IG HI / IG ^IH

QXhg=^><hg-I^Xgh-QXhg) >^'''

Tous les termes de cette équation ayant pour diviseur commun HG ,

elle devientQ X IG =:p X HI (p x IG — Q x IH) x n; et faisant

passer les quantités multipliées par Q dans un même membre, on a

^Q X IG 4- (Q X IH) X n =p xEl — Cpx IG) x n, qui devient

'q X (IG 4- » X IH) = /> X (HI — n X IG, d'où l'on tire

^ HI — «xI G . . , ^ , ,

Q=/> X ïïT+rtxlB» ^"^ servira de formule pour chaque voussoir,

en substituant aux lettres leur valeur en nombre.

Ainsi pour le troisième voussoir N de la Figure 5 , qui est posé sur un plan incliné de 40 degrés , HI qui représente le sinus de cette inclinaison , sera 643, et son cosinus représenté par IG, 766 ; l'expression du frottement désignée par n, serai—, qui se réduit à fj; le poids du voussoir exprimé par sa superficie sera 473 : toutes ces valeurs étant substituées dans la formule, on aura

Q = 473 X 75g j, j^ NX e43 > qui donne , après avoir fait les calculs indiqués, Q = 83,6, pour l'expression de l'effort de la puissance horizon-

taie P, qui tiendrait le voussoir N en équilibre sur son jointe au lieu de 83,4 trouvé par l'opération précédente , qui a l'avantage d'être moins compliquée.

Ai» 1 ^ HI — nxiG ,

La même formule Q = /> x 16.i,nxIH > donne pour le voussoir M .

posé sur un joint incliné de 60 degrés dont le sinus HI est 866 , et le

QQQ ii V^ ^QQ

cosinus IG , 500, Q = 473 x 5ôâ+^^^><866 > ^^^^ ^^ résultat, après avoir

fait les opérations indiquées, est 373,4, au lieu de 273,3, trouvé par l'opération précédente.

Pour la demi-clef, le sinus HI étant de 80 degrés, sera exprimé par 985, et son cosinus IG par i 74 ; la demi-clef par 236 7, et l'expression du frottement par ^.

985 iix 174

La formule deviendra Q = 236 ^ x 174 i,.'x985 » ^"^ donne , après

avoir fait les calculs indiqués, Q = 282,2, au lieu de 281 7; , trouvé par l'autre méthode : ces légères différences peuvent venir de ce qu'on a supprimé les deux derniers chiffres des sinus , et de quelques restes de fractions négligés.

Multipliant ces valeurs des puissances qui tiennent les voussoirs en équilibre sur leurs lits par leur bras de levier, qui sont les mêmes que pour l'opération precédente, on aura leur énergie :

Pour le voussoir N, 83,6 x 244,94 == 20476,98

Pour le voussoir 0, 273,4 x 256,26 = 70061,48;

Et pour la demi-clef. S, 282,2 x 260,50 = 73313,10;

Et pour l'effort total , par rapport au point d'appui T. . 163851,56 , qui sera la valeur de p , laquelle étant substituée dans la formule

X = \/ — 1 , ainsi que la valeur des autres lettres,

V a aa a

qui est la même que poilr l'exemple précédent, on aura ^

qui donne, après avoir fait les opérations indiquées, ar=28 lignes 16 pour la largeur des pieds -droits, au lieu de 28 lignes \ trouvé par 1 opération précédente.

Troisième appUcation à U7i modèle de voûte en plate4>ande.

Le second modèle sur lequel nous avons fait Tapplication des deu^ méthodes précédentes, est une plate-bande en même pierre, Fig. 7, de 9 pouces de portée entre les pieds-droits. Cette plate-bande a 21 lignes de hauteur sur 18 lignes d'épaisseur ; elle est divisée en 9 claveaux^ dont les joints tendent à un même centre. Pour déterminer la coupe des joints on a tiré sur la face de la demi- plate- bande la diagonale FG, et de son extrémité F, qui touche le pied -droit, la perpendiculaire FO, jusqu'à la rencontre de la verticale qui passe par le milieu de la largeur entre les pieds-droi4s : c'est à ce point que tendent toutes les' coupes. Les coupes des pieds - droits . qui supportent la platebande forment chacune un angle de 21 degrés 15 minutes avec la verticale du milieu, et de 68 degrés 45 minutes avec l'horizontale FN.

