IK

L'ave JBK= KG . 42,43

La superficie de la partie sup^ieure de voûte KjBJXi e*t»de 2^&^7S

Celle de la partie inférieure BAHK de 486 $>

THÉOfllE DES CONSTRUCTIONS. 275

D'après ces valeurs , on aura pour l'expression de l'effort de la partie

supérieure -j^-^ , qui se réduit à 232,47

Le demi-segment ABe étant supposé uni au pied-droit , il n'y aura que la partie BeHK, dont la superficie est de 178, qui puisse balancer

1 effort supérieur : son expression sera — j^jj^ — , qui donnera 66,24.

La différence de ces deux efforts, 166,23, sera Texpression de la poussée indiquée par p dans la formule

2pd-^2mc bb b

ainsi 2p sera 332,46

IB=KL, indiqué par d, sera. 38,18

Ce qui donne la valeur de 2pd. = 1 2693,92

)ly'effort vertical de la partie supérieure indiqué par m , sera

et pour 2m 192,60

La valeur de c étant 15,82, on aura. . 2mc = 3046,50

La hauteur des pieds-droits étant toujours 1 20 , on trou-

2pd^2mc 12693,92-3046,5 . . . . ^^ ^^

vera = :^ qui se réduit a* . . . . 80,39

b qui indique l'effort vertical de la démi-voûte , représenté

par FB, sera — gj-gg — , qui donne ; . . . 473,4»

a ^^^^ ^20 > ^^ *^ réduit a 3,95

ct^à 15,56

Ces valeurs étant substituées dans la formule donneront r =r 1/332,46 + 80,39 + 15,56 — • 3,95 , qui donne, après les opérations faites, j:= 16,74,

La moindre épaisseur de pieds-droits sur lesquels ce modèle puisse se soutenir, est de il lignes 7.

Pour trouver l'épaisseur par la méthode géométrique , au lieu du double de CD, il faut portet le double de Tépaisseur moyenne HK de B en A, et m L de B en n, et décrire à Tordinaire sur nh comme

diamètre, une demi-conférence qui coupera OB profongë en E, et EB

sera l'épaisseur cherchée qu'au trouvera de 18 lignés 7-

Si le pied-4roit est continué jusqu'au point e, où l'épaisseur de ki voûte se dégage du pied-droit, la hauteur de ce pied-droit désignée dans la formule par a, sera dé 151,£(, au lieu de 120, et la difiërencè'

1. J-* 745,26X54 436.75x54 b , au heu d être g§ ne sera plus que g^ , qui se réduit

d, exprimé par Te, sera 6,5. Toutes les autres valeurs restant les mêmes qfue dans l'exemple précédent , l'équation Se réduira à X ==i\/ 332,46 — 5,71 4- ^ — 2 , qui donnera , âpres avoir fait les opérarations indiquées , or == 1 6,21 •

Par la méÂode des centres de gravité, on trouve 15,84, et pur Vexpérierice i6 ^.

ABTIGLB iir.'

Datts les applications précédente», nous avons considéré les voûtes plutôt comme des arcades supportées par des pieds-droits, que comme des voûtes soutenues par des murs d'une certaine longueur; nous allons les considérer actuellement sous ce dernier point de vue, et comme servant à couvi*ir un espace renfermé par des murs.

Par rapport aux voûtes en berceau supportées par des mui's parallèles, il est évident que la résistaince de ces murs n'augmente pas en raison de leur longueur, comme l'eflbrt de la voûte; car si Fon suppose la longueur de cette voûte divisée en une infinité de tranches , telles PI. 195, que C, D, E, Figure 30, Planche GLXXXXV, on trouvera pour chacune de ces tranches une même épaisseur de pieds-droits , en sorte que tous ces pieds-droits réunis ensemble formeront un mûr de même épaisseur. Cest pourquoi nous n'avons considéré, dans lés exemples précédens, que la surface de ces arcades et de leurs pieds-droits , qui peut être considéi'ée comme la coupe ou le profil d'une voûte d'une longueur quelconque. Ainsi on peut dire que l'épaisseur de mur trouvée pour le profil en coupe d'une voûte, convient à cette même voûte prolongée à l'infini, en supposant les deux murs qui la supportent isolés, et qu'elle n'est pas terminée par d'autres murs à ses extrémités.

Lorsque les voûtes en berceau sont terminées à leurs extrémités par des murs, qu'on appelle murs de pignon » contre lesquels la route se profile y il est facile de concevoir que moins ces murs seront éloignés , plus il faudra d'effort aux voûtes pour renveroer ceux qui les supportent f ainsi on peut appliquer, à ces deraiers murs, la régie que nous avons ci-devant indiquée pour ceux qui renferment un espace, pag. i i 1 , c'est-à-dire qu'il faut porter leur longueur de R eti T, Figure 24 , Planche CLXXXXIV; et après avoir tiré la ligne oblique TB, prolongée indéfiniment, porter* sur cette ligne l'épaisseur trouvée pour le ^^^ profil, de Ben a$ du pointa, abaiss/er une verticale, qui donnera l'épaisseur e B, qu'il suffit de donner à ces murs, à cause de 1^^ plus grande résistance que leur procurent les murs de pignon , avec lesquels ils sont liés- Il faut encore faire attention qu'en reliant les voûtes avec ces mui'S de pignon, on peut diminuer beaucoup l'effort de leur poussée, surtout lorsqu'ils sont peu éloignés. Quand il se trouve des vides dans les murs, il faut ajouter à leur longueur le double de ces ouvertures , ainsi que de celles pratiquées dans les mure de pignon.

