DU MF.SU RAGE
tr de L'*rpnrcnTio.x ols ruTU-mMus , arc» rr yoeits.
Pour pouvoir mettre à prix les ouvrages de ce genre, il fout connaître trois choses :
Leur cube par équarrissement, leur cube en assise et la surface de leurs parcmens de face, d'intrados et d'extrados.
Leur cube par ëquari issement s'obtiendra comme pour les murs en pierre, en cherchant à inscrire chaque claveau, ou voussoiren assise, dans le plus petit parai lelipipèdc possible.
Le cube en œuvre s'obtiendra en retranchant du solide formé par les faces verticales , les surfaces d'extrs»dos et le plan passant par la naissance des voûtes , le vide compris entre le même plan et la surface d'intrados.
Ces deux cubes étant connus , en les retranchant l'un de 1 autre on obtiendra le cube du refouillcmcnt et déchet.
Les surfaces apparentes des parenicns de face et celles d'extrados s'obtiendront comme pour les assises en pierre , en distinguant ce qui est sans évidement qui sera toujours compté à l'entier, de ce qui est après evidement, qui devra être compte à moitié.
La mesure d'intrados des plates-bandes et arcs sera toujours le produit de leur pourtour cinglé par leur longueur ou épaisseur; mais la surface d'intrados des quatre principales voûtes qui s'exécutent le plus souvent dans la construction , sont le résultat de régies que nous allons faire connaître.
Règles pour mesurer géométriquement la superficie des différentes espèces de voûtes exécutées sur toutes sortes de cintre.
Les voûtes peuvent être considérées comme des constructions eu maçonnerie à un parement, qui est ordinairement courbe. On en distingue de quatre espèces principales, qui sont: les voûtes en berceau, les voûtes d'arète, les voûtes d'arc de cloître et les voûtes sphériques.
La surface d'une voûte en berceau est à sou plan de projection, comme la ligne courbe qui forme la circonférence de son cintre est à la ligne droite (jui sert de corde à cette courbe.
lit
Application pour le* voile» en plein cintre.
La circonférence d'une voûte en plein cintre étant celle d'un demicercle, son rapport avec son diamètre, qui lui sert de corde, sera coram» 11. est à 7.
Si le plan de projection est un carré , dont chaque côté soit de 7 me très , la superficie de ce plan sera de 19 mètres ; cette superficie sera à celle de la voûte comme le diamètre du cercle est à sa denii-circonfcrence , c'est-à-dire comme 7 est à 1 1, ce qui donne pour la superficie de cette voûte 49 x ^ ou par 1 ^=77.
Si, au lieu d'une voûte eu berceau, il s'agit d'une travée de voûte d'arête, pour avoir sa superficie il faut savoir qu'on démontre en géométrie que les parties de berceau qui se croisent pour former une voûte d'arête sur un plan quelconque , éprouvent des retranebemens capables de former sur le même plan une voûte d'arc de cloître dont la superficie courbe est double du plan de projection ; d'où il résulte que la superficie courbe de ces deux voûtes est égale à celle des deux parties de berceaux dont elles se forment, c'est-à-dire au plan de projection qui leur est commun par ^xS ou par 3;.
Si de cette expression on ôte celle de la voûte en arc de cloître, qui est égale nu plan de projection multiplié par 2, il ne restera pour la superficie de la voûte d'arête que celle du plan de projection multiplié par 1 f.
Supposant que le plan de projection commun à ces trois espèces de voûtes est un carré dont les côtés sont de 7 mètres, produisant une superficie de 49 mètres carrés, la superficie de la voûte en berceau répondant à ce plan sera 49 x 1 f , qui donne 77 ; celle de la voûte en arc de cloître 49 x 2 , qui donne 98, et celle de la voûte d'arête 49 xd j , qui donne 56. D'où il résulte que les superficies de ces trois espèces de voûtes sur un même plan de projection , comparées à celle de ce plan , seraient entre elles comme 49, 77, 98 et 56 : comme 7, 11,14 et 8.
