XX+ — ^— =2/>+ ^ ^ ^ J
bb faisant m + n=&, et ajoutant à chaque membre — ,afîn de pouvoir extraire la racine du premier membre , on aura
2bx bb 2pd+2ne—2mc bb
XX + — + — — Àp -4- + — - ,
a aa '^ a aa
dont, extrayant la racine, il vient
a aa
et enfin
r=V^3 p . 2p^2/iê-2/i2c 6j^ ^ a aa a
Cette dernière équation aéra une formule pour trouver 1 épaisseur des pieds-droits de toutes sortes d'arcs et de voûtes en berceau extradossëes d'égale épaisseur. Pour en faire lapplication, nous allons prendre pour premier exemple un modèle d'are en plein cintre, entièrement extradossé d'égale épaisseur, représenté par la Figure 12.
Cet arc a 36 pouces 3 lignes de diamètre et 3 pouces d'épaisseur, renfermé entre deux circonférences concentriques ; il est divisé en quatre parties égales par un joint vertical au milieu, et deux autres inclinés de 45 degrés.
Les pieds-droits sur lesquels il est élevé ont 40 pouces 4 lignes de hauteur. En traçant sur le dessin de ce modèle les lignes ci -devant indiquées, on trouvera, en prenant pour plus d'exactitude des millièmes de pouce, que la valeur de PE désignée dans la formule par a , est de 40,333.
Celle de EH=TI==KL=:KV, désignée par rf, est de. . . • 13,876.
ML X AB, qui exprime la poussée désignée par/?, étant
8,127 X 3, sera 24,381.
2/>d, qui indique 48,762 -h 13,876, sera. 676,621.
2 MK X AB X KH , désigné par 2 me y sera 5,749 x 3 x 4,249. = 73,282 2 ne, qui représente IT x AB x AB, sera 13,876 x 3 x 3. . . = 124,824.
i=m+/i = (MK-|-IT)x AB=19,625x3, sera 58,875.
a=EP, qui désigne la hauteur du pied-droit étant
40^333, — sera I0133 1 ce qui se réduit à. 1 459.
a Et— = 2,128.
aa
Substituant ces valeurs dans la fotmule
^^l/g ^ 2pdJt2ne-^2mc bb b ^ a €Ui ^
on aura
^==v/48,762 + ^^^'^^'+!!*:?^*-^^' ggg 4- 2.128-1,459,
qui donne, après avoir fait les calculs indiqués, xs:5,8 ou 5 pouces 9 lignes ;, pour l'épaisseur des pieds-droits ^ dont la résistance serait en équilibre avec la poussée de cet arc, en le supposant d'une exécution parfaite; mais comme il ri est pas possible (ï atteindre ce dsgri de perfèc-^
tion y quoique ce modèle soit fait avec beaucoup de précision ^ il ne eonh mence à se soutenir que lorsque T épaisseur des pieds'droits est de 6 pouces 3 lignes.
Quand cette ëpaisseur est de 7 pouces { , Tare supporte à son sommet, au-dessus du joint d aplomb qui le divise en deux, un poids de 3 livres équivalant à 8 pouces de la superficie de Tare en augmentation sur les parties supérieures qui causent la poussée, ce qui porte la valeur de^p de la formule à 56,762, au lieu de 48,762, et qui donne ]>our Téquation
^= V/56,762 ^ ZgZé ^M-m «28-86>-^^» ^2,m-i ,55 ,
qui donne , après les opérations faites , x = 7,366 ou 7 pouces 3 lignes 7 ; il n'est guère possible (Tobtenir un accord plus parfait de la théorie avee
Vexpérience.
Autre méthode pour servir de preuve à la précédente.
Ayant remarqué que dans les modèles d'arc divisés en nombre pair» devoussoirs, quand les pieds-droits sont trop faibles pour résister k leur poussée, le joint du milieu s'ouvre en dessous , et ceux des milieux des reins en dessus , ainsi qu'on le voit représenté par la Figure 1 1 , j'ai voulu appliquer à cet jsffet la théorie des prismes qui tendent à culbuter ou à être renversés par une puissance.
