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Comme la longueur du bras de levier de la poussée dépend de l'épaisseur par le bas du mur qui la soutient, pour trouver la valeur de cet effort indiqué dans la neuvième colonne de cette table , nous avons fait
usage de la formule ^ = \/-5- + t^ X — — 77, dont la formation
y o lO I0 I0
est expliquée page 1 79, 4*. appticatian, et qui sert à trouver l'épaisseur d un mur à plomb, pour que sa résistance soit égale à la poussée, parce que ce moyen nous a paru le moins compliqué et le plus facile. Ces deux
efforts égaux sont exprimés dans Téquation ' " - ' - ■ — = —y-,
page 175, l'*. application ^ dont le premier membi^ indique rexpresaion
de la poussée multipliée par son bras de levier, et le second -r-, Ijbl ré-
sistance qui lui fait équilibre : dans cette dernière expression d indique la hauteur du mur, ou plutôt celle des terres à soutenir.
Ainsi , connaissant la valeur dfe x , par \e moyen de la fbrmtile
. /d7~Td 3d 3d 1 1 j i '
x= \/ -^ + TT XT7 — Tft»^'^ ^^^* '* valeui* de la poussée » qui
éLx X
est égale à —z-y eu multipliant le carré de cette valeur paf la moitié de
la hauteur des terres à soutenir, c'est-à-dire par -r-
Lorsqu'il s's^it d'un mur de rempart , terminé par un revêtement , comme celui indiqué par les lettres a, b, à, d, e^ 'B Figure 13, on trouve que l'effort de la poussée est, à très-peu de chose près, égal à la résistance d'un mur à plomb , dont la hauteur aurait 5 pieds de plus que celle comprise entre le dessus du cordon B , et le bas dû revêtement marqué k. Ainsi pour avoir la poussée des terres contre un revêtement de 35 pieds de haut, il faut chercher la résistance d'un mur à plomb de 40 pieds de haut; substituant cette hauteur à la place de d,
V^40 X 40 ÏQxT 40X3 40x3
^ ^ iê . .iê Jj6. \
qui donne, après avoir fait les calculs indiqués, ^=8 ;, et pour
dxx 40x^-X8-
--2" > f["* exprime un effort égal à la poussée j • = 1445, et
ainsi des autres.
Pour trouver les résistances des profils, indiquées dans les deux
dernières colonnes y on a considéré ehûque proHl comme une tranche d'un pied d'épaisseur, composée de deux parties , Tune triangulaire formant le talus , et Fautre rectangulaire, ayant pour largeur l'épaisseur du mur au a^mmet; oo a multipUé le cube de chacune par leur bras de levier, ou distance de la dii^ectiou de lem* centre de gravité au point d'appui* Pour les contre^ibrta, comme ils sont éloigocA de 18 pieds de milieu en milieu, aptrès avoir multiplié le cube d'un contre-fort par son bras de levier, on a pris la dU^huitième partie de ce produit qu'on a ajouté aux deux autres.
Ainsi pour un revêtement de 40 pieds de hauteur, selon le profil de M. de Vauban , le talus étant de f , le cube du triangle (jui le forme sera
2 = 160; son bras de levier étant égal aux j de la base, sa ré^
sistance sera 160 x 5 pieds 7, qui donne 853 '-.
Le cube du rectangle formant le corps du mur? 3era exprimé 40 x 5 ==200; son bras de levier étant égal à la base du talus, plus la m^iîtié de la largeur du rectangle, sera 10 pieds ^^ et sa résistance 1 60 X 10 ;, qui donne 2100.
Les contre-forts ayant 10 pied^ de long^ sur^ pieds d'épaisseup à la racine, et 4 pieds à la queue^Ia superficie de leur basie sera de 50 pieds, laquelle étant multipliée par 40 de hauteur, donne en cube âOOO. Leur bras de levier étant de 17 pieds 7, sa résistance sera 35333 7, laquelle étant divisée par 18^ donne pour celle répondant à im pied, 1%3; ces trois résistances réunies donnent une résistance totale de! 494 6 i où ^^ comme elle est indiquée dana la table> Les aiutrea oot été trouvées par une opération semblable.
Il faut remarquer que le profil dfi M. de Yailban dotafie pour une hauteur de 10 pieds une véaistanee presque quadt?nple de ki poussée, tandis que pour 80 pi^ds,t i^U^ ^t moins de 2 foia^^ »
Le pr/ofil; 4e M.. Bélidor donne pour 10 pieds de hautcor une résistance qui n'est pa» deux fois4^tde»i|tftndia qu'elle est prefeqne deux fols trois quarts pour 80 pieda^
Ainsi il ne AuA pas être stirpris de ce qu^fl existe des i^vètemens dont les dimensions sont beaucoup au-dessous du profil de M. de Vauban , que M. Bélidor trouve trop faibles pour les revétemens au-dessus de 30 pieds- Cela vient de ce que la manière dont il évalue la poussée des
terres, donne des résultats beaucoup plus forts que Texpérience et la juste application des principes de mécanique.
Il faut observer que si les hypothèses sur lesquelles M. Belidor fonde ses opérations étaient justes , une résistance d'un quart au-dessus de la poussée ne serait pas suffisante pour donner aux revétemens le degré de solidité qui leur convient. D'après toutes les recherches et les observations que j'ai faites à ce sujet, je pense que, pour mettre les revétemens au-dessus d,e tous les efforts qu'ils peuvent avoir à soutenir, il faut que leur résistance soit double de la poussée.
C'est la conviction que j'ai de la nécessité de cette proportion, qui m'a déterminé à calculer les trois tables suivantes pour 7, ^, et ^ de ta<* Jus. Chacune de ces tables est divisée en huit colonnes.
La première indique la buteur des terres à soutenir.
La seconde , l'effort de la poussée qui résulte de ces hauteurs-
Les troisième et quatrième, l'épaisseur à donner au sopimet et à la base du mur^ en raison de son talus.
Les cinquième et sixième colonnes comprennent les dimensions à donner aux contre-forts, que je suppose à base rectangulaire.
Dans la septième, j'ai donné pour chaque hauteur le cube de la maçonnerie, en distinguant les parties de mur, de talus et de contre-fort.
Enfin la huitième colonne présente la résistance de chacune de ces parties et la résistance totale.
Pour dresser ces tables, j'ai d'abord cherché à établir l'épaisseur nécessaire pour donner aux murs une solidité suffisante, indépendamment de la résistance qu'exige la poussée. D'après les renseignemens que je me suis procurés à ce sujet, j'ai cru pouvoir la fixer, pour 10 pieds de haut , k 3 pieds pour les murs dont le talus est le cinquième de la haur teur, à 3 pieds 6 pouces pour ceux dont le talus est d'un sixième, et à 4 pieds pour ceux dont le talus est un huitième; j'augmente cette épaisseur de 3 pouces pour chaque terme de la progression aridunétique, iodiquant les hauteurs , qui augmentent chacun de 5 pieds.
L'épaisseur de la base du mur, se déduit de celle au sommet, en y ajoutant le cinquième , le sixième ou le huitième de la hauteur pour le talus.
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ITj^BLE des épaisseurs à donner au sommet et à la base des murs de remparts en talus j avec parapets^ et à leurs contre^forts éloignés les uns des autres de \8 pieds de milieu en milieu^ pour que la résistance de ces murs soit double de la poussée.
Pour uD cinquième de Talus.
Hautiuk des terras
soutenir.
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