La Figure H de la Planche CLXXXXIII, fait voir que lorsque les ^i joj, murs n'ont pas assez d'épaisseur pour résister à la poussée des voûtes, elles s'ouvrent en dessous vers le sommet, et en dessus vers le milieu des reins ; d'où il résulte qu'on parviendrait à supprimer la poussée d'une voûte en pierre de taille, en cramponnant les voussoire prés de la clef en dessous, et ceux des milieux des reins en dessus. Ce moyen serait préférable aux chaînes ou tirans de fer qu'on place sur Texti^ados des voûtes , parce que ces tinans ne peuvent pas empêcher qu'il ne se fasse un écartement en dessous , assez considérable pour que les coupes puissent échapper, lorsque leurs arêtes supérieures sont déjà brisées par feffort de }a poussée.

Les chaînes placées au droit des naissances, quoique plus avantageuses, ne peuvent non plus empêcher les voûtes, extradossées d'égale épaisseur, de se rompre, et de tomber lorsqu'elles sont trop minces, parae qu'elles ne sauraient s'opposer au renflement qui se fait au milieu des reins , semblable à celui qu'épix>uve un demi-cerceau , dont les deux bouts sont fixés^, lorsqu'on appuie sur le milieu. La position la plus ai^aniageuse dune cfiatne horizontale, pour s'opposer à VeffoH dune voûte y serait de passer par le point JT, où se fait la réunion des deux ejffhiis:

Parallèle de notre méthode avec celles du P. Déran, de Gauthier , de Bélidor et les résultats de l'expérience.

La fnéthode du père Dëran consiste à diviser la courfcve du demicintre intérieur d^une voûte quelconque en trois parties égales , Fi- PK 194 bis. gures i, 2 et 3, Planche CLXXXXIVtw. Ayant ensuite tiré la corde A 2. pix>longée indéfiniment , on porte la longueur A 2 de A en 4 , et par ce dernier point on tire une verticale D 4 F, qui détermine avec AE Tepaisseur à donner au mur*

On voit que par ce procédé , qui ne parait fondé sur aucun principe, on n'a point d'égard à l'épaisseur de la voûte , ni à la forme d'extrados ; c'est pourquoi il donne pour le second modèle une épaisseur trop faible et une trop grande pour tous les autres, surtout pour le modèle de voûte gothique et celui en plein cintre extradossé de niveau , où cette règle donne une épaisseur presque double de rexpérience. On a lieu d'être sui*pris que cette méthode ait été adoptée par François' Blondel et le père Dechalles, qui étaient géomètres. Cette méthode est cependant moins vicieuse que celle de M, Gauthier, qui a prétendu la corriger. Par cette dernière, on n'a égard qu'au diamètre et à la hauteur du cintre.

Ainsi, qfuelle que soit la courbe du cintre de la voûte, son épaisseur et sa forme d'extrados , on commence par tirer de sa naissance au milieu de la clef, la ligne BC; ensuite du point B comme centre, et avec cette ligne B C pour rayon , on décrit un quart de circonférence du cercle DCG, dont on tire la corde DG, qui coupe BC en un point I, par lequel ayant tiré une horizontale indéfinie , on porte 1 L de L en K , et on abaisse de ce dernier point une verticale KR, qui forme avec la parallèle BP l'épaisseur du mur ou piedniroit Cette méthode, fondée sur un Ikux principe , donne des épaisseurs beaucoup plus considérables que la précédente, et qui sont presque les mêmes pour toutes sortes de voûtes. L'épaisseur pour les voûtes gothiques et pour celles en plein cintre extradossées de niveau est presque triple de celle qu'indique l'expérience.

Nous avons réuni , dans la table placée ci-après , lès résultats des di£Pérentes méthodes dont il vient d'être question , ainsi que ceux de la méthode analytique de Bélidor.

Par rapport à cette dernière on voit que , bien qu'elle soit fondée sur

les vrais principes de 1* méeMÔque, elle donne cependant des résultats plus forts que Texpërience, mais c'est que l'hypothèse sur laquelle les calculs sont établis est exagérée ; au reste on peut remarquer que ses résultats sont plus proportionnels à l'expérience que ceux des méthodes pratiques du père Déran et de M. Gauthier. En dernier résultat , il y aurait donc cet avantage à faire usage de la formule de Bélidor, qu'en aucun cas il ne pourrait y avoir à ajouter à l'épaisseur qu'elle donne. • Cette table sert encore à faire connaître que la méthode analytique que je propose est celle qui s'accorde le mieux avec l'expérience, qui ne donne des résultats un peu plus forts que parce qu'il est impossible d'exécuter des modèles avec assez de précision et de trouver des matières assez parfaites pour que leur effet coïncide avec ^es résultats mathématiques. C'est pourquoi il faut, pour avoir toute la solidité requise, ajouter un sixième à ce que donne la formule.

Comme ma méthode géométrique donne des résultats plus forts , il suffit d'y ajouter un huitième; et comme l'efifort des voûtes est d'autant plus grand qu'elles ont moins d'élévation de cintre, on portera "cette augmentation sur le prolongement d'une ligne tirée du milieu de la elef aux naissances.

TABLE des épaisseurs de murs pour des modèles de {toutes en berceau de différens cintres y trouvées par les méthodes du Père Déran ^ de Gauthier y et la formule de Bélidor, comparées à celles que donnent y pour les mêmes modèles , les méthodes analytiques et géométriques que. Je propose y et t expérience.