Ainsi, en prenant pour exemple le modèle précédent, je /considère le demi-arc uni à son pied-droit, et ne formant d'abord qu'une seule pièce : il est évident que, dans cette supposition, la demi-voûte étant posée i^ur un plan de niveau, si la verticale abaissée de son centre dç gravité pas^e en dehors du point d'appui R , elle ne pourra se soutenir que par le moyen d'une puissance G , qui Tempéche de tomber en tournant sur le point R. Mais si l'on joint deux demi-voûtes semblables et opposées , les efforts avec lesquels elles agiront étant égaux et directement opposés, ils se détruiront, et la voûte entière se soutiendra.
Considérant ensuite la voûte divisée en quatre parties posées sur des pieds-droits , il est certain qu'elle ne pourra se soutenir que dans le cas ou l'effort des parties supérieures ne serait pas plus grand que celui qui tend à faire tourner chaque demi-arc, considéré d^une seule pièce sur ^Q point d'appui R ; cela posé, si du centre de gravité G du voussoir
THÉORIE DES COJÎSTRUCTIONS. 241
supérieur, on abaisse la verticale G^, et que du point N, considéré comme un appui, on tire l'horizontale N^ et la verticale N/i, on pourra considérer ce voussoir comme tendant à culbuter, et soutenu par une puissance horizontale P, agissant à l'extrémité du bras de levier N/i. Nous avons déjà fait voir que dans le cas d'équilibre, le produit du poids du voussoir par le bras de levier Ng doit être égal à celui de la puissance P par l'autre bras de levier Nn; de sorte qu'indiquant le poids du voussoir
par Q, on doit avoir Q x %=/> X N/i, d'où l'on tire P=2Ç^.
ri w
Pour avoir cette valeur de P, il faut, indépendamment de la superficie de ce voussoir, qui représente son poids, connaître la position de son centre de gravité, qu'on trouvera en opérant, comme nous l'avons ci* devant indiqué, page 15, 3*. alinéa, c'est-à-dire qu'il faut,
i •. Chercher le centre de gravité du grand secteur CHO ; dans lequel le youssoir est compris.
3*. Celui du petit secteur DNO.
S"". Multiplier 1& superficie de chacun de ces secteurs, par la distance de leur centre de gravité au centre commun O.
4*. Oter le plus petit produit du plus grand, et diviser le reste par la superficie du voussoir : le quotient donnera la distance du centre de gravité du voussoir au même centre 0. .
A la page 14 nous avons dit que pour trouver le centre de gravité d'un secteur, il faut multiplier le double du rayon par la corde , et diviser ce produit par trois fois la circonférence.
Dans ce cas-ci, le rayon du grand secteur sera • 21,125
la corde • • 16,168
et la circonférence 16,600
Amsi 1 opération sera — r-^ — , qui donnera , après avoir été
faite , la distance de son centre de gravité au centre = 13,72.
Le rayon du petit secteur étant 18,125
la corde 13,870
et la circonférence 14,240
1» JL^ *• 18,125 X 2x 13,87 . , .. „n i j- *
1 opération sera- — 3—^» V^^ donner^ 11,77 pour la dis!tanee
de son centre de gravité au centre
TOm IT ^^
242 TRAITÉ DE VAUT Ofi BATIK.
Le produit de la superficie du graud secteur» par la diatauce de son centre de gravite au centre O, sera exprimé par
1Ê:Ê2>^ ^ 13,72 = mm
cEt pour le petit secteur ^*'^^^^^'^^ X H,77 *= «18,98
Ce qui donnera pour la difierence. • . . ^ • • • 885,71
Cette différence exprimera le moment du voussoir, c*est-à-dire le procluit de sa superficie par la distance de son centre de gravité au centre 0-
Cette superficie étant égale à la différence des deux secteufrs, sera 46,29 : on aura la distance du centre, de gravité de ce voussoir en divisant 885,71, par 46,29, dont le quotient donnera 19,13 pour cette distance.
Pour avoir la distance de la vei'ticale abaissée de ce centre de gravité au point d'appui N , on cherchera d'aboixl sa distance à la verticale GO , par cette analogie : sinus total est au sinus de Fangle HOC, qu'on trouvera de 22 degrés 30 m. comme 19,13 est à un quatrième terine , qui donnera pour cette distance 7,32.
