RBLATITEMENT A LA THÉORIE DES VOUTES

Le désir d'étudier à fond cette partie essentielle de lart de bâtir, m'a porté à lire avec attention les difiFérens ouvrages des auteurs que nous venons de citer. En les lisant J'ai fait toutes les opérations qu'ils donnent ou qu'ils indiquent ; j'ai appliqué leur formule à plusieurs exemples pris dans des édifices exécutés , et à des modèles faits exprès :j'ai répété toutes les expériences qu'ils citent, et j'en ai feit de nouvelles, afin de parvenir à découvrir la véritable manière dont les voûtes agissent , et d'y appliquer les principes de mécanique , de manière à obtenir des résultats qui s'accordent avec l'expérience.

C'est de toutes ces recherches et des observations que j'ai été à portée de faire , en examinant et en faisant exécuter des ouvrages de ce genre , que j'ai tiré la théorie que je vais développer, où j'ai affecté de n'employer que les propositions et les opérations les plus faciles dii calcul et de la géométrie,

Expériences sur le frottement.

J'ai commencé par ces expériences, afin de ne pas m'égarer dans mes recherches par de fhusses hypothèses. Je vais rapporter celles que que j'ai faites sur les obstacles qui empêchent leS; pierres les mieui^ taillées et dont le grain est le plus fin , de glisser les unes sur les autres, afin de parvenir à évaluer combien cette difficulté qu'on appelle^o^ tentent peut diminuer la poussée dans une voûte en pierre 4e taille composée de voussoirs désunis.

x^ Observations,

1*. Pour faii^ glisser un parallélipipède ABCD de pierre sur un plan horizontal FG, Figure 1 , Planche CLXXXXIII, il faut que la puissance P, qui tire ou qui pousse parallèlement à ce plan , ne soit pas plus élevée que la longueur de sa base AB; car si cette puissance agit à un point plus haut, tel que C, le parallélipède culbutera, au lieu 4e glisser.

Comme les efforts des puissances P et M sont en raison inverse des hauteurs axquelles elles agissent (page 1 , <". alinëa), il en résulte qu'un parallélipipéde glissera toutes les fois que la force qu'il faudrait pour le faire culbuter sera plus grande que celle pour le faire glisser, et qu'au contraire il culbutera lorsqu'il faudra moins de force pour produire cet cflfet que pour le faire glisser.

2*. Si le plan sur lequel on pose le parallëlipidède est incline, il glissera toutes les fois que la verticale QS, tirée de son centre de gravité , ne sortira pas de la base AA. Ainsi pour connaître si un parrallélipipède à base rectangulaii^, comme ABCD, Fig. 2, doit glisser ou culbuter, il faut du point B élever la pei^ndiculaire BE : si elle passe en dehors du centre de gravité Q, il glissera; si au contraire cette ligne BE passe en dedans, il culbutera.

Si les surfaces des pierres étaient infiniment polies, comme on le suppose pour généraliser l'application des principes de mécanique , elles glisseraient dès que le plan sur lequel on les pose cesse d'être parfaitement horizontal ; mais, comme leurs surfaces sont remplies d'inégalités qui s'engagent mutuellement lorsqu'on les pose les unes sur les autres, j'ai trouvé, par des expériences répétées plusieurs fois, que celles dont les surfaces sont les mieux taillées ne commencent à glisser sur des plans bien dressés et faits des mêmes espèces de pierres , que lorsque ces plans sont inclinés depuis 28 degrés jusqu'à 36; parce qu'il faut pour ainsi dire les soulever , ou briser ces inégalités pour les faire glisser. Cette difficulté de mouvoir les pierres les unes sur les autres croit en raison de la rudesse de leura surfaces, et jusqu'à un certain point en raison de leur poids : car il est évident, l*". que plus leurs surfaces sont rudes, plus les inégalités qui s'engagent les unes dans les autres sont considérables.

