ARTICLE PREMIER.— DE LA STABILITÉ RELATIVE AUX MORS

On peut distinguer, dans la construction des édifices , trois d^rés de stabilité , une forte, une moyenne et une moindre.

Ainsi , d'après les observations faites sur une très--grande quantité d'édifices de tous genres, il résulte qu un mur aura une forte stabilité, s'il a pour épaisseur la huitième partie de sa hauteur; que la dixième partie lui procurera une stabilité moyenne, et la douzième le moindre degré de stabilité qu'il puisse avoir.

Cependant, comme dans la composition des édifices les murs se com*binent les uns avec les autres, il en résulte qu'avec une moindre épais^ seur ils peuvent quelquefois avoir une stabilité suffisante.

Pour se former une idée juste de la différence d'un mur tout-à-fait isolé , avec celui qui se relie avec un ou deux autres , on peut , avec des morceaux de pieri^ équarris , ou avec des briques , bâtir de petits murs, tels que ceux représentés par les Figures 21, 22 et 23,Plan'- VI 192. ches CLXXXXn, dont la première présente un. mur isolé; la seconde deux murs qui forment ensemble un angle ; et la troisième deux murs formant avec un troisième deux angles droits.

U est facile dé concevoir que, dans le premier cas, le mur, Fig. 20 , poussé par une puissance horizontale MN , n'éprouvera de résistance qu'en raison de la largeur de sa base ; que , dans le second cas , le mur GF, Figure 21 , s'opposera en partie à l'action de la puissance MN , de manière qu'il n'y aura que le triangle HIF qui puisse se détacher ; et enfin que dans le troisième cas , représenté par la Figure 22 , la puissance MN ne pourra renverser que le triangle CGH, qui sera d'autant plus grand que les murs CD, HI seront plus éloignés.

Dans le premier cas, le tassement inégal du sol ou de la construc^ tion peut produire l'efiet de la puissance MN; il suflBt qu'il se fasse dans le bas une désunion horizontale , pour que le mur tomb«»

THÉORIE DES CONSTRUCTIONS. <lf

Bans le second cas , il faut qu'il se fasse une désunion oblique qui exige un plus grand effort de la part de la puissance MN.

Enfin dans le troisième cas, pour renverser le mur, il faut qu'il se fasse trois déchiremens qui exigeraient, de la part de la puissance MN^ une f<M*oe aicore plus considérable que pour le second cas.

Il est aisé de concevoir que la résistance éa mur placé entre deux autres, set^ plus grande en raison de ce que les murs CD, HI, seront plus près Fun de l'autre ; de manière que dans un rapprocbement ex^ tréme, le déchirement serait impossible, et que, dans un grand éloignement, la partie du milieu ne résisterait guère plus qu'un mur isolé.

Les murs qui renferment un espace sont dans le cas du mur précédent, parce qu'ils se soutiennent mutuellement par leurs extrémités : ainsi leur épaisseur doit augmenter en raison de leur longueur.

La méthode simple et facile que nous allons donner pour déterminer cette épaisseur dans tous les cas , est le résultat d'une infinité d'expériences , d'observations et de calculs.

Soit ABCD, Figures, Planche GLXXYUI, la face d'un des grands PI. 178. murs qui doivent renfermer l'espace rectangulaire EFGH , Figure 1 : après avoir tiré la diagonale BD , on portera dessus de Ben d la huitième partie de la hauteur, si l'on veut lui donner beaucoup de solidité, la neuvième ou dixième partie pour une solidité moyenne , et la onzième ou douzième pour une construction légère. Si par le point d on mènel une parallèle à AB,. leur intervalle indiquera l'épaisseur à donner aux grands murs EF, GH, dont la longueur est égale à AD. ' On aura l'épaisseur des murs EG, FH, en portant leur longueur de A en D', et, après avoir tiré la diagonale, on opérera comme pour les premiers.