La superficie de la spbère étant égale à celle du cylindre circonscrit, il en résulte que la surface d'une voûte sphérique est égale à celle d'une voûte en berceau de même diamètre sur un plan carré ; ainsi la superficie d'une voûte sphérique de 7 mètres de diamètre serait de 77 mètres carrés.
Application* pour les voûtes surbaissée* ou surhaussées.
Le cintre de ces voûtes est ordinairement formé par une demi-circonférence d'ellipse ou une imitation de cette courbe avec des arcs de cercle.
Le rapport de la circonférence de l'ellipse comparée à ses axes, qui peuvent varier à l'infini , n'ayant pas encore été déterminé comme pour le cercle, on ne peut le trouver que mécaniquement ou par un calcul extrêmement long, indiqué dans le Manuel d'Architecture de M. Seguin, qui ne le donne qu'approximativeraent. Plusieurs essais de calculs, que j'ai faits à ce sujet, m'ont donné pour résultat une règle facile pour trouver dans tous les cas, d'une manière assez approchée pour l'usage, le développement de la circonférence des voûtes surbaissées ou surhaussées qui ne sont jamais des ellipses parfaites. Cette règle , appliquée à un demi-cintre ou quart d'ellipse , consiste à ajouter au demi-axe qui forme le demi-diamètre de la voûte , les * de l'autre demi-axe qui indique la hauteur du cintre; ainsi , pour trouver la demi-circonférence d'une voûte surbaissée, dont le diamètre serait de 7 mètres et la hauteur du cintre de deux , on ajoutera à trois et demi (qui est le demi-diamètre de la voûte, les j de deux, ce qui donnera 4 i, et pour la circonférence entière de la voûte 9 -) ; et si l'on suppose que ce soit une voûte en berceau, dont la longueur serait de 7 mètres, sa superficie serait de 9jX", qui donne 65 mètres.
La superficie des voûtes d'aréte et des voûtes d'arc de cloître surhaussées ou surbaissées varie dans ses rapports avec leur plan de projection ; mais, à cintre égal, elles conservent entre elles les mêmes rapports que les voûtes en plein cintre de même genre , c'est-à-dire qu'une voûte d'arête et une voûte d'arc de cloître de même cintre , prises ensemble , ont une superficie double de celle d'un berceau de même cintre et sur un même plan.
Supposons un berceau semblable au précédent, dont la superficie soit de 65 mètres carrés : la somme des voûtes d'arête et d'arc decloitre de même cintre sur ce même plan serait de 130 mètres carrés. Cette superficie doit se diviser en deux parties, qui soient entre elles comme 14 est à 8. Dans le rapport, 14 indique la voûte en arc de cloître, et 8 la voûte d'arête; ainsi, pour avoir la superficie de la voûte d'arc de cloître dont il s'agit, on fera la proportion 14+8=22 : 130 :: 14 : 82^ qui
NOUVELLE METHODE, CHAPITRE H. in
sera la superficie de cette voûte, laquelle étant ôtée de 130, donnera pour celle de la voûte correspondante 47-^.
toutes sphéroïdes surbaissées, sur plan circulaire.
On démontre en géométrie que la superficie d'une demi-sphère est égale au produit de la circonférence du grand cercle qui lui sert de base par le rayon; d'après cette propriété de la sphère, on pourrait croire qu'on devrait suivre la même règle pour les voûtes surhaussées ou surbaissées à base circulaire ; c'est-à-dire que leur superficie devrait ctrcégale au produit de la circonférence de leur base par la hauteur du cintre. Ainsi , pour une voûte surbaissée dont le diamètre serait de 7 mètres et la hauteur du cintre d'un mètre, la superficie devrait être égale au produit de 22, qui est la circonférence de la base par 1, qui est la hauteur du cintre, qui donnerait 22 pour cette superficie ; mais, telle surbaissée qu'une voûte puisse être, sa superficie doit toujours être plus grande que celle de son plan de projection , qui doit être de 22 par i { ; c'està-dire au produit de la circonférence par la moitié du rayon, qui donne 38 mètres et demi. Ainsi, la superficie d'une voûte ellipsoïde n'est pas, comme celle d'une voûte sphérique, égale au produit de la circonférence de la base par la hauteur du cintre.