En opérant pour ^chacun des claveaux de la demirplate-bande , comme nous avons fait pour les voussoirs de l'arc précédent, nous avons trouvé que pour retenir le premier claveau A sur le joint IF du pied-droit, qui forme avec l'horizontale NF un angle de 68 degrés 45 minutes , il fallait un effort horizontal de 217,50;

Pour le second B 254,33;

Pour le troisième C 298,75;

Pour le quatrième D 354,66 ;

Pour la demi-clef. . 212,83;

En tout . . , 1338,07.

La hauteur des pieds-droits étant de 1^5 lignçs, jusque sous la platebande, et de 216 lignes jusqu'au-dessus de l'extrfidos, il en résulte que le bras de levier qui est le même pour tous les claveaux, est de 206 \j ce qui donne pour l'effort de la poussée, exprimée par/) dans la formule,

sera 1338,07 x2Q6,33, qui donne 276084.

b qui exprime la superficie de la demi-plate-bande , est de 1219 \. p (ya\ exprime la distance de ton centre de gravité à la verticale

Fn=24y et la hauteur du pied^iroit, a =216 : substituant ces valeui^ 4&ns la formule, elle devient

qui donnera pour la valeur de x, après avoir fait les calculs indiques , 43 lignes^, ^expérience donne H lignes pour la moindre largeur des pieds-droits, sur lesquels ce modèle puisse se soutenir; mais il faut se rappeler ce que nous avons dit Tome II*, pages 117 et 118, à Toccasion de Tappareil de ces espèces de voûte, c'est-à-dire, que les joints de coupe ne pouvant pas être perpendiculaires à la surface inférieure, il en résulte que les efforts des claveaux ne peuvent pas se correspondre, et qu'ils poussent à faux les uns des autres, comme on le voit par les lignes Ftf , 1c, 2e, et 3^ perpendiculaires aux joints contre lesquels se portent ces efforts ; en sorte qu'une pareille voûte ne peut pas se soutenir quand 4a perpendiculaire FG ne se trouve pas renfermée dans l'épaisseur de la .voûte. Ges voûtes ne sont solides que lorsqu'elles peuvent comprendre ,un arc dont l'épaisseur soit égale à la coupe sur les pieds -droits IF^ ftiosi qu'on le voit par la Figure 7 bis.

ARTICLE n.-— NOUVELLES OBSEEVATIONS SUE LA MANIÈRE 1>0NT LES PIERRE^ QUI COMPOSENT LES VOUTES AGISSENT POUR SE SOUIVNIR,

Sorr, Figure 1 , une demi-voûte circulaire AHGDNB, composée d'une infinité de voussoirs qui peuvent agir sans frottement, et qui ne se soutiennent que par les efforts mutuels qu'ils font les uns sur les autres ; il doit en résulter, 1*. que le premier voussoir représenté par la ligne AB, ayant ses joints sensiblement parallèles et horizontaux, agira avec tout son poids selon la direction verticale I£ pour affermir le pied-droit.

3*. Que le voussoir vertical CD qui représente la clef, ayant aussi ses joints sensiblement parallèles, agira ayèc tout son poids , selon des directions horizontales pour renverser les deux demi-voûjtes et les piedsdroits qui les soutiennent.

3*. Que tous les autres voussoirs placés entre ces deux extrêmes , agiraient avec des efforts mixtes 6n, nm^ ml, /K, KA, hg^gf^/T^ qui tiennent des deux précédens, et qui peuvent se décomposer chacun en deux autres, dont un vertic^ et Tautre horizontal : ainsi l'effort mixte Kh

TOMB IV. ZQ

peut être considëré comme le résultat d'un efiPort Vertical ih , et d*un autre horizontal 4K.

4'.' Que l'effort vertical de chaque voussoir va en dimmuant de T en G , où il devient nul pour la clef ou voussoir CD, tandis que les efforts horizontaux vont en augmentant en raison inverse; de manière que le voussoir HN, qui est au milieu, a un effort vertical égal à son effort horizontal.

5\ Que dans les voûtes dont le cintre est formé par une demi-circonférence de cercle, et qui sont extradossées d'égale ép|ùaseur, la circonférence passant par le centre de gravité des voussoirs, peut représenter la somme de tous les efforts mixtes que les voussoirs font les uns sur les autres pour se soutenir , en agissant sans obstacles par leur poids.

6*. Que si des points T et G on tire, d'une part, la verticale TF, et de l'autre, l'horizontal GF, qui se rencontrent au point F, la ligne TF pourra représenter la somme des efforts verticaux qui contribuent à affermir le pied-droit, et FG la somme des efforts horizontaux qui tendent à le renverser.

7*. Que si , par le point K , on mène l'horizontale lEX entre les pa^ rallèles FT et GO, la partie IK pourra représenter la somme des efforts horizontaux de la partie inférieure de voûte AHNB, et KL celle des efforts horizontaux de la partie supérieure HCDN.