Lorsque les murs qui renferment un espace ont différentes longueurs sur une Baéme hauteur, comme la Figure 3, on peut abréger l'opération en décrivant un petit cercle du point B, Figure 4, avec un rayon égal au huitième, dixième , douzième ou telle autre partie de la haujteur qu'on jugera k propos , pour nvoir une construction forte , moyenne ou légère ; on portera ensuiteleurlongueur£F,FG^GH,etHE, de AenD,D% D", et D'" ; et, après avoir formé 1« refctangles AG ^ AC', AG>' et AC'", on tirera du point commun B les diagonales BD, BD', BD'' et BD"', ^ui ecuperont le petit cercle décrit du point B en différens points, par le^

quels on mènera des parallèles à AB , qui indiqueront les épaisseurs de chacun de ces murs propoii;ionnées à leur longueur, pour avoir une égale stabilité.

On a rassemblé , dans la Figure 7, les opérations pour trouver les épaisseurs des murs formant les polygones 5, 6 , 8 et 9 que l'on suppose avoir même hauteur : ainsi, dans cette Figure, AD indique le côté de rhexagone, Figure 9; AD' celui du pentagone, Figure 8; AD" le côté du carré, Figure 5; et AD"' celui du triangle équilatéral , Figure 6.

Il est évident que par la méthode que nous venons de proposer on augmente l'épaisseur des murs en raison de leur longueur et de leur hauteur^ car Tune ou l'autre ou toutes les deux ne peuvent recevoir d'accroissement ou de diminution , sans que la diagonale n'éprouve le même efiPet et en même proportion.

On peut déterminer par le calcul l'épaisseur des murs que nous avons trouvée géométriquement. Il suffit pour cela de faire une figure en proportion comme pour les exemples précédens, et une simple règle de trois. La figure étant faite sur une échelle assez grande pour indiquer les pouces , on mesurera avec cette échelle la longueur de la diagonale : connaissant par ce moyen les trois côtés du triangle ABD semblable au petit triangle Bde^ on aura BP est à Bci-, comme AD est k éd. Exemple:

Supposons que la longueur du mur, désignée par AD , soit de 38 pieds, et sa hauteur AB de 12 pieds , on trouvera la longueur de la diagonale de 30 pieds 5 pouces 7; et prenant la neuvième de ABou <6 pouces pour l'épaisseur à porter sur la diagonale de B en ^, on dira : si 30 pieds 6 pouces donnent 1 6 pouces , combien donneront 28 pieds? et on trou^ vera pour la valeur de ed, ii pouces 8 lignes.

On peut encore trouver cette épaisseur par le calcul trigonométrique , par le moyen de deux analogies ou proportions : la première poui trouver l'angle ABD, que fait la diagonale avec la verticale AB , et la seconde le rapport de la diagonale avec le côté AB. Par la première, en prenant ABpour sinus total , on aura 12 : 28 ::sin. tôt.: tang. ABD, et t^ette proportion donnerait ADB = 66^ 40'; par la seconde analogie on aura en prenant B^f pour sinus total, sin. tôt : sin. 66* 40^ :: 16 : Brf, d'où Ton aura erf= 14 pouces 8 lignes comme plus haut*

Considérant les di£Pérentes formes que peut avoir un espace renfermé par des murs, on reconnaîtra facilement que plus la figure de cet

THÉOKIE DES CONSTRUCTIONS. 113

Mpace auffi de^côtës, plus cIiacuD de ces côtés sera petit, comme on peut le voir dans les Figures 6, 5, 8 et 9 qui renferment des espaces ^aux en superficie; d'où il résulte que plus un espace renfermé par des murs a de côtés , moins ces murs ont besoin d'épaisseur.

Méthode algébrique pour inscrire une superficie donnée en un polygone

régulier.