3*. Que plus leur poids est grand, plus il faut d'effort pour les dégager; mais^ comme ces inégalités sont susceptibles de se briser, le maximum de la force pour vaincre le frottement doit être légal à eelle qui produit oet effet, quel que puisse être le poids de la pierre.

3*. Que cette force doit être plutôt en raison de la dureté de la pierre que de sa pesanteur^

En fiiisant glisser des parallëlipipédes de pierres dures de différentes grandeurs , qui pesaient depuis S livres jusqu'à 60 , >*ai éprouvé que

le frottement , qui était plus de la moitié du poids pour les premîerf ,

se réduisait à moins du tiers pour les derniers.

J*ai remarqué y après chaque expérience faite avec les plus gros , qu'il se détachait y des surfaces qui avaient frotté Tune contre Tautre , une poussière provenant de ces inégalités brisées.

Par les expériences faites sur les pierres teqdres , j'jai reconnu qu^e les poudres qui provenaient de ces inégalités brisées les faisaient glisser plus facilement

Ces considérations, qui pourraient influer beaucoup pour des pierres d'un poids considérable , ne font rien relativement aux expériences que je vais citer; mon objet n'étant que de vérifier, sur des pierres dures dun très-petit volume, le résultat des opérations indiquées par la théorie

Par des expériences faites et répétées avec beaucoup de précautions, sur des parallélipipèdes en pierre de liais bien équarris et dressés au grès, j'ai reconnu^ 1*. qu'ils ne commencent à glisser que lorsque le plan formé de la même espèce de pierre et drjessé de même est incliné d'un peu plus de 30 degrés.

S"". Que, pour traîner sur cette pierre un parallélipipède de même matière, il fkut un peu plus de la moitié de son poids. Ainsi, pour traîner sur un plan de niveau un parallélipipède de 6 pouces de long, 4 pouces de large, et de 2 pouces d'épaisseur, qui pesait i livres 1 1 onces, il fallait une puissance horizontale égale à 3 livres 7 onces i gros.

3^ Que la grandeur de la surface frottante ne fait rien, puisqu'il faut précisément la même force pour fjiire mouvoir ce parallélipipède sur la face de 2 poucçs de large, que sur çellç qui en a 4^

Considérant ensuite que, par les principes de mécanique , on prouve que pour faire monter un coi'ps parfaitement poli ou un corps rond sur un plan homogène incliné de 30 degi^s, il faut une puissance parallèle à ce plan, qui agisse avec une force un peu plus grande que la moitié de son poids, j'en ai tiré cette conclusion qui me parait fondée , qu'il faut autant de force pour traîner un parallélipipède en pierre de liais, sur un plan horizontal de même matière, que pour faire monter un corps rond ou infiniment poli sur un plan incliné de 30 d^rés.

Ainsi, j'ai pensé que, pour faire l'application des prineipes de mécanique aux arcs composés de voussoirs en pierres de liais tailléa et dressés comme le parallélipipède des expériences précédentes , on pou*

<rait considérer le plan de 30 degrés, sur lequel ces voussoîts se soutiennent en équilibre, comme un plan horizontal.

Voici une autre preuve que fournit l'expérience , pour établir cette hypothèse. Si Ton place un parallélipipède C (Figure 3) de cette pierre entre deux autres BD, RS, qui soient chacun doubles de volume, et posés sur un plan de même pierre, le parallélipipède C se soutient par le seul frottement des surfaces verticales qui se touchent Cei effet est une conséquence de notre hypothèse; car les inégalités des surfaces de ces corps se trouvant engagées les unes dans les autres , il faut pour que le parallélipipède G tombe qu'il repousse les deux autres BD, RS, en les faisant glisser sur le plan horizontal de même matière , et pour cela il faut qu'il emploie une force égale au double du poids soutenu.