On cherchera ensuite la distance du point N à la même verticale CO par cette analogie : sin. tôt. : sin. 45^. :: 18,125 esta un quabnème terme qui sera 12,81 ; dont ôtant 7,32 le reste 5,49 sera la distance cherchée N^, qui est le bras de levier du poids du voussoifr réuni à son centre de gravité.
Ainsi en exprimant ce poids par la superficie du voussoir, * on aura pour son énergie 46,29 x 5^49=254,13. Mais comme la puissance doit agir au point C, on aura son expression par rapport à ce point, en divisant 254^1 3 par N/i=8,31 5, qui donnera pour cette expression 30,56. Comme elle agit au p<:Hnt C, son bras de levier sera 40,333 + 21,125 =61,458, et son énergie 30,56+61,458x1878,156. Le pied-droit chargé de la demi-voûte résistera à cet effet, 1^. par son poids exprimé par sa superficie et multiplié par son bras de levier, plus par le poids de la demi-voûte exprimé aussi par sa superficie et multiplié par son bras de levier, lequel sera exprimé par la verticale abaissée de son centre de gravité au point B. Pour l'avoir , on opérera pour cette demi-voûte comme nous avons fait pour le voussoir supérîeurr et on
THÉORIE DES GOMSTRVCTIONS. 243
trouveiti pour cette distance l^i 35 ; la superficie de la demi * voûte ^tant 92^575, cet efTort sera 661,336.
Pour trouver l'épaisseur du pieddroit, il faudra prendre la première formule , page 339, c'est-à-dire
2b — 2frc b b b
-^ -t- — , dans laquelle p exprime Tënergie de la
poussée que nous avons trouvée =: 1878,156
et hc = 631,336 Substituant ces valeurs dans la formule, on aura
qui, donnera, après avoir fait les opérations indiquées, j7=5,80, c!estrà-dire précisément le même résultat que par la méthode précédente ; ce qui prouve la certitude de la première , qui a l'avantage d'être moins compliquée , et qui dispense des opérations pour trouver les centres de gravité qui rendent cette dernière plus longue et plus difficile. Cependant elle est quelquefois la seule dont on puisse faire usage pour les voûtes qui ne sont pas extradossées d'égale épaisseur ou qui sont irr^ulières, comme nous le ferons voir dans la suite.
Seconde application.
Nous allons prendre poiir exemple le modèle d'arc en pierre de liais, représenté par la Figure 5 , dont il a été ci-devant question , divisé en 9 voussoirs égaux, extradossés à 31 lignes d'épaisseur, et dont le diamètre intérieur est de 9 pouces.
Ayant tiré les lignes ci-devant indiquées, on trouvera /nLxAB, désigné dans la formule par
p= 36,7 X 31 , qui donne 560,70
et pour 3p 1131,40
EH=TI=KL=sKV, désigné par (/, sera 45,60
ce qui donnera pour ipd 5113,584
ine indiquant le double de Tefibrt vertical de la partie
inférieure de Tare multiplié par la moitié de AB,
sera 45,6 x 31 X 31 , qui donne 30109,60
imc qui indique le double de TefTort vertical de la partie supérieure, multipliépar iK, sera 18,9 x 21x2 X 8,4, qui
donne , après avoir fait les calculs indiqués 6667,93 a qui désigne la hauteur des pieds^roits étant 1 95, et b= m-H n=64,5 x 21 = 1 354,5 ;
et — 48,163
aa
Toutes ces valeurs substituées dans la formule, donnent
qui donne, après avoir fait les calculs indiqués, ;r = 38,62 , c*est-à-dire 28 lignes j , au lieu de 28 lignes \ que nous avons trouvé par les méthodes précédentes.
Ayant fait deux demi-vousspirs , et collé les autres ensemble , afin d'avoir un arc divisé en quatre parties égales il n'a pu se soutenir que sur des pieds-droits de 30 lignes d'épaisseur; ce qui prouve que cette manière de diviser les voûtes est celle qui produit la plus grande poussée, ainsi que nous l'avons déjà observé page 236, N^ 17.