On trouve, parmi les mémoires de l'Académie royale des sciences, de 1719, un mémoire de M. Scncs, de l'Académie de Montpellier, sur une nouvelle manière de toiser les voûtes en cul-de-four surhaussées et surbaissées. Cette manière est fondée sur une lemme ou propositiou démontrée dans les Œuvres deWallis, célèbre mathématicien anglais.
Le résultat de la méthode de M. Sénés, beaucoup trop compliquée pour l'usage, est que, pour les voûtes en cul-de-four surhaussées ou surbaissées , il faut multiplier la circonférence de leur plan de projection par la racine carrée du produit de leur demi-diamètre, par la hauteur du cintre; ainsi, pour une voûte à base circuloire surbaissée, dont le diamètre serait 7 et la hauteur du cintre 2, le produit du demi-diamètre par la hauteur du cintre sera 3^x2=7, dont la racine 2,C5 étant multipliée par la circonférence de la base, qui est 22, donnera pour la superficie de cette voûte 58 mètres 30 centimètres.
Quoique cette méthode ne puisse pas être rigoureusement démontrée, c'est cependant celle de toutes les règles proposées qui approche le plus de la véritable superficie , et qui est la plus simple.
TOMÏ v. 15
Il résulte des développeracns dans lesquels nous sommes entrés , que l'on arrive à l'appréciation des plates-bandes , arcs et voûtes , En déterminant le prix du cube en oeuvre; Le prix du refouillemeut et déchet; Enfin , le prix des paremens.
De l'appréciation do enbe en œuvre.
Il se compose :
1 *. Du cube de la pierre ;
2". Du déchet qui s'obtiendra, comme pour les assises, en recherchant les dimensions du parallélipipède réduit, résultant de la comparaison de tous ceux dans lesquels les voussoirs peuvent être inscrits, et on ajoutera 5 centimètres à chacune de ses trois dimensions s'il est en pierre dure, et 6 centimètres s'il est en pierre tendre;
3*. Des lits , joints et coupes : ils s'obtiendront en cherchant , d'après un ou plusieurs voussoirs, la surface d'un lit et d'un joint par équarrissement; et, d'après le cube en œuvre, la surface des autres joints, coupes ou crossettes que contiennent un ou plusieurs voussoirs, suivant la complication de l'appareil ; car, quelle que soit la forme d'un voussoir pour y opérer l'ébauche préparatoire, il faut toujours qu'un premier t, ou parement préparatoire et un joint soient taillés d'équerre; A". Le cube du mortier sera le résultat de la surface de ces lits et joints ;
5*. Le bardage comme pour les assises ; 6*. Le montage, idem;
7*. La pose présentera , suivant I espèce des arcs et voûtes , une valeur plus grande que pour les assises, et qui devra être le résultat d'expériences faites pendant l'exécution ou précédemment faites sur des voûtes semblables ;
Il résulte, de différentes notes prises à cet effet, que pour les arcs, plates- bandes et voûtes en berceau, la pose peut être portée à ; en sus de celle des assises de mur à deux paremens, ou à '-.
La pose d'une voûte d'arête peut être évaluée à ï de plus que la précédente, ou 77, ou f de celle des assises de mur à deux paremens.
La pose d'une voûte en arc de cloître peut être évaluée à |-i de celle des assises de mur a deux paremens.
La pose d'une voûte sphérique en plein cintre est la même que pour la voûte d'arête.