On supposera le polygone divisé en autant de triangles qu'il a de côtés, par des lignes qui aboutissent au centre c, Figure 8; sur uà de ces triangles AGB, on abaissera du centre c, devenu le sommet de chacun des triangles, une perpendiculaire CD, sur la base ou côté AB. La superficie de ce triangle sera égale au produit de DB, moitié de AB par CD , ou au rectangle DCFBj si l'on désigne DB par a:, et CD par ^, et la surface donnée par/?, on aura :

Pour le triajigle équilatéral xxj'XSss/?, ou xyr=r^^ Pour le carré xjr x ^=p, ou xy = 2 Pour le pentagone , xjrxS =/>, ou xjrss^.

Pour rbexagone, ;c/- x 6=:p, ou xjrs=:^.

Afin de résoudre ces équations, qui contiennent deux inconnues, il faut connaître le rapport de x kjr^ qui doit être comme le sinus des angles opposés aux côtés DB et CD.

Dans le triangle équilatéral, ce rapport est comme le sinus de 60 degrés est au sinus de 30 , comme 86603 est à 50000, comme 8 7 est à 5, comme 36 : 15, ce qui donne

ar:^:: 26:15; et 15 ar=26j', d'où l'on tire r = -^

substituant cette valeur dans l'équation xjr = g , on aura

—^ = |> qui devient xx^^, et xtsz yî^- Supposant que la superficie donnée est 3600 , on aura

X =s Y/ 36ooxa6 ^ q^| donne, après avoir fait les opérations mdiquée% X = 45.6, et le côté AB s: 91,2,

TCMII IT. 14^

, Pour le pentagone x :jr :: sin. 36 : aîn. 54 , comme 58779 est à 80903; ce qui donne la valeur de r = -^ — .

Substituant cette valeur dans Téquation xj=^^^ il vient

80902XJC 36oo 4/58779X7^0

qui donne y après avoir fait les opérations indiquées, ^ = 22,87, et le côté AB = 45, 74.

Pour rhe;^agone, on a xr;^ :: sin. 30 :sin. 60, comme 50000 ; 86603 ;: 5 ; 8 ; ,

ce cfui donne la valeur de^- == — i-. Cette valeur étant substituée dans

l'équation xjr =^ ^ donnera ^-4^=600, qui devient -rx = ^°°^'^ , ensuite x=\/346,15,et enfin a:=18,61, et la valeur du côté AB=37,22.

Méthode géométrique pour parvenir au même résultat.

Supposons que ce soit un pentagone, on en décrira un d'une grandeur quelconque, ou seulement un des triangles égaux ACB, dont il se compose, ayant pour base un des côtés et le sommet au centre; du sommet on abaissera sur la base une perpendiculaire CD, qui la divisera en deux parties égales; d'où il résu^Ite que la superficie de ce triangle sera égale à celle du rectangle GDBF.

Sur le côté AB, prolongé s'il est nécessaire, on portera CD de D en £, et du milieu de BE comme centre, on décrira une demi-circonférence de cercle, qui coupera CD au point G, et GD sera le côté d\iii carré de même superficie que le rectangle CDBF. Les côtés des figures semblables étant entre eux comme les racines carrées de leur superficie , on cherchera la racine de la superficie donnée, qu'on portera de D en ^, et du point ^ on mènera des parallèles à GE et a GB, qui détermineront sur AB des |>oints a et 6, qui donneront d'une part D6=:à la moitié d'un côté du polygone cherché , et de l'autre le rayon D e de la circoiv férence dans laquelle il serait inscrit; ce qui est évident, à cause des triangles semblables EGB et eghy qui donnent BD : DE :: hD : D^.

^ Oq peut déduire en général de ce que les côtés des figures semblables sont enti'e eux comme les racines de leurs superficies , un moyen fort simple de réduire une figure quelconque à une surface doiuiéc ; pmrr

cela ; il faut former un angle de réduction , figure 10, dont un des côtés soit égal à la racine de la plus grande superficie, et la corde de Tare qui détermine l'ouverture de cet angle , égale à la racine de la plus petite superficie. Supposant que la plus grande superficie soit 1 156 , et la plus petite à laquelle on veut réduire la figure = 529 , on tirera une ligne indéfinie, sur laquelle on portera de A en B la racine 34 de 1156; ensuite, du point A comme centre ayant décrit un arc indéfini , on fera , avec une grandeur égale à la racine 23 de 529 , une section gi on tirera S. g qui formera Fanglede réduction^ AB,par le moyen duquel on rcduiim la figure,, en portant toutes les mesures de la grande sur la ligne AD , avec lesquelles on décrira des arcs , dont les cordes seront les côtés cherchés.