Si Ton applique à cette expérience les principes de mécanique, en prenant le plan de 30 degrés pour plan horizontal , les faces verticales ED, FR pourront être considérées comme des plans inclinés de 60 degrés* D'après cette hypothèse, on démontre en mécanique, que pour soutenir un corps entre deux plans formant un angle de 60 de* gt^s (Figure 4), il faut que la résistance de chacun de ces plans soit à la moitié du poids à soutenir, comme HD est à DG, comme ie sinus total est au sinus de 30 degrés , ou comme 1 est à 12.

La résistance de chaque parallélipipède , représentée par le prisme ADBE, Figures^ étant égale à la moitié de leur poids, il en résulte que le poids à soutenir par les deux prismes doit être égal au quart des deux parallélipipèdes , pris ensemble ou à la moitié d'un, ce que confirme rexpérience. Cet accord m'a déterminé à faire l'application de cette hypothèse à des modèles de voûtes composés de Youssoirs et de claveaux désunis , faits en pierre de liais avec toute l'exactitude possible ; les joints et les paremens sont dressés au grès , comme les parallélipipèdes des expériences précédentes.

Le premier modèle est un arc en plein cintre, de 9 pouces de diamètre, compris entre deux demi^irconférences de cercle concentriques , distantes de 91 lignes. Il est divisé en 9 voussoirs égaux. Cet arc f qui ail Ugnes cT épaisseur, se soutient sur des pieds'droits de ^poj^es 7 Ugnes de largeur. On a éprouvé , en diminuant peu à peu ces pieds-droits , qui aidaient d^ abord 3 pouces 1 Ugn^ y que c'était la moindre largeur qiCih puissent avoir pour résister à t effort des voussoirs.

Première application^

Soit ce modèle de voûte représenté par la Figure 5 ^ , nous obser* verons, 1*. que le premier voussoir I, étant placé sur un joint de niveau, non-seulement se soutiendra seul, mais pourrait encore résister, par le frottement à un effort égal à la moitié de son poids.

S^". Que le second voussoir M , étant sur un joint incliné de 20 degrés, se .soutiendra encore à cause du frottement; et que de plus ces deux voussoirs réunis résisteraient , avant de reculer sur le joint AB , . à un effort horizontal égal à la moitié de leur poids.

3"*. Que le troisième voussoir N, étant placé sur un joint incliné de 40 degrés , glisserait s'il n'était pas retenu par une puissance PN qui agisse en sens contraire.

^•. Qu'en prenant , d'après notre hypothèse, le plan de 30 degré» sur lequel ces pierres se soutiennent en équilibre, pour plan horizontal , ce joint incliné de 40 degrés pourra être considéré comme un plan incliné de 10 degrés dans l'hypothèse des voussoirs polis.

5*. Qu'on trouvera que l'effort de la puissance horizontale, qui tiendrait ce voussoir en équilibre sur son joint, sera à son poids comme le sinus de 10 degrés est à son cosinus, ainsi que nous l'avons dé-' montré ci-devant page 23, 6* alinéa, et 23 , 1" ahnéa.

Le modèle de voûte dont 11 s'agit, ayant 9 pouces ou 108 lignes de diamètre, sur 21 lignes de largeur entre les deux circonférences concentriques qui forment son épaisseur, sa superficie entière sera de 4257 lignes carrées , laquelle étant divisée par 9 , donnera pour celle de chaque voussoir 473 lignes. Ainsi indiquant le poids de chaque voussoir par sa superficie , et nommant P la puissance horizontale , on aura la proportion P : 473 :: sinus 10'. : cosinus 10'., ou P : 473 :: 17365 : 98481, qui donne P=83 ^^.

Le quatrième voussoir 0, étant posé sur un joint de 60 degrés, sera considéré comme s'il était sur un plan incliné de 30 degrés ; ce qui donnera, en* nommant Q la puissance horizontale qui le retiendrait sur son joint, Q : 473 :: sin. 30'. : cosin. 30^ :: 50000 : 86603, qui donne Q=273-^.

^ Le modèle dont il est ici question , et ceux de toutes les application» qui Tont suive ,■ font aujourd'hui partie de la galerie des modèles de TÉcole royak d'arcbitectore.

