TOME V Ifî

On démontre en géométrie que le cube de chacun de ces secteurs est égal au produit de leur surface courbe par le tiers du rayon. Or, pour avoir cette surface, il faut d'abord chercher celle de la zone sphérique dont elle fait partie.

La surface de cette zone , pour le grand secteur , est exprimée par le produit de la circonférence du grand cercle dont C , a, fig. 6, est le rayon multiplié par la hauteur k,m. C , a étant de 0, 989 millimètres, la circonférence sera de 6 mètres 1600, etfc, m peut être désigné par la difierence de Js , C, cosinus de l'angle, /, C , ^, ou de l'arc/", d , qui en est la mesure, avec celui de l'arc g,^f, d.

L'arc/", d, étant de 38 degrés 34 minutes et demie , son cosinus , en supposant 1 rayon divisé en 1000 parties , sera 782.

L'arc g, f, d, étant de 64 degrés 17 minutes et demie , son cosinus sera 434 : ainsi la difierence 348 sera l'expression de k, m en supposant lé rayon divisé en 1000 parties. Mais comme il est de 0 , 980 millimètres , on fera la proportion.

1000 : 348 :: 980 : un quatrième terme qu'on trouvera de 0, 341 millimètres.

La circonférence du cercle majeur étant de 6, 1600, la surface de la zone formant l'extrados sera 2 , 1 005.

Cette zone étant composée de dix voussoirs égaux, la partie de la superficie, répondant à chaque voussoir, sera, de 0, 2100 : laquelle, multipliée par le tiers du rayon donnera 0, 2100 X t^ = 0, 0686 pour le cube du grand secteur.

On' trouvera le cube du petit secteur de la même manière : son rayon étant de 0, 630 millimètres , la circonférence sera 3,9600, et la hauteur /, n delà zone qui forme la douelle intérieure se trouvera en faisant la proportion : 1000 : 358 :: 640 : un quatrième terme qui est 0 , 219.

La circonférence de '^cette zone étant 3,9600 et sa hauteur 0 , 219, sa surface sera 0, 8672 , dont la dixième partie donne pour la superficie du petit secteur

0, 0867 qui, étant multiplié parle tiers du rayon 210 , donnerait un cube 0, 0182, lequel étant ôté de 0^ 0686 donne pour le cube du voussoir 0, 0504.

Le prisme dans lequel ce voussoir est compris , étant formé des plus grandes dimensions de sa base, aurait pour longueur le double de la tangente 1 , r de l'angle

1 , m , r , fig. 13.

Le lit sur lequel pose la couronne dont ce voussoir fait partie étant une surface conique, son développement fait partie d'un secteur de cercle dont g:, C, fig. 6, serait le rayon , et la circonférence égale à celle d'un cercle qui aurait pour rayon g, m, sinus de l'angle g, C, d, qui est de 64 degrés 17 minutes. Ainsi prenant g, C , pour sinus total , on aura l'analogie 1000 : 900 :: 980 : un quatrième terme qu'on trouvera := 0, 882 pour le rayon g, m, et 5, 544 pour sa circonférence qui sera celle du secteur.

La circonférence qui a g , C pour rayon étant de 6, 1600, il en résulte que, pour avoir le nombre de degrés que comprend la circonférence du secteur, formant

le développement du lit sur lequel pose la couronne du voussoir , il faut faire l'analogie :

6160 : 360 .: 5544 • un quatrième terme qui donne 324 degrés dont la dixième partie donne pour celle répondant à chaque voussoir 32 degrés 24 minutes , et pour l'angle 1 , m , r , de la fig. 13,16 degrés 1 2 minutes dont la tangente 1 , r est 290. Pour avoir sa valeur en millimètres, on fera l'analogie :

1000 : 280 : : 980 : un quatrième terme, qui donnera 284 pour 1 , r et 468 pour la longeur 1, 2 delà base du prisme. Pour avoir sa largeur, il est facile de voir qu'elle est égale à la différence entre m, r et m, z de la fig. 13 , qui y sont représentés en racourci ; r, ni, qui représentele rayon extéri; urde la voûte étant de 0, 980 millimètres, pour avoir ni, z il faut remarquer qu'il est le cosinus de l'angle h, m , s, qui est de 16 degrés 12 minutes. Ainsi, prenant h, m pour sinus total, on aura l'analogie 1000 : 960 :: 630 ; un quatrième terme qui donuera pour la valeur de m, z, 604 millimètres , lesquels, étant ôtés des 980 donneront pour la largeur de la base du prisme 376 millimètres.