S'il n'est pas question de réduire , mais de faire une figure dont la superficie et la forme soient données , on fera une figure d'une superficie quelconque , mais plus grandie , qu'on réduira à celle proposée.

Le cercle pouvant être regardé comme un polygone d'une infinité de côtés extrêmement petits , il en résulte qu'une enceinte circulaire pourrait subsister avec une épaisseur infiniment petite ; cette propriété se démontre par une expérience fort simple : car si l'on prend une grande feuille de papier , on ne pourra jamais la fiiire tenir debout étendue en ligne droite; mais si Ton s'avise d'en former un cylindre creux , elle se soutiendra avec une certaine stabilité, quoique l'épaisseur qui lui sert de base ne soit pas la millième partie de la hauteur de la feuille.

Cependant comme les murs doivent avoir ime certaine épaisseur pour se soutenir solidement , parce qu'ils sont composés de parties qui peuvent se désunir , on pourra considérer une enceinte circulaire comme un polygone régulier de douze côtés, et déterminer son épaisseur par les procédés ci-devant expliqués.

Ou bien , pour rendre l'opération plus simple , chercher l'épaisseur d'un mur droit, dont la longueur serait égale à la moitié de celle du rayon.

Supposons, par exemple, une enceinte circulaire de 56 pieds de diamètre et de 18 pieds de haut; dont il s'agit dé déterminer l'épaisseur : on formera un rectangle ABCD,fig. 2, dont la base AD soit égale à la moitié du rayon, c'est-à-dire à 14 pieds, et dont la hauteur AB soit de 18 pieds, ayant ensuite tiré la diagonale BD, on portera dessus,

de B en d fia neuvième partie de la hauteur, c'estrà-dire 2 pieds, et on tirera par le point d une parallèle ad, kla, base dont la longueur indiquera rëpaisseur du mur que Ton cherche, que l'on trouvera de 14 pouces trois quarts.

Pour faire cette opération par le calcul, on ajoutera ensemble le carre de la hauteur et celui de la moitié du rayon, c'est-à-dire de 18, qui donne 324, et 14 qui donne 196, et on extraira la racine carrée de la somme 520 qu'on trouvera égale à 22,8 qui sera la valeur de la diagonale BD; on fera ensuite la proportion 22,8 est à la moitié du rayon qui est 14 pieds , comme la neuvième de la hauteur du mur qui est 2 pieds est à un quatrième terme , qu'on trouvera être 1 4p*-,74.

Le mur extérieur de l'église de Saint-Etienne-le-Rond, à Rome, Planche PI. 181. CLXXXI, forme une enceinte circulaire de 1 98 pieds de diamètre. Ce mur, qui est construit en maçonnerie de blocage revêtu en briques , a 2 pieds 4 pouces d'épaisseur sur 22 pieds et demi de haut. En y appliquant la règle précédente, on trouvera que la diagonale du rectangle qui aurait pour base le côté d'un polygone égal à la moitié du rayon sur 22 pieds et demi , serait V/49 7X49^ + 227X22^, qui doiine, après avoir fait les calculs indiqués, 54^; faisant ensuite la proportion 54,37:49:5::^^ est k

un quatrième terme Xy qui représentera l'épaisseur cherchée, on trou-' vera x =: 2 pieds 3 pouces 4 lignes , au lieu de 2 pieds 4 pouces.

Cet accord de la règle que nous proposons pour un mur d!un diamètre presque aussi grand que celui du mur extérieur de la Halle au Blé de Paris y et qui existe depuis plus de quinze siècles, peut donner une idée de son exactitude.