Troisième application.
Le modèle. Figure 12^ sur lequel nous allons faire cette application est en pierre de Conflans; il fait partie de la collection d'arcs de même diamètre , même épaisseur et même hauteur de pieds-droits , mais de différens cintres et formes d'extrados , que j'ai fait faire, afin de parvenir à comparer dune manière plus immédiate leurs efforts et la manière dont ils agissent.
Ce modèle en plein cintre, a 9 pouces ou 108 lignes de diamètre, sur 9 lignes d'épaisseur; il est divisé en quatre parties ^ales; les pieds-droits ont 10 pouces ou 120 lignes de hauteur. .
Ayant tiré les lignes ci-devant indiquées, on trouvera pour la valeur de la poussée, désignée par mLx AB, et par/? dans la formule 24,22x9,
qui donne 217,98
et pour 2/9 435,96
EH = TI = KL = KV, désigné par d, sera 41 ,36
ce qui donne pour jtpd 180,31,30 n qui désigne TI x AB, sera 4 1 ,36 x 9 = 372,24
e =î ^ étant 4,5 , 2ne , sera 372,24 x 9 = 3350,1 6
m qui désigne KM x AB , sera 1 7,1 4 x 9 = i 54,26 et c qui représente îK étant 12^64, on aura
2mc = 308,5 x 1 2,64 , qui donne 3899,69
a qui désigne la hauteur des pieds-droits étant 120, et b = m-hn=i 372,24 + 1 54,26 = 526,5 , on aura^
A=^ qui se réduit à 4,387, et — sera = 19,245 a 120 ^ aa
Ces valeurs substituées dans la fbrmule
, .£: — ! I donneront
' a aa a
qui donne, après avoir fait les calculs indiqués, ^=20,123, c'est-à-dire 20 lignes ^ pour l'épaisseur des pieds-droits qui ferait équilibre à la poussée de cet arc, parfaitement exécuté : mais comme nous avons déjà remarqué que cette perfection était impossible , de même que l'évaluation rigoureuse des efforts, à cause des irrégularités insensibles et inévitables qui se trouvent toujours, quelque précaution que l'on prenne, et à cause de la nature de pierre dont il est formé, qui ne soutient pas aussi-bien ses arêtes que la pierre de liais (ces arêtes étant essentielles aux points d'appui P, N et G, autour desquels se font les efforts); il en résulte que ce modèle, qui, fraîchement taillé et ajusté , se soutient sur des pieds-droits de 20 lignes \ d'épaisseur, ne peut plus se soutenir que sur des pieds-droits de 21 lignes 7, lors-. que ces arêtes sont émoussées*
II faut encore observer que dans l'application que nous venons de faire, nous avons considéré l'arc réduit à sa circonférence moyenne TKG» et comme tendant à tourner sur le point T, tandis qu'à cause de son épaisseur, il no peut tourner réellement que sur le point B.
Ainsi, dans Tapplication de notre formule, au lieu de porter IK de K
en m, il ne faut porter que îK;.ce qui donnera, pour la valeur de />, mLx AB = 28 72 X 9, qui donne 258,48, et pour 2p, 516,9ff
d étant toujours i\ ,36 , 2pi sera 21 381 ,46 En considérant la partie inférieure de l'arc comme tendant à tourner sur le point B , TeAFort vertical IT sera transporte en iB; alors TB représenté par e deviendra zéro, ainsi
que %ie.
imc sera toujours 3899,69
— sera toujours 4 ,387
ett^ 19,245 aa
Par cette modification, jtne n'ayant plus de valeur, la formule se ré- 4uit kx=s V/ 9ip -f- P ^ '^ ^ — — ^ qui donnera l'équation
qui donne, après avoir fait les calculs indiqués, j7= 20,1 4, c'est-à-dire 20 lignes 7 environ. Cette manière de faire Tapplication, qui donne un résultat un peu plus fort, est préférable pour la pi^tique.
