h,Cy i, étant égale à 28 f x Vy <iui donne 891-

11 en résulte que la superficie de tête de chaque voussoir g,/j i, h, égale 0,1 265,

Pour une voûte en berceau de même diamètre et extradossée de même épaisseur, ainsi que les figures l'indiquent, on aura le cube d'un des roussoirs, fig. 8 , en multipliant la superficie de tète, que nous venons de trouver de 0,1265, par sa longueur, que nous supposerons de 0,50; ce qui donnera pour le cube cherché, 0,06325.

Nous avons déjà dit , en parlant des tailles , que leur évaluation devait être en raison de la quantité de pierre abattue, et de la formation des surfaces.

La quantité de pierre abattue pour former un voussoir est égale à la difiérence du cube que produit le voussoir, tout taillé, avec celui du prisme dans lequel il pou-* vait être compris : ainsi le rectangle 1,2,3,4, circonscrit à la tête du voussoir qu'il s'agit d'évaluer, pourra être considéré comme la base de ce prisme; et, d'après les mesures que nous avons ci -devant indiquées, on pourra trouver sur l'épure les dimensions de ce rectangle , qui sont de 437 millimètres sur 365.

Mais , comme dans toutes les figures circulaires , il suffit de connaître la longueur du rayon pour en déduire la mesure de toutes les autres lignes qui se terminent à la circonférence , nous allons indiquer le moyen de trouver, parle calcul, les deux cêtés du rectangle sans avoir besoin de Tépure , afin que ceux qui sont jaloux d'une grande précision puissent l'obtenir, et que les élèves qui veulent s'exercer à ce calcul « très-utile dans une infinité de circonstances , puissent le faire.

Il est aisé de voir, par les fig. 6 et 8 , que la longueur 1 ,4 est égale au double de la tangeute 1 , £ de l'angle g, Cjt, ou de l'arc g, t , qui en est la mesure. Ainsi , connaissant le rayon t, C, on aura la valeur relative de 1 , f^ en faisant celte proportion :

Le rayon , ou sinus total f^ C , est à 1 , t^ tangente de l'arc gjt, qui est de 1 2 degrés 51 minutes v, comme la valeur de t, G, qui est de 98, est à un quatrième terme ; et , en ne prenant que les premiers chiffres des tables des sinus , cette proportion s'écrira ainsi :

Dont le double 448 sera la valeur en millim. de la ligne 1 , 4 , ou du côté du rectangle

Pour avoir la hauteur du rectangle , il faut remarquer qu'elle est égale à l'épaisseur de la voûte, plus la flèche de l'arc i, h , qui peut être exprimée par la difiérence du sinus total et du cosinus de l'arc i , (^ , qui est de 1 2 degrés 5 1 minutes et demie ; c esU à-dire par la différence entre 1000 et 975 , qui est de 25 ; ce qui donne la proportion :

1000 : 25 : : 0,063 : 0,01 575 , qui sera la valeur de la flèche.

Ainsi, l'épaisseur de la voûte étant 0,35, la hauteur du rectangle sera 0,36575.

Le rectangle circonscrit à la tête du voussoir dont il s'agit , ayant 0,448 sur 0,365 ( en négligeant les deux derniers chiffres ) , produit en surface 0,1635; et, en supposant la longueur du voussoir de 0,50 centimètres, le cube du prisme dans lequel il pourrait être compris sera 0,08176; mais, comme le volume de ce cube dépend

NOUVELLE MÉTHODE, CHAPITRE H. 1l7

aussi de Fintelligence de lappareilleur et de la forme du bloc de pierre dans lequel

il est pris , on ajoutera à ce cube un septième , ce qui le porte à 0,09344 .

Le cube du voussoir tout taillé étant 0,06325, celui de la pierre jetée bas

sera 0,03019.

Pour les surfaces taillées , on aura :

1*. Pour les deux tètes du vouâsoir 0,1 265x2, qui donne 253

2*. Pour les deux coupes de chacune 0,35 xO,50, qui donne. . . 350 3*. Pour leS' plus-valeurs de quatre arêtes droites sur la longueur,

de ensemble 2 mètres sur 0,08 , produisant 1 60

4*. Pour les quatre arêtes des tètes de voussoirs, de ensemble

1,04 sur 0,08, produisant 112

Total des tailles des surfaces droites 875

S**. Pour les surfaces courbes ,

Celle de la douelle d'intrados, de 0,26 jX 50, produisant 1433

Celle delà douelle d'extrados, de 0,44x50, produisant 2200

Les deux arêtes courbes d'intrados, de cbacune 0,286 sur 0,08 ,

produisent - 0458

Les deux arêtes courbes d'extrados, de cbacune 0,44x0,00, produisent. . 0704

Total des tailles de surface courbe 4795

' Détail pour réévaluation.

Le cube de pierre compris déchet , dans lequel ce voussoir est pris , étant de 0,09344 en le supposant en pierre dure de Vergelé , dont le mètre cube rendu à Tatelier revient à 38 fr. 84 c. , la valeur de ce cube sera de 3 fr. 63 c.

Pour la façon.