ABneuB n. — db l'épausbua a donner aux uxms dbs édifices qui ne f ont

PAS voûtés.

Ces murs, ordinairement placés à des distances moins grandes que ceux qui forment des enceintes découvertes , se soutiennent avec une moindre épaisseur, surtout lorsqu'ils sont réunis par des planchers ou des toits disposés d'une manière convenable.

Il y a de très-grands édifices , tels que les anciennes basiliques de Rome, qui ne sont couverts que d'un toit; d'autres ont un simple plafond sous le toit; les palais et les bâtimens d'habitation ont souvent plusieurs rangs de planchers au-dessous du toit.

t&ÉORÏE DES CONSTRUCTIONS. fI7

]!(ous allons commencer par les édifices qui ne sont couverts que d'un seul toit de charpente, comme étant les plus simples après les murs de clAture.

Parmi les édifices de ee genre, il y en a qui ont défS points d'appui continus, tels que des murs qui se relient et s'entretiennent mutuellement les uns et les autres; d'autres ont des points d'appui isolés, tels que des piliers, des colonnes ou des pilastres qui se réunissent par des arcades.

Lorsque la charpente qui forme le toit d'un édifice est hien entendue , bien loin de nuire à la solidité des murs ou points d'appui qui la soutiennent, elle sert à les entretenir.

Il existe plusieurs édifices Considérables, dont lés murs étpoirïts d'appui fie pourraient pas se soutenir sans le secours de la charpente des toits qui les couvre. A Rome, la basilique de Saint-Paul hors les murs, réprésentée pair la Planché CLXXXTV, Figure 1, est divisée en cinq nefs formées pi^ I8i. par quatre files de colonnes reliées par dés arcade qui soutiennent iles murs sur lesquels pose là charpente du comble, comme on le voîl par la coupe en travers. Planché GLXXX. La néf du milieu a 23 mè- pi j^q très ^ ou 73 pieds { de largeur sur 30 mètres ^ ou 93 pieds 10 pouces de hauteur. Les murs qui forment cette nef sont érigés sur des colonnes de <0 métrés ;— ou3< pieds 9 pouces de haut, et leur épaisseur est d'un peu moins de trois pieds^ cW-à->diré qu'elle n'est que la trente-deuxième partie de leur hauteur.

A la ville Adrienne , les murs les plus élevés qui se soient maintenus jusqu'à présent sur pied n'ont pour hauteur que 1 6 fois leur épaisseur, sur 16 métrés ^ ou Si pieds 9 pouces de longueur. Ces murs , <](ui fbr^ Inaient de très*grandes salles, étaient pleins dans toute leur étendue, et entretenus par d'autres & leiïrs extrémités. Ainsi on peut croire que si tes tnurs de ta basilique de Saint-Paul n^étaient pas entretenus par ta charpente du comble de la grande nef y et appuyés par celle des bas cdtés^ ils ne pourraient pas se soutenir^. H en est de même des murs (|ui forment la nef de l'église de Saihte-Sabiné, représentés en plan par k

^ Cette prévision de la théorie n'a été que trop complètement justifiée lort de rinoendie

qniadiétniit Tégliie de Saint-Paul-hors-les-miirtf, dans la nuit du 15 an 16 juillet 1823.

Le tableau que MM. Allanx et Lesueur, alors pensionnaires de l'Académie de France, à

Rom« , nous ont donné des raines de cet édifice , vte peut laisser aueun dfoute à cet ^ard.

Voyes Fue$ choiêUê det monumens antiaues de Rome. — Paris , f 826.

Figure 2 de la Plaoche GliXXXIY, et en coupe. Planche CLXXX. Ces murs, qui sont aussi élevés sur des colonnes , ont 16 mètres ^ ou 52 pied de haut , 47 mètres 7; ou 1 45 de long et un peu moins de 2 pieds d'épaisseur , c est-à-dire la vingt-sixième partie de leur hauteur.