Ces applications ne sont devenues si compliquées, que parce que nous avons voulu trouver une épaisseur de pied-droit qui fiisse précisément équilibre à la poussée ; mais comme il est indispensable , pour la solidité, que la résistance soit plus forte, il suffit , pour avoir l'épaisseur des pieds - droits , de prendre la racine carrée du premier terme 2p du second membre de la formule qui exprime le double de la poussée , indiquée par rnL x AB , qui donne pour ce dernier exem*pie 28,72 X 9 = 258,48 pour la valent de p, et pour celle de 2p, 516,96, dont la racine carrée 22,73 ou 22 lignes 7, indiquera Tépaisseur qu'il convient de donner aux pieds-droits pour leur procurer la solidité convenable.
n est bon d'observer que cette épaisseur est suffisante , quelle que soit la hauteur des pieds-droits; car en examinant avec attention la dernière fbrmule
2pd^2mc b b b
a aa a
on verra que les quantités expriraëcs par 2pd — jtmc-hbb — b, étant toutes divisés par a, qui désigne la hauteur des pieds-droits, il doit en résulter que si cette hauteur était infinie , ces quantités deviendraient zéro, en sorte qu'il ne resterait de la formule précédente que j?=v/^ Donc^ la racine carrée du double de la poussée donne une épaisseuf suffisante » quelle que puisse être la hauteur des pieds^-droits.
Ce résultat se trouve confirmé , autant qu'il est possible par Vexpérience; car en essayant ce dernier modèle d'arc sur des pieds-droits de 10 y 15, So et jusqu'à 25 pouces de hauteur, j'ai trouvé qu'il se soutenait sur ces pieds-droits, quoique leur épaisseur ne fût que de 21 lignes I, au lieu de 22 lignes ^ que donne la formule : ainsi, cette der* niére épaisseur doit suffire pour les arcs entièrement extradossés , dont la hauteur ne passe pas trois fois le diamètre, qui est la plus grande proportion que les Goths aient donnée aux nefs de leurs églises.
Quoique l'extraction de la racine carrée ne soit pas une opération bien difficile , surtout en se servant des logarithmes , ou des tables que plusieurs auteurs ont fait imprimer, et entr'autres celles faites par M. Seguin l'aîné , entrepreneur de bâtiment ^ , nous allons donner une méthode géométrique fort simple, pour trouver l'épaisseur k donner aux pieds-Hlreits de toutes sortes de voûtes extradosséed d'é' gale épaisseur^
Méthode géométrique^
Quelle que soit la courbe du cintre de la voûte, après avoir tracé la courbe moyenne TKG (Figures 12, i3, ^4,lS, etc.), la sécante FO perpendiculairement à la courbe du cintre , et par le point K où cette sécante coupe la courbe moyenne , mené l'horizontale IKL, et élevé du point B une verticale qui rencontre l'horizontale IKL au point i, on portera îK de K en m, et la partie nîL de B en ^, et le double de l'épaisseur de la voûte de B en n. On divisera ensuite hn en deux parties égales au point d^ duquel , eomme centre et avec un rayon égal à la moitié de An, on décrira une demi-circonférence de cercle qui coupera en E l'horizontale BA prolongée. La partie B£ indiquera, l'épaisseur qu'il faudra donner aux pieds-droits de chacune de ces voûtes, pour qu'ils puissent résister avec une solidité convenable à l'elTort de leur poussée.
^ Ces TaUes m trbutent ^es Firmia ÏKdot.
2i8 TRAITÉ DE L'ART DE BATIR.
Cette opération donnera pour le grand modèle de vcAite en pierre de Gonflans de 36 pouces 3 lignes de diamètre, 7 pouces ; ou 90 lignes.
Pour celui en pierre de liais de 9 pouces de diamètre, 39 lignes {.
Et pour celui de Texemple précédent, 22 lignes |.
Il est bien facile de se rendre compte de la rigueur mathématique de cette opération , et de la certitude des résultats qu'elle doit donner, en remarquant que la construction qu'elle exige se réduit à la solution graphique du problème suivant : Trouver le cAté BE d'un carré qui serait égal à une superficie donnée mL X 2^. Expression qui n'est autre chose que 2p, et nous avons vu précédemment que x=\/^ était une limite plus que suffisante; ainsi on peut conclure que l'épaisseur BE, obtenue par la méthode géométrique sera suffisante dans tous les cas , où notre formule est applicable. La cassinoîde, qui ne s'emploie pas ordinairement dans les constructions , est la seule courbe pour laquelle la formule graphique donne l'épaisseur BE moindre que celle indiquée par l'expérience; ainsi qu'on le verra page 255.