On aura, l"". le cube de pierre abattue qui est de 0,03019, à raison de 30 fr. 80 produisant, r 86

0, 875 superficiels de taille droite pour têtes, coupes et plus- valeur d'arêtes, h raison de 1 fr. 15 produisant 1 00

0, 4795 superficiels de taille courbe et plus-valeur d'arête, à 2 fr. 50 produisent. . 1 19

Récapitulation pour la i^aleur du voussoir.

Pierre 3 63 1 « «o J » ^^^^'

Taille 3 05 j ^ ^^ 7 63

Bénéfice et faux-frais f 95 )

Transport et^pose en place 1 26

Éi^aluation du iH}usêoir représenté par la figure 10 , qui fait partie dun des ari^^ tiers d'une voûtedarite, formée par deux berceaux ^ semblables au précédent, qui se croisent à angles droits.

Il est à propos de remarquer que ce Toussoir peut être considéré comme corn* posé de deux parties d'un voussoir de voûte en berceau, coupé d'onglet, pour former un angle saillant, d'où il résulte que le cube de ce voussoir, tout taillé, serait égal à un voussoir de voûte en berceau de mêmes cintre et dimensions , dont la longueur serait/?^ h, fig. 10.

On voit , par la fig. 9 , que/> , n se compose de 3 i -4- i 4*

Pour avoir i 4, on voit que si Ton prend 1^ g, qui est de 0, 35 cent, pour sinus total, I 4 sera le cosinus de l'angle g, i, 4, qui est de 25 degrés 45 minutes, prenant 1,000 pour sinus total; le cosinus 1 4, sera 900, et on aura la proportion :

1,000 : 900 :: 0, 35 est à un quatrième terme, qu'on trouvera 91 cent, et demi pour la valeur de 1^ 4.

Observant ensuite que 3, 1 de la fig. 9. ou son égale 1 4 de la fig. 6, indique la différence entre le sinus de l'arc ij h, e, fig. 6 , qui^est de 64 d^és 17 minutes et demie, et celui de A^ e, qui est de 38 degrés 34 minutes et demie, c'est-à-dire , entre 900 à 623 , qui est de 277; prenant emsuite le rayon i> G, qui est de 630 millimètres pour sinus total , on aura la proportion.

1000 : 277 :: 630 : à un quatrième terme qu'on trouvera 174 pour la valeur de 3 I : ce qui donnera 1 4 + 1 3 « 315 -|- 174 = 489.

La longueur moyenne de chaque partie étant égale à la moitié dep, A , le cube des deux parties réunies sera égale à la superficie de tète que nous avons trouvée être 0, 1265, parp^ h, ou 0, 489, ce qui donne 0,0618 pour le cube cherché du voussoir taillé.

Ce voussoir pouvant être compris dans un prisme à base carrée, dont les côtes seraient exprimés farp, h =sp ^ 3 , et la hauteur par 1 , 3 , fig. 9, on connsAip, /i ss , 489. Pour avoir 1,3, =1,A + A, 3,on remarquera qu'en prenant hj f pour sinus total , I , A sera indiqué par le sinus de l'angle y* qui est de 51 degrés 26 minutes, pour le cosinus de l'angle h , qui est de 38 degrés 34 minutes; ce qui donne la proportion.

1000 : .0, 35 :: :0, ^82 est à un quatrième terme qu'on trouvera = 0, 2737 pour la valeur de 1 , A.

Pour déterminer A 3 , de la fig. 9 , ou son égale A 4, fig. 6 , on voit que , si Ton prend le rayon b, C^ de cM.e dernière figure pour sinus total , A 4 sera égal à la différence du sinus de l'arc A, i^ A à celui de l'arc b, i.

L'arc £, i, h étant de 51 degrés 26 minutes, son sinus sera 782, et celui de î!arc b, i, qni est de 25 degrés 43 minutes, de 434; la difiéreoce sera de 348 pour

un rayon de 1000 parties; mais b G étant de 0, 63 centimètres ou 630 millimètrès , on fera la proportion i

iOOO : 348 :: 630 : à un quatrième terme qu on troavera de 0. 219, et qui est la Taleur de A 3.

i, h étant 2737

El A 3 2192

1 3 sera 4929

Ainsi le cube du prisme, dans lequel pourrait être compris ce Toussoir, serait exprimé par 489 X 489 X 4929, qui donne 0, 11786, auquel ajoutant, comme ci-deTant, 1 septième, on aura 0, 1347.

Le eube du Toussoir tout taillé étant de 061 8 , celui de la pierre abattue pour la fdniier aeca 0, 0729.

Pour les sur&ces taillées on aura :

Pour les deux joints de tète 25300

Pour le$ àeuji çoppe» de dcMUs, d'epKVible 0, 804 X 35 281/0

Le« deufc coupf s d^ dessous , formée par deux triangles semblables, de 0, 315 sur 0, 350, produisent . 11025

Total 4e|i surflpices droites. ... « 64465

Sept arêtes droites , cbacuQe de 0, 35 si|r 0, 08, produisent. ... 19600 Toul de la taille droite 84065

Taille des surfaces courbes.