Mais en ne comparant Fcpaisseur de ces murs qu'avec la hauteur des has côtés, qui forment la plus grande partie isolée, on trouve que, dans la basilique de Saint-Paul, elle en est la dix-septième, et à Sainte^ Sabine la treizième. Dans les autres basiliques ou églises à colonnes , la moindre épaisseur du mur est le douzième de la grande partie isolée , comme à Sainte-Marie-Majeure, Sainte-Marie, à Transtevère; Saint«- Chrysogone , Saint-Pierre-aux-liens , à Rome ; Saint-Laurent et Saint- Esprit, à Florence; Saint-Philippe-de-Néri , à Naples: Saint-Joseph et Saînt-Dominîque-le-Grand , à Palerme.

Il faut remarquer que l'épaisseur à donner aux murs peut dépendre de la manière dont^ils sont construits et des matériaux qu'on y emploie, autant que de leur élévation et de leur charge. Un mur en moellons ou en pierre de taille, de 12 pouces, dont toutes les pierres forment l'épaisseur du mur, est quelquefois plus fort qu'un de 18 à 20 pouces, formé de pierres qui n'ont que la moitié ou le tiers de cette épaisseur, dont le milieu n'est qu'un remplissage de pierrailles que les ouvriers emploient souvent avec de la poussière sans mortier. C'est ainsi que sont construits à Paris la plupart des murs mitoyens; j'en ai vu qui se séparaient en deux sous la charge des planchers , presque toujours plus considérables d'un côté du mur que de l'autre. •

Mais il ne faut pas perdre de vue que c'est plutôt la stabilité que la force qui constitue la solidité des édifices; car it est certain qu'un mur eiv pierre dure , de 4 pouces d'épaisseur, serait plus fort qu'il ne faut pour soutenir la charge que portent des murs de 18 pouces d'épaisseur dans les maisons les plus élevées , c'est-à-dire de cinq à six étages ; et cependant il est évident qu'un pareil mur n'aurait pas assez de stabilité , à cause du peu de largeur de sa base.

L'examen particulier que j'ai fdit d'environ 280 édifices de tous genres, anciens et modernes, situés tant en France qu'en Italie, m'a fait connaître que dans ceux couverts d'un simple toit à deux pentes, composés de fermes d'assemblage en chai'pente , avec plafond ou sans plafond , et disposés de manière à empêcher l'écartement des murs , ^a moindre épaisseur des murs bien construits , en moellons ou ei^

briqnes, est la vingfKfuatriéme partie de la largeur, dans œuvré, cVstàdire prise des nus întërieurs.

Dans les maisons partieulières » divisées en plusieurs étages par des planchers, nous avons trouve que l'épaisseur des murs de face est depuis 15 pouces jusqu'à 24; celle des murs mitoyens, de 16 à 20 pouces, et répaisseur des murs de refend de 1 2 à 18.

Dans les bâtimens plus considérables, les murs de face ont depuis 2 pieds jusqu'à 3 pieds d'épaisseur ; les murs mitoyens, de 20 à 24 pouces ; et les murs de refend , de 1 5 à 20 pouces.

Dans les palais et les grands édifices , dont les rez-de-chaussée sont voûtés , les murs de face ont depuis 4 pieds jusqu'à 9 pieds , et les murs de refend depuis 2 Jusqu'à 6 pieds.

Il est à propos de faire observer que , dans le grand nombre d'édifices que nous avons eu occasion d'examiner, nous n'avons pas toujours trouvé l'épaisseur des murs et points d'appui proportionnée à leur position , aux espaces qu'ils renferment, ni aux charges qu'ils supportent. Dans quelques-uns, de très-grands espaces et des charges considérables répondent à des murs et des points d'appui trés4aibles ; et dans d autres des murs très-épais renferment de très^petits espaces, et de forts points d'appui n'ont presque rien à soutenir.