8'. Les voussoirs inférieurs compris entre T et K, étant maîtrisés par leurs efforts verticaux , la partie de voûte AHNB tendra à tomber en dedans en tournant sur le point B , tandis que les voussoirs compris entre K et G, étant maîtrisés par leurs efforts horizontaux, la partie dé voûte HCDJH repoussera la partie inférieure en tendant à la faire tourner sur^ le point A.

9*". Les efforts horizontaux de la partie supériewe de voûte, désignés par KL, agissant de L en K, et ceux de la partie inférieure désignés par IK , en sens oontraira des ppemiers , c'est-^-dire de I en K, ces efforts étant directement opposés se détruirai^at s'ils étaient égaux , et la voûte n'aurait pas de poussée ; mais comme ils sont toujours inégaux, c'est la différence de ces efforts qui occasione la poussée, et qui agit selon la direction de la puissance la plus forte.

iO^ Si l'on imagiae que la largeur BO d^une demi-roûtè diminue continuellement, tandis quie sa hauteur reste la méme^ la somme des efforts horizontaux diminuera en même raison ; en sorte que si le po^int B se-

confond avec le point O y Teffort horÎEontal étant anëûtiti , il ne i^esterait plus que l'efiFort vertical qui agirait seul sur le pied-droit, et contribuerait à raffermir, et il n'y aurait pas de poussée , puisque ce ne serait plus une voûte , miûs un simple pied-droit continué.

H*. Si, au contraire, c'est la hauteur OD qui diminue, tandis que la largeur BO reste la même^ il arnvera à la fin que la courbe B'et D se confondra avec la ligne droite BO et la voûte deviendra un plancher ou voûte plate horizontale. Dans ce cas , les efforts verticaux qui atfermissent le pied-droit étant anéantis, il ne restera plus à cette voûte pour se soutenir que les efforts horizontaux qui agiront seuls avec tout le poids de la voûte; d'où il résulte que ces espèces de voûtes doivent être celles qui poussent le plus, et que les voûtes en berceau circulaire tiennent le milieu entre des voûtes qui n'auraient point de poussée , et les voûtés plates dont la poussée serait infinie , si les pierres dont elles sont for^ . mées pouvaient glisser librement les unes sur les autres, et si les joints étaient perpendiculaires à leur surface inférieure comme dans les au* très voûtes.

IS"". Nous avons ci-devant parlé des inconvéniens qui résultent de la nécessité de faire tendre les joints des voûtes plates à un centre^ car si les pierres pouvaient glisser librement^ comme elles ne pourraient agir qu'à faux les unes des autres, leurs efforts ne pourraient jamais se balancer ni se détruire.

1 3*. Un infinité d'expériences faites sur 54 nodèles de voûtes de différentes formes de cintre et d'extrados, divisés également et inégalement ,en nombre de voussoirs pairs ou impairs , in'ont £ait connaître que les pierre» ou vous^irs qui composent les voûtes agissent plutôt comme des leviers que comme des coins oi> des corps qui tendent à glisser les uns sur les aulres.

' 14^ Que lorsque les pieds-droits sont trop faibles pour résister aux offorts des voussoirs , plusieurs s'unissent ensemble et ne forment qu'une masse qui tend à tourner autour du point opposé à l'endroit où le joint 3'ouyre.

15*. Les voûtes divisées en nombres pairs de voussoirs ont plus de poussée que celles divisées en nombres impairs.

16*. Dans celles divisées en nombres impairs et inégalement ^ plus la ^elef est grande , moins elles ont de poussée ; en sorte que le cas de la plu<

236 TRAITÉ DE L'ABT DE fiATIR.

grande poussëe est lorsqu'il se trouve un joint au milieu au lieu de clef, comme dans les voûtes divisées en nombres pairs.

17*. Une voûte en plein cintre divisée en quatre parties égales a plus de poussée qu'une autre divisée en 9 voussoirs égaux.

iS"". Les voûtes surhaussées poussent moins que celles en plein cintre' de même diamètre , de même forme d'extrados et divisées de même.

iQ"". La poussée n'augmente pas en raison de l'épaisseur des voûtes ; en sorte qu'à condition égale d'ailleurs une voûte qui a le double d'épaisseur n'a pas le double de poussée.

20*. Un voûte en plein cintre extradossée également dans toute son étendue , étant divisée en quatre parties égales , ne peut pas se soutenir lorsque son épaisseur est moindre de la dix-huitième partie de son diamètre; quelle que puisse être la résistance des pieds-droits et même sans pieds*droits.