Quatrième application. Voûtes surhaussées.
Désirant connaître la courbure de cintre la plus avantageuse pour les voûtes surhaussées, j'ai fait faire en même pierre trois modèles darcs représentés par les Fig. 13, ii et 15, de même diamètre que le précédent, dont l'élévation de cintre était de 81 lignes. Celui sur lequel nous allons faire l'application , a son cintre intérieur formé par une demi - ellipse; il est divisé en quatre parties par un joint d'aplomb au milieu, et deux autres vers le milieu des reins déterminés par la sécante FO, perpendiculaire à la courbe du cintre intérieur.
Ayant tracé la circonférence moyenne GKT, l'horizontale IKL et la verticale Br, on trouvera KL = 36 ^
IK — 21 I £K = 17^ IT = 66 f MK = 19 = d.
L'effort de la poussée désigné par KL — zK = mL, sera 19 ^ x 9, qui donnera pour l'expression p de la formule , 1 75,5
et pour 2/?, 351.
rf étant 66,5, 2pd sera 351 x 66,5, qui dorne 23341,5 m qui désigne KM x AB , sera 19 X 9 , qui donne 1 71 ,0
c qui désigne £BL étant 17 7, on aura 3iiic= 171 x 17f x S^
qui donne 5899,50 La hauteur des pieds-droits désignés par a = 120,00 b qui exprime la somme des efforts verticaux m + n sera
égal à MK + ITxAB, ou 19 + 66 ^ x 9, qui donne 769,50
.. . b 769,5 . jj -x V i^ MA
Ainsi '^ sera "j^cT» î^i se réduit à 6,41
bb Enfin — sera 41,11
Substituant ces valeurs dans la formule
\ /7 Ipd-^lmc Vb b „-
X = Y/ 2/> 4- "^^ — 2 +— — - , on aura 1 équation
351 + ^j2o + 41,11 — 6,4l , qui donne, après
avoir fait les calculs indiqués, x = 16,77, c'est-à-dire un peu plus de 16 lignes {.
Ce modèle de voûte ne commence à se soutenir que sur des pieds-droits de 17 lignes.
En ne prenant que la racine du double de la poussée, qui est, dans ce cas, 351 , on trouvera 18 lignes 7, ainsi que par la méthode géométrique.
Cinquième application.
Le modèle, Figure 14 , sur lequel nous allons faire l'application de la formule ci-dessus^ a même hauteur de cintre, même épaisseur, même diamètre et même hauteur de pieds-droits que le précédent; mais la courbe intérieure qui forme son cintre, au lieu d'être une ellipse, est formée par la cassinoide, espèce de courbe plus ouverte que l'ellipse » dont il a déjà été parlé Tome II*. , Livre III*. , page 50 et suivantes.
Ayant tracé à l'ordinaire , la courbe moyenne GKT,. les tangentes TF et GF, la sécante FO, l'horizontale TKL, les verticales MK et Bi, on
trouvera KL = Z9 ^
iK = 15,00
TI = Bi 67,67
MK 17,83
mL=±=KL— iKsera39 — 15 = 24,00
'et mLx'AB , indiqué parp dans Ite formule , as 316,00
TI représenté par d étant67,67, ^pd sera 29233,44
m, qui désigne KM x AB, sera 17,83 x 9 , qui donne 160,47 c, qui désigne iK, étant 15, on aura 2mcsr1 60,47x15x2,
qui donne 4814,10
la hauteur des pieds-droits désignée par a étant 120,00
et 6, qui exprime la somme des efforts verticaux m + n»
sera , comme ci-devant , 85,5 x 9 , qui donne 769,50
etj«s 61,41
<les valeurs substituées dans la formule donneront l'équation
432 + —^ — 4- 41,11 — 6,41 , qui donne, après
avoir fait les opérations indiquées^ x=ss 19,62 ou 19 lignes ^ : en ne prenant que la racine de 2p = 432 , on trouve 20,79 ; ou un peu plus de 20 lignes 7 , ainsi que par la méthode géométrique.