THÊOKIE DES CONSTRUCTIONS. 227

La demi-clef S , étant posée sur un joint incliné de 80 degrés , sera considérée comme si elle était sur un plan incliné de 50. La super^ ficie de cette demi-clef qui repî^ésente soti poids, étant 236 {, si l'on nomme R la puissance horizontale qui la retient sur son joint , on aura la proportion R : 236 { :: sin. 30 : cosin. :: 76604: 64279, qui donne R=281 ^.

Voulant connaître si la somme des efforts horizontaux qu'il faut pour maintenir sur leurs joints les deux voussoirs N, et la demiclef était capable de faire reculer le premier voussoir sur son joint horizontal AB, j'ai posé la demi-voùte sur un plan de niveau de même pierre sans pieds -droits, et j'ai éprouvé que, pour la faire reculer, û fallait un effort horizontal de plus de 16 onces, tandis qu'il ne faut que 10 onces pour soutenir la demi-clef et les deux voussoirs N, 0. Les deux moitiés de voûtes réunies soutiennent un poids de 5 livres 2 onces avant que les premiers voussoirs reculent

Pour trouver l'effort de chacun de ces voussoirs lorsque la vôute est élevée sur les pieds-droits , j'abaisse des centres de gravité N , , S de ces voussoirs, les verticales Nn, Oo, Sj, pour avoir les bras de levier des puissances P, Q, R qui les soutiennent sur leurs joints, en tendant à faire tourner le pied-droit qui porte la demi-voùte sur son point d'ap-* pui T ; ce qui donnera pour leur effort

P X Nn 4- Qx Oo -t- R X Ss.

La hauteur du pied-droit étant de 195 lignes,

on trouvera Nn de 244,94 ,

Oo de 256,26,

et Ss de 260,50.

Ainsi on aura

l'effort PxNn= 83,4 x 244,94 , qui donne 20427,996,

Qx Oo= 273,3 X 256,26, qui donne. ...... 70035,858

R X S^ = 281,9 X 260,50, qui donne, 73434,950;

pour l'effort total , par rapport au point d'appui 163898,804

Le pied-droit résistera à cet effort l*". par son poids ou sa superficie multiplié par son bras de levier, déterminé par la distance Tu, du point d'appui T à la verticale abaissée du centre de gravité G^ stir la base du pied-droit.

2^. Par le poids de la demi-voûte, multiplié par son bras de levier VY ,

dëterminé pâ*la verticale LY abaissée du centre de gravité L; et qui devient, par rapport au poii>t d*appui commun , T = T^ ou VB — BY, afin de distinguer BY , qui indique la distance du centre de gravité de la demi-veùte,et qui est censé connu, parce qu'il peut l'être par les opérations indiquées page 15, second alinéa, de la largeur YB que doit avoir le pied-droit pour résister à l'effort dé la demi-voùte que l'on cherche.

Po«r parvenir à la trouver, je nomme P Teffort de la voûte que nous avons trouvé = 163898,804 ,

La hauteur du pied-droit . .^ . a,

Sa largeur que l'on cherche x,

Le poids de la demi-voûte. .' . . • . . b-,

La partie BY de son bras de levier. ....... c.

La superficie du pied-droit qui représente soii poids , multipliée par

jc ' axx son bras de levier, sera aj: x j = "2~*

€elle de la demi-voûte multipliée par le sien , désigné par VB -f-BY ou

4? ■+• c , sera hx + hc\ ce qui formera l'équation P ;= — ô" + t-^? + ^c,.

qu'il s'agit de résoudre.

Une équation algébrique peut être considérée comme une espèce de balance composée de qiiantités égales, séparées par le signe = qui indique cette condition ; de sorte que pour trouver la valeur d'une qpantité inconnue, telle que celle exprimée par x, il ne s'agit que de la faire trouver seule dans un des membres de l'équation , en la dégageant de toutes les quantités connues avec lesquelles elle se trouve combinée.

