livre
Rapport
de la longueur
à la
Suspendue
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de
champ plal
Suspendue
des deu* Lu Lili ,
de
plal.
De cliamp , eliargée d'un poids de
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De plat , chargée d'un poids de
25 Ut.
5o Si
OBSERVATIONS
Il est bon de remarquer que deux appuis placés aux extrémités d'une barre de fer horizontale peuvent bien la soutenir, en portant chacun la moitié de son poids , mais qu'ils ne peuvent pas l'empêcher de plier au milieu; il faut pour cela une troisième puissance placée à ce point. L'effort de cette puissance doit être égal à la moitié du poids de la barre , parce qu'il faut la considérer comme coupée en deux, et supposer les bouts soutenus dans le milieu par cette puissance. Ainsi, désignant le poids de la barre par p , sa longueur par /, en prenant son épaisseur verticale pour unité , l'expression de l'effort qui empêche la barre de plier
serait \p X^ l qui se réduit à -r ; c'est-à-dire au quart du produit du
poids de la barre par sa longueur / : ainsi la barre indiquée dans la table précédente par A étant suspendue horizontalement par les deux bouts et posée de champ, c'est-à-dire la largeur étant d'aplomb, fléchit dans le milieu d'une ligne ~,
Dans cette position, sa longueur exprimée par le nombre de fois qu'elle contient sa largeur verticale est de 58 , le poids étant de 57 livres , la formule ~ donnera Jiil. qUi Se réduit à 856 *. Divisant ce 4 4 ^
résultat par 1 { qui indique de combien la barre plie, on trouvera la fermeté de la barre = 661 |, qui répond à l'effort d'une barre de même grosseur placée de même, dont la longueur serait égale à 52 fois son épaisseur verticale, qui pèserait un peu moins de 51 livres et qui donnerait 2* '■ = 663 au lieu de 661 -f. L'expérience justifie ce résultat,
car une barre de cette longueur ne plie point.
La même barre suspendue de plat plie de 19 lignes f, son épaisseur qui n'est que de 7 lignes, donne 231 pour la valeur de /. Le poids de la
barre étant toujours de 57 livres, la formule p-j donne ■ 7 ,2 ' qui se réduit à 3291 \. Divisant ce résultat par 19 '- , on trouvera pour l'expression de la raideur de la barre 168 |, qui répond aussi à une longueur égale à 52 fois l'épaisseur, et qui pèserait un peu moins de 13 livres, ce qui
donne ffi1; = i 69. L'expérience justifie encore ce résultat : une barre ds 28 lignes de largeur sur 7 lignes d'épaisseur posée de plat ne com-
mence à plier que lorsqu'elle a plus de 30 pouces -, , c'est-à-dire 52 fois son épaisseur verticale; son poids est de 12 livres 15 onces.
Autre observation.
Il faut remarquer que quand une barre plie sans cnarge , la partie de son poids qui la fait courber se trouve partagée dans toute sa longueur, tandis que si l'on ajoute un poids au milieu, il agit à ce point avec toute son énergie et avec le levier le plus grand, en sorte que son effort est égal à celui d'un poids double qui serait réparti également dans toute la longueur de la barre; c'est pourquoi, dans cette circonstance, si l'on désigne par q le poids ajouté au milieu de la barre, on
doit avoir ^p -\- q X { l, ou p -\- 2 q x -. Ainsi, ayant ajouté au milieu
de la barre précédente, posée de plat, un poids de 12 livres, la formule donnera 57 + 24xiji, qui se réduit, après avoir fait les calculs indiqués , à 4678. Ce résultat divisé par l'expression de la fermeté de cette barre, que nous avons trouvée de 169, donnera pour la flèche de courbure 27 lignes ~ à peu près f, au lieu de 27 lignes '- que donne l'expérience.
La même barre chargée d'un poids de 25 livres courbe de 36 lignes; en y appliquant la formule on trouve 57-|-50 x ^ qui se réduit à 6179 '-. Ce résultat divisé par 169, donne pour la flèche de courbure 36 lignes -f^. La même chargée d'un poids de 50 livres courbe de 52 lignes , la formule aurait donné 53 ~.