21*. Toutes les foisque, dans l'épaisseur d'une demi voûte extradossée d'égale épaisseur, on peut tirer une ligne ^droite de son point d'appui extérieur au milieu de l'extrados de la clef , Figure 9 , il ne se fait pas de fraction dans le milieu des reins , si les pieds-droits ont la même épaisseur que la voûte par le bas.

22*. Les voûtes dont l'épaisseur diminue en allant de leur naissance au sommet, ont moins de poussée que celles dont l'épaisseur est partout égale.

23*. Les voûtes en plein cintre et surbaissées , extradossées en ligne droite de niveau , ont moins de poussée que de toute autre manière.

24*. Lorsque les pieds-droits d'un modèle de voûte sont trop faibles pour soutenir sa poussée , ils peuvent être retenus par un poids double de la différence entre la poussée et la résistance d'un pied-droit , suspendu par un fil qui passe par les joints placés au milieu des reins y ou par un poids égal à cette différence, placé au-dessous de chaque joint du' milieu des reins, comme on le voit Figure 9. Cest sur cette propriété qu'est fondé le système dC armature des plates-handes du portail de ^église de SaintB'Gene^^iève^ ainsi quon Va dit au VIl^. Livre^ Tome ///, page 368.

D'après les expériences que nous venons de citer, et un grand nombre d'autres qu'il serait trop long de rapporter, dont celles-ci sont les résultats, nous avons établi une formule générale pour déterminer l'épaisseur des pieds -droits de toutes sortes de voûtes en berceau , extradossées d'égale épaisseur, quelle que soit b fcfrme de leur cintre.

Opération.

Aprèa avoir décrit leur circonférence moyenne GKT, Figures f , \% 13, 14, 15, etc., des points G et T, on tirera des tangentes à cette courbe qui se rencontreront au point F. De ce point , on mènera à cette circonférence une perpendiculaire FO qui la coupera au point K ; ce point indiquera l'endroit où se fait le plus grand efibrt, et la désunion qui en est la suite, loi^que l'épaisseur des pieds-^lroits est trop faible pour résister à l'effdrt de leur poussée.

Par le point K , on mènera entre les parallèles TF et GO l'horizontale IKL» qui représentera la somme des efforts horizontaux, et la verticale TF, qui exprimera celle des efforts verticaux ; la circonférence moyenne GKT indiquera celle des efforts mixtes.

Ces voûtes ayant partout une épaisseur égale, la partie IK de l'horizontale IKL multipliée par l'épaisseur de la voûte, exprimera leffort horizontal de la partie inférieure de chaque voûte, et KL multipliée par la même épaisseur sera l'expression de celui de la partie supérieure.

Ces deux efforts agissant en sens contraire, et étant directement opposés, se détruiront en partie; ainsi portant IK de K en m, la différence mL multipliée par l'épaisseur de la voûte, sera l'expression de la poussée.

Cet effort agissant au point K selon la direction horizontale KH, son bras de levier sera déterminé par la perpendiculaire PH , élevé du point d'appui P du pied-droit à cette direction qui est celle de la poussée, de sorte que son énet^ie sera exprimée pai^ mL x AB x PH«

Le pied*droit résistera à cet effort,

1*. Par son poids, représenté par sa superficie EP x PR, multiplié par son bras de levier PS, déterminé par une verticale abaissée du centre de gravité Q; ce qui donnera pour l'expression de la résistance du pied-droit EP x PR x PS.

2*. Par la somme des efforts vertiéaux de la partie supérieure de chaque voûte représentée par MK x AB, ces efforts agissant au point K, leur bras de levier par rapport au point d'appui dû pied-droit P sera KH.

3*. Par fa somme des efforts verticaux de la partie inférieure représentée par IT multiplié par AB, cette somme agissant au point T, aura TE pour bras de levier : ainsi, dans le cas d'équilibre, on aura

mLxABxPHs=:PExPRxPS+MKxABxKH+ltxABxTEt

mais comme dans cette ëquation on ne connaît ni PR==BEyniPS, ni KH, ni TE, il faut avoir recours à une équation algébrique , dans Iib* quelle nous indiquerons l'effort de la poussée exprimé par

mLxAB par. . p

la hauteur du pied-^roit PE par a

EH=:^I=^L=dtV, par d

PH par a^d

EB=PR par x

PS par 5

la somme des efforts verticaux de la partie supérieure IVIKxAB

par ^ m

celle des efforts de la partie inférieure ITxAB par n

la partie iK de Thorizontale IKL par c

TB égal à la moitié de l'épaisseur de lare, par e

le bras de levier KH par cxx

celui TE par x—e.