Quant à la hauteur du prisme, elle est indiquée par le double de la tangente i , t , fig- 6, de l'angle C, t, qu'on trouvera en faisant l'analogie :

1000 est à la tangente de 12 degrés 51 minutes et demie comme le rayon g , C , pris pour sinus total , est à un quatrième terme , qu'on trouvera 228 millimètres pont le double 456 est la hauteur du prisme dans lequel le voussoir est compris.

Le cube de ce prisme sera donc de 568 X 376 X 456, qui donne, après avoir fa'it les calculs ,0, 0974, auquel ajoutant 1 septième, on aura pour le bloc de la pierre 0, 11129

Le cube du bloc étant de 0 11129

Et celui du voussoir tout taillé 0 05040

Le cube de la pierre abattue est 0 06089

Surfaces taillées.

Pour les surfaces droites on a les deux joints de tête comme pour les autres voussoirs, de 0 253

Et quatre arêtes , chacunes de 0, 35 sur 0, 08, produisant. ... 0 112

Ensemble ~~Ô 365

Pour les autres tailles qui sont des surfaces courbes , on aura :

1°. Lasurface dulit inférieur qui est conique , et qui sera exprimée par la différence des deux secteurs indiqués par^, m , g , et h , m , i , fig. 1 3 , dont les rayons sont r, m et s , m , et les circonférences g',y et h, i , de 0 , 554, et 0, 356 , qui donne pour le plus grand secteur 554 X ^ = 0, 27146, et pour le petit 356 j iiiO, 11214 : ce qui donne pour la difîérence 0, 15932, qui sera le développement de la surface conique du lit inférieur, ci 0 15932

D'autre part. 0, 1 593

2°. Pour le lit supérieur on remarquera que les r.iyons des secteurs étant de même 0,980 et 0, 630, pour avoir les parties de circonférences qui répondent à ces secteurs, il faut connaître d'abord les valeurs àef, A, rayon du cercle qui forme la grande circonférence du secteur, et de /i , /, rayon du cercle qui forme la petite. Pour trouvery, k, il faut observer que l'angle/, C , ft étant de 38 degrés 34 minutes, son sinus, représenté par^, ^,sera de 623, et faire l'analogie :

1000 : 623 :: G, 980 : un quatrième terme qu'on trouvera égal à 0 , 61 1 , et qui sera la valeur en millimètres àef, A-.

Pour trouver de même la valeur de A^ l, sinus de l'angle h, C , l, oui est également de 38 degrés 34 minutes, l'analogie deviendra :

1000 : 623 :: 0, 630 : à un quatrième terme qu'on trouvera égal à 0, 392, et qui sera la valeur de h, l, en millimètres.

Connaissant ainsi la valeur de y, k et de h, l, on cherchera les circonférences dont ces lignes sont les rayons ; en multipliant ces circonférences par la moitié du côté des cônes dont elles sont les bases, on trouvera pour la surface du grand secteur 1,880; et pour celle du petit 0,780, dont la didérence sera de 1,100, pour les dix voussoirs et pour un 0 1 1000

Le total des surfaces des tailles coniques, ou à courbure simple sera donc de 0 26932

Quant aux surfaces sphériques des douelles, elles sont , ainsi que nous les avons déjà trouvées, 'pour la douelle d'extrados, de. ... 0 2100 Pour celle d'intrados , de 0 0867

Les quatre arêtes de la douelle d'intrados , sont d'ensemble 1 164

Et celle de la douelle d'extrados de 1 959

Ensemble 3 123

de longueur sur 0,08 de largeur produit 0 2498

Totaldes surfaces des tailles sphériques, ou àdouble courbure. . 0 5465

Jiésumé pour l'évaluation.

0, 1 1 1 29 cubes de pierre de Vergelé dure , à 38 francs 84 centimes , valent ^ 32

OjOôOBg cubes de pierre abbattue, à raison de 30 francs 80 centimes , valent 1 °°

0,365 superflciels de tailles de surface et arêtes droites, à raison de 1 franc i5 centimes, valent 0 42

0,269 superficiels de tailles de surface à courbure simple, à 2 francs 50 centimes, valent 0 54

0,547 superficiels de tailles de surface à double courbure, compris arêtes, à raison de 3 francs 50 centimes , valent 1 9'

Valeur sans transport ni pose 9 07

Transport et pose en place de 0,0504 cubes , à raison de 18 francs 36 centimes, valent 0 93

10 00 Bénéfice et faux-frais, 1 septième 1 43

Valeur entière du voussoir. ..11 43