Celle de la douelle d'intrados, formée de deux parties, d'en-< semble 0,804, double de x^ y, sur 2867, développement de l'arc 1^ h, produisant ' ; • . . 2305

La taille de la douelle d'extrados aussi en deux triangles , dont un des eAtés est désigné par/2 , qu'on pourra trouver en cherchant la Taleor de 1/*, qui peut être pris pour le siaus de l'angle h^ qui est de 38 degrés 34 minutes, dont l'expression, en prenant 100 pour ' rayon, serait 623 ; ce qui donnerait la proportion : 1000 : 623 :: 35o, qui exprime en millimètres la coupe h,f, est à un quatrième terme qu'on trouvera de 218 millimètres :

Ainsi la surface de ces deux triangles sera égale à l'arc d'extrados multiplié par/2, ce qui donne 0, 218 X 0, 44 » 0960

La plus^ valeur de six arêtes courbes, d'ensemble 2, 18 sur 0, 08,

produisant 1744

Total des Uilles courbes 5009

Détail pour C évaluation de ce iH>uisoir.

Le cube de pierre compris déchet, dans lequel il est compris, est de 0, 1347 en pierre dé Vergeté dure, à 38 fr. 84 c 5 23

Pour la façcm on aura : l"". Le cube de pierre abattue, que nous avons trouvé de 0,0729,

à raison de 30 fr. 80 c. , vaudrai 2 25

0, 84065 de taille de surface droite, à raison de 1 fr. 1 5 c. , valent. 97 0, 5009 de surfaces en arêtes courbes , à raison de 2 fr. 50 c. ,

valent 1 25

Total 4 47

Récapitulation .

Pierre 5 23

Façon 4 47

Valeur sans transport ni pose 9 70

Transport et pose en place 1 79

Valeur entière 11 49

Bénéfice et faux-frais 7. . . : 1 68

Total 13 17

Êi^aluation du \H)ussoir d*arétier cTune i^oûte d*arc de cloître^ représenté par

la figure 12.

De même que le voussoir précédent, ce voussoir peut être considéré comme composé de deux parties de voussoir d'un berceau de même dimension, coupé diagonalement pour former un angle rentrant. La longueur de chacune de ces parties serait égale au produit de la moitié de/i, A, plus A ^ 3, figure 13, c'est-à-dtre , à ^ + 60 = 0, 3045 , et pour les deux 0, 609. Le cube de ces deux parties sera égal à la superficie d'un des joints de tête A, 1, f^ g^ que nous avons trouvé de 1265, par 609, ce qui donne pour le cube du voussoir tout taillé 0, 0770. Le prisme dans lequel ce voussoir pourrait être pris aurait pour base un carré de 489 4. 60 = 549 millimètres sur même hauteur que pour le voussoir de la voûte d'arête, fig. 10, c'est-à-dire, 493, qui donne en cube 0, 1445 ^ auquel ajoutant un septième, on aura pour le cube de pierre 0, 1651 , dont, en déduisant celui du voussoir tout taïUé que nous avons trouvé de 0, 0770, on trouvera pour celui de la pierre abattue 0,Q88t.

Surfaces taillées droites.

Pour les deux joints de tête 2530

Pour les deux coupes de dessous 0, 848 X 35, qui donne. ... 2968

Les deux coupes de dessus , ensemble 0, 2 1 8 sur 0, 35 , produisent. 0763

14 arêtes droites, d'ensemble 2, 412 sur 0,08, produisent. ... ,1929

Total des surfaces droites 8190

Surfaces et arêtes courbes.

Celles des deux parties de douelle d'intrados, d'ensemble 0,262

sur 0^2867, produisent 0751

Les deux parties de la douelle d'extrados , d'ensemble 0, 951 sur

0,44, produisent 4184

Six arêtes courbes, d'ensemble 2, 20 sur 0,08, produisent • • • 1760

Ensemble 6695

Détail pour Féi^aluation de ce voussoir.

Le bloc de pierre,. dans lequel cevoussoir est pris., a été évalué à 0, 1651 cubes en pierre de Yergelé dure, à raison de 38 fr. 84 c, vaut • 6 3

0,0881 de pierre abattue, à raison de 30 fr. 80 c, valent. ... 2 7

0, 819 de tailles de surfaces droites, et plus-valeur d'aréte, à raisou de 1 fr. 15c., valent. ••.... * . 94

0,6695 de tailles de surfaces courbes, et plus- valeur d arêtes, à 2.fr. 50 c, valent 1 67

Valeur sans transport ni pose. .... 1 i 63 Transport et pose en place de 0, 0770 , à raison de 18 fr. 36 c. le mètre cube, valent 1 . 41

13 04^ Bénéfice et faux-frais , t septième 1 89 '

Valeur entière du voussoir 1 4 fr. 93 c.

Voussoir de voûte sphérique.

Ce voussoir représenté par la figure 1 4 faisant partie d'un secteur sphérique, on en trouvera le cube en Atant celui du secteur C^h, i, 8-, -9 de cehii du grand sec . teurC,/, ^,/'.