Faisant d'abord passer toutes les quantités combinées avec x dans un

même membre, on aura -ô — |- 6jc = P — hc\ et multipliant tous lès

2 ,. Ubx 2p~2bc

termes par — pour dégager xx^ on aura^rx + -j- =j ^ a ' - ^ eaqpres-

sion dans laquelle x est élevée au second degré ; mais comme xx + *-jnest pas un carré parfait, c'est-à-dire qti'il lui manque le carré de la moitié de la quantité connue —, qui multiplie le second terme, enajou^

. bb

tant ce carré qui est — , à chaque membre, pour ne pas déranger Téqiia-^

!kbx bb 2p~2bc bb ^ tion , on aura xx+ ~ + — =s -'^ — + — : le premier membre se

trouvant, par cette addition, un carré parfait dont la racine est X 4- -, on aura ar + - = \/ ^ ^ + —, qui devient, en faisant

*. 1 . , % /ip—2bc bb b ,

passer -dans le second membre, x = X/ -^^-^ — "*" ô^ ~ a » ^^*^*

laquelle x, se trouvant seule dans le premier membre, aura pour valeur le résultat des opérations indiquées dans le second , en quantités connues. Les valeurs de ces quantités étant substituées aux lettres qui les représentent donneront l'équation

qui doimey après avoir fait toutes les opérations indiquées , x ^= 2S lignes 7, au lieu de 2 pouces 5 Ugnes qu^on a conservées à ces pieds-droits pour qu'ils se soutiennent avec une stabilité un peu au-dessus de C équilibre.

Autre appUcation i d après une autre manière dévaluer les

frottemens.

Pour avoir une nouvelle preuve de la vérité de cette hypothèse, nous allons appliquer au même modèle la méthode proposée par M. Bossut , membre de llnstitut, dans son Traité de mécanique, articles 329 et 330 de l'édition de 1775, et 272 et 273 de l'édition de 1802.

Soit, Figure 6, le youssoir N posé sur un plan incliné et soutenu par une puissance Q, qui agit horizontalement. Du centre de gravité j'abaisse la verticale Nn, que je prends pour exprimer le poids du voussoir. Ce poids se décompose en deux efforts^ dont un Ne, parallèle au joint, et l'autre Na qui lui est perpendiculaire. Je décompose de même }a puissance Q, exprimée par la partie QN de sa direction, en deux efforts, dont un Ny sera parallèle au joint, et l'autre Ne? lui sera perpendiculaire.

Ayant ensuite prolongé la ligne du joint HG, mené l'horizontale GI, et abaissé la verticale HI, nous considérerons la ligne HG comme un plan incliné dont la hauteur est HI, et la base IG : cela posé, la force Ne avec Jaquelle le voussoir tend à descendre y sera au poids comme la hauteur HI du plan incliné est à sa longueur HG : ainsi nommant/? le poids

du voussoir, on aura la force Nc=j9 x —, et la force Na qui presse

le plan, comme la base du plan IG est à sa longueur i ce qui donne I9

force Wa=/> X gg.

Considérant de même les deux efforts de la puissance Q, qui retient le voussoir sur le joint incline , on trouvera l'effort parallèle

N/= Q X QH> et l'effort perpendiculaire Nrf = Q x gg- L'effort résultant des deux forces Na, TSdy qui pressent le joint, sera exprimé par

^'^HG'*"^'^GH'^' ^^'^"^^ ^® voussoir ne commence à glisser que sur un plan au-dessus de 30 degrés, le frottement sera à la pression comme sinus 30 degrés est à son cosinus, à très-peu de chose près, comme 500 est à 866, ou les {^ de son expression : nommant ce rapport Uj on aura, pour l'expression du frottement,

Comme le frottement empêche le voussoir de glisser sur son joint, on aura, dans l'état d'équilibre, la force Nf égale à la force Ne, moins le frottement : ce qui donnera l'équation