En faisant ces expériences , nous avons observé que la courbe formée par une barre de bois ou de fer qui plie par son propre poids , est une espèce de chaînette, et que cette courbe change lorsqu'on ajoute un poids au milieu; elle devient d'abord parabolique, et à mesure que les branches de la courbe se redressent, les flèches de courbure augmentent en plus forte raison que les poids.
La courbure se maintient mieux dans les fers doux que dans ceux qui sont raides; ces derniers se rompent dès que le rallongement de la partie convexe, opposée au pli qui se forme à l'endroit où la charge est suspendue, surpasse le degré d'extension dont le fer est susceptible, fig. 3, PI. VIII.
En rapprochant les cordes qui tenaient une barre de fer suspendue;
à mesure qu'elle pliait par l'augmentation de la charge qu'on lui faisait soutenir au milieu , je suis parvenu à faire toucher les deux bouts sans qu'elle se soit rompue, comme on le voit figure 4 , la longueur de cette barre contenait 250 fois son épaisseur.
Il résulte de cette expérience, qu'une barre de fer courbée, figure 5, peut porter un poids presque aussi fort que celui qu'il faudrait pour la rompre en la tirant par les deux bouts.
Si au lieu d'une barre courbée , on considère deux barres formant un angle, figure 6, arrêtées par le haut et réunies par le bas au moyen d'un œil et d'un crochet, et qu'on suspende un poids à l'angle qu'elles forment à leur réunion, il faudrait, pour faire équilibre à la forée de ces barres, agissant comme une corde ou une chaîne, un effort qui fût comme la diagonale C D est à la somme des côtés AD, DB.
Pour la barre courbée, figure 5, on trouve que la force doit être au poids comme le développement de la courbe A D B est au double de la flèche C D.
Ainsi, nommant la force absolue^" le développement du contour. . b
le poids p
la flèche d
l'expression pour la barre courbe sera, pour la force absolue, f—. ~,
et pour le poids p = -j-.
Si ce sont deux barres qui forment ensemble un angle, figure 6, b exprimera la somme de leur longueur.
Si c'est une barre droite , 2 d exprimera le double de son épaisseur , en sorte que, prenant d pour unité, on aura pour la barre indiquée
dans la table par A, — ^°Xa = 552,73 pour la valeur d'un poids placé
au milieu, faisant équilibre à la force de la barre.
En faisant usage de la formule^-, on aurait trouvé, en prenant
pour la valeur de p , le double de 552,73 , la force de cette barre
__ 2.7 X2X2 qUj ge réduit à 63840, ce qui prouve l'accord de ces
deux formules , qui se rapportent aussi avec l'expérience ; car cette barre a fini par se rompre sous un poids de 560.
En considérant les résultats des expériences faites sur les barres indi-
quées dans la table précédente, on reconnaîtra, 1°. que les barres suspendues par le milieu, courbent d'environ \ de moins que celles suspendues par les deux bouts;
2°. Qua longueur égale, la flèche de courbure est en raison inverse du carré de leur épaisseur;
3°. Que l'augmentation de courbure de ces barres est proportionnelle aux poids dont on les charge dans le milieu.
Il résulte encore de plusieurs autres expériences, qu'à grosseur égale , la courbure des barres, doubles de longueur, est seize fois plus grande.
La courbure d'une barre ne commence à être sensible que lorsque sa longueur est depuis 44 jusqu'à 56 fois son épaisseur, en raison de ce que le fer est plus ou moins doux; et moyennement de 50.
Ainsi, la barre indiquée dans la table par G qui pliait de 23 lignes, ayant été coupée en deux, chaque moitié ne pliait plus que d'une ligne ii.
Les deux tables ci-après indiquent les résultats d'expériences faites sur des barres de même longueur et grosseur en fer forgé, en fer fondu de différentes qualités , et en bois de chêne et de sapin , pour parvenir à connaître leur force et leur raideur respectives, étant posées horizontalement sur deux appuis éloignés de 42 pouces et de 21 pouces.
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