Afin de parvenir à établir une l'égle sure et foeile pour déterminer l'épaisseur deâ^ murs dans les édifices qui ne sont pas voûtés , nous avons considéré que les entraits des fermes de charpente qui forment les combles, étant toujours posés dans le sens de là largeur, de même que les poutres et les solives des planchers , doivent servir à entretenir les murs opposés ; mais à cause de l'élasticité et de la flexibilité doïit les bois sont susceptibles, ils ne laissent pas de fatiguer les murs en raison dé la plus grande laideur des espaces qu^ils renferment; d'où il résulte que c'est la laideur et la hauteur des pièces qui doivent servir à déterminer l'épaisseur des murs*

Première règlcm

Dans les bâtimens qui ne sont couverts que d'un simple toit, si les murs sont isolés des deux côtés dans toute leur hauteur, jusque sous les entraits des fermes du comble, comme l'indique la figure 1 de la Planche CtJtXIX , ayant tiré la diagonale BD , on portera dessus, de B pl. 179

en 6 et de D en d, la douzième piotîe de la hauteur AB; ensuite par les points b et d,on mènera des parallèles à BA et DC, qui Tonneront avec ces lignes le profil de Tépaisseur des murs.

Lorsqu'on connaît la hauteur AB et la largeur AD, on peut trouver l'épaisseur Ae par le calcul, en faisant attention que BD=VSï+ÂD2 ; connaissant la valeur de BD, on aura celle de r A, ai faisant la proportion AD : AD :: B6 : d'où cA = — g^*

jPremière application \

Supposant la largeur i|G de 24 pieds, et la hauteur AB de 33 , on aiu^a

V^AB2-t.AD2=V/24 X 24-f-32 X 32,

qui devient, après avoir fait les calculs indiqués^

BD =v/576+l 024, =0600=40;

ainsi BD sera de 40 pieds. Bfr, qui indique la douzième partie de AD, ou de 32 pieds , sera 2 pieds 8 pouces ; Tépaisseur du mur exprimé

par , sera — - — î, qui donne, après avoir fait les opérations

indiquées, 1 pied { ou i pied 7 pouces 2 lignes pour Tépaisseur cherchée. Si les murs qui supportent le toit étaient appuyés à une certaine hauteur par d'autres constructions ou par des toits infërieurs , comme dans les églises en basilique, on porterait sur la diagonale BD, de B en e, le douzième de la hauteur au-dessus de l'appui , et le vingt-quatrième de celle att<lessous de e en/; on mènerait ensuite du point f une parallèle à AB, qui déterminerait l'épaisseur A y que Ton cher^rhe; ou bien , ce qui revient au même , on ajouterait ensemble la hauteur totale AB de l'intérieur, et celle EB de l'extérieur au-dessus de l'appui E, 4ont on prendrait la vii^- quatrième partie, qu'on trouverait égale à B e plus e/.

1 Cet oavrage ayant été compose long-teBps araiiC fétaUiiiemeiit des iioo> elles ^mesures, on a oonsenrë les eipresskms en pieds partoat oà Tespèoe de mesure est ^ndilBerente, sans y ajouter leur éqniralent en mètres.

Deuxième application.

Les murs de la grande nef de la basilique de Saint-Paul bors-IesniurSi représentés par la Figure 1 de la Planche CLXXX^ ont dePK 180. hauteur à Tintérieur, jusque sous les entraits des fermes du comble , 93 pieds 1 pouces , dont 26 pieds 2 pouces pour la partie extérieure au-dessus des toits des bas côtés. Ces deux mesures ajoutées ensemble donnent 120 pieds, dont le vingt-quatrième est 5 pieds, qu'on portera sur la diagonale BD , de B en y*,- ensuite du point /y ayant abaissé une verticale , l'horizontale B e déterminera l'épaisseur qu'on trouvera de 3 pieds, la largeur de la nef étant 46 73 pieds 6 pouces.

Si l'on veut opérer par le calcul, on aura

BD = v/93^ 10^. X 93'M0p».+73^ 6^. x IZ^.^, qui donne , après avoir fait les calculs indiqués , BD = ^TmT=: 1 i 9^. 2 pouces.

jPour avoir l'épaisseur eB, on fera, comme ci-devant, la proportion