L'expérience fait connattre que ce modèle ne peut se soutenir que lors^ que les parties inférieures de Farc sont collées aux pieds^roits, ou lors* que les pieds'droits sont prolongés jusquien e ; alors la coûte se soutient vresque en équilibre sur des pieds'droits de 30 lignes d^ épaisseur.
OBSERVATIOn.
Nous avons dit ci-devant, page 236, quatrième alinéa , qu'une voût^ ou arc en plein cintre, extradossé d'égale épaisseur, ne peut pas se soutenir, quelle que puisse être l'épaisseur de ses pieds-droits, si l'épaisseur de cette voûte ou arc a moins de la dix-huitiéme partie de son diamètre : dans les voûtes surhaussées qui ont pour cintre la cassinoide, il faut, pour qu'elles se soutiennent , que leur épaisseur soit plus de la neuvième partie du diamètre : ainsi celle dont il vient d'être question ne commence à se soutenir sans pieds-droits que lorsque son épaisseur est de plus de 1 2 lignes \ , d'où il résulte que cette courbe ne pourrait convenir pour des arcs ou voûtes qui devraient être entièrement extradossés d'égale épaisseur.
Sixième application.
Le modèle, Figure 15, sur lequel nous allons faire cette application; a les mêmes dimensions que le précédent; mais son cintre est formé par deux demi-cydoides, avec un joint d'aplomb au milieu, et deux autres vers le milieu des reins, déterminés, comme pour Fexemple précédent, par une perpendiculaire F G, à la courbe tirée du point F, où se rencontrent les tangentes tirées des points G et T de la circonférence moyenne 6KT : ayant mené par le point K Thorizontale IKL, on trouvera
KL=: 35 i
ÎK = 18 i
TI = 65 i
MK =; S0,00
La poussée /> indiquée pari?iL x AB, sera 16 ; x 9 =s 1^18 j
ce qui donne pour Sp 397,00
TI représenté par {/étant 65,5 on aura ^pd £= 19453,50
m, qui représente KM x AB, sera 20 x 9, qui donne. . . 180,00
c, qui représente îE, étant 18,75, on aura 2mc = 67^0,00
b , qui exprime la somme des efforts verticaux m^n, sera,
comme dans l'exemple précédent 769,50
b et a = 1 20 ; en sorte que - sera encore 6 41
bb Ces valeurs substituées dans la formule donnent
297^-■'^ T2Ô H- 41,11 — 6,41 , qui donne, après les
opérations faites, x = 14,66 ou 14 lignes \ : ce modèle commence à sê soutenir sur des pieds-drofts cTun peu plus de iS lignes.
En ne prenant que la racine de 2/>=:2d7 exprimant le double de la poussée, on trouve 17 lignes ~f ^^ même que par la méthode géométrique.
n n'est pas nécessaire , comme danâ Texemple précédent, de coller les voussoirs du b^s «vea lespieilflTdroitEi.I^eMJaul et rexpérience prouvent qu'elle peu|; se soutenir étant également extrado9sé^ avec une épaisseur un peu plus forte que la dix-huitième partie de son diamètre, comme les arcs en plein cintre.
En comparant les épaisseurs i6,n, 19,62 et 14,96, trouvées pour les trois modèles de wÉite précédens ^ on voit que le cintre le plus avantageux e/st celui formé par la cjrclotde^ et cebd formé parla cassinoidey le plus désavantageux^ et que telUpse qui tient le milieu doit être préférée.
A la vérité, les constructeurs n'emploient jamais la cycloide, ni la cassinolde; mais les cintres qulls forment avec des arcs de cercle peuvent cependant se rapprocher plus ou moins de ces courbes.
Septième application à un arc gothique.
Le modèle Figure 16, sur lequel nous allons faire cette application, a les mêmes dimensions que les précédens, extradossé d'égale épaisseur, et divisé en quatre parties.
Ayant tracé la circonférence moyenne et les autres lignes comme dan» les exemples précédens , on trouvera
iK désigné dans la formule x = V/ jtp + ^ ~ + — — -, par
