CHAPITRE DEUXIÈME

DE LA MMIMil DBS VOUTES GOMPOSisS.

M. Frézier, en parlant de la poussée de ces espèces de voûtes, propose , pour trouver Fépaisseur des pieds-droits qui doivent les soutenir, de chercher par la manière ordinaire l'épaisseur qui convient à chaque PL 195. partie de voûte en berceau BN, BK, Figure 32, dont se compose l'arètc: ainsi , portant de B en E l'épaisseur qui conviendrait au berceau BN, et de B en F celle qu'exigerait le berceau BK, le pied-droit BEHF devrait suffire pour résister à la poussée du quart de voù6e OKBW.

Par ce procédé, on trouverait que pour soutenir une travée de voûte d ai^ète de 9 pouces de diamètre , il ne faudrait des pieds-draits qoe de 21 lignes d'épaisseur en tous sens, sur 120 lignes de hauteur : cependant l'expérience prouve qu'une semblable voûte a bien de la peine à se soutenir sur des pieds-droits de 44 lignes en carré, dont 4a superficie de base est cependant plus de quatre fois plus gi^ande que celle indiquée par M. Frézier; il n'a pas fait attention que, dans ces sortes «de voûte&, la partie qui pousse est six fois plus considérable que celle qui résiste , ( tandis que dans les berceaux ordinaires ces deux pajt'ties sont égales); ce qui produit une poussée quatre fois plus grande.

Flngtième application , à un modèle de voûte d'aréle;

Le modèle sur lequel nous allons faire cette application a 9 pouces de diamètre, extradossé également à 9 lignes d'épaisseur; élevé sur quatre pieds-droits de 10 ponces ou 1 20 lignes de hauteur.

La voûte est formée par deux berceaux circulaires de même diamètre , qui se croisent à angles droits , ainsi qu'elle est représentée par la Figure 32. Les quatre portions de voûte étant semblables, H suffit de chercher TeflÊort d'une de ces parties contre le pied-droit qui y répond.

Après avoh* fait, à l'ordinaire, le profil, Figure 29, décrit la cnxonfé-' renée moyenne TKG, tiré les deux tangentes FT, FG, la sécante FO, et mené l'horizontale IKL, on élèvera la verticale Bi, et on portera KL sur le plan , Figure 32, de N en G et de K en 1.

Dans les applications précédentes faites pour les arcs et les voûtes en berceau, nous n'avons eu besoin que de considérer la surface du profil, qui est constamment la même dans toute leur longueur. Mais

fespèce de voûte dont il 8*agit, étant composée de pans de voûte triangulaire, dont le profil change k chaque point , nous serons obligés d'opérer sur les cubes, au lieu des superficies, et de suppléer les lignes par des surfaces : ainsi en ne considérant que la partie triangulaire KBO, la somme des efforts horizontaux de la partie supérieure de cette por^ tion de voûte, désignée dans le profil par KL, sera représentée en plan par le trapèze KILO.

La somme de ceux de la partie inférieure désignée dans le profil par l'K, sera représentée en plan par le triangle BIL.

La poussée sera exprimée par la différence de la supei^cie du trapèze et du triangle, multipliée par Fépaisseur de la voûte : ainsi KB et KO du plan étant=54, la superficie du triangle BKO sera 5i x 27 = 1458; la pai'tie BK du plan étant égale à IL, et BI à iK du profil = 1 2 ~, la superficie du triangle BIL, qui indique la somme des efforts horizontaux de la partie inférieure, sera 12 ^ x ;*i , qui donne 79 7^.

On aura la superficie du trapèze KILO, en ôtant celle du petit trianglie BIL, de celle du grand triangle BKO, c'est-à-dire 79 fjde 1458,- Je reste, 1378 77, indiquera Feffort horizontal de la partie supérieure; ôtant ensuite 79 7^ de 1378 7j,le snrplus 1298 •^, sera Texpression de la poussée, dont on aura la valeur en multipliant 1298 .-^ piar 9 , qui don«iiera 11683 ^, désignée par p dans la formi^le

2pd'-2mc bb b

^ a aa a

Désignant toujours la hauteur par a, et TI du profil par i^ le bras de levier de la poussée sera, comme ci^devant^ a -{-(/, et son expression algébrique pa +pd.

Le pied-droit résistera à cet effort par son cube , multiplié par son bras de levier.

Si Ton prolonge les lignes KB et OB du triangle BKO, qui représente la projection de la partie de voûte pour laquelle nous allons opérer, on verra que la base dv pied-droit qui résistei^it à sa poussée , serait re<présentée par le triangle opposé BHF , qui est rectangle et isocèle : ainsi Résignant son côté BF par or, la auperficie de ce triangle sera exprimée

par -^: la bavteur du pîed-droit étmt désignée par a, son cube

axx sera -^.

Le bras de levier de ce pied-droit sera déterminé par la distance de la verticale, abaissée de son centre de gravité, à la ligne HF=^ ^ ;ce qui

donnera pour Texpression de la résistance du pied-droit — —4

Cette résistance sera augmentée par Teffort vertical de chaque partie de voûte, multipliée par son bras de levier.

Celui de la partie supérieure sera exprimé par son cube , multiplié par la verticale KM , et le produit divisé par Tare moyen KG.

Le cube de cette partie sera égal à la superficie moyenne , désignée par Tare KG, multipliée par l'épaisseur de la voûte.

Pour avoir la superficie moyenne, on multipliera Tare Ku, moins KM, par la longueur GO, prise sur le plan (ainsi que Ta démontré M. Mauduit, dans ses Élémens de géométrie, article 387, pag. 222 et 223, édi-* tion de 1773).

La circonférence de Tare KG étant 46, et KM=i7 7, on aura KG — ^KM = 28 7 ; GO étant 54 , la superficie moyenne sera 28 ; x 54 , qui donne 1558. Cette superficie multipliée par 9, qui est l'épaisseur de la voûte, donnera pour le cube de la partie supérieure, 14024 ^. Ce cube multiplié par KM = 17 7, et divisé par Tare KG s= 46, donnera 5226* pour la valeur de Tefiort vertical de cette partie de voûte qui se trouve désignée dans la formule par m; son bras de levier sera iK+iH.

iK étant désigné par c,et iH par j?, son expression sera mx+/7ic.

L'effort vertical de la partie inférieure sera exprimé par son cube multiplié par TI, et le produit divisé par la circonférence de Tare TK.

On aura ce cube en multipliant la surface moyenne par l'épaisseur de la voûte. Cette surface étant égale à l'arc TK— TIxGO , c'est-àdire 46 — 41~x54, qui donne 250 \ pour la surface moyenne, et 250 y X 9=2256 f pour le cube de la partie inférieure de voûte. Ce cube multiplié par TI et divisé par l'arc TK, donnera

2-g 1^ = 2028 J, pour la valeur de l'effort vertical de cette partie

désignée dans la formule par /i. On remarquera que cet effort agissant au point B, son bras de levier BF sera x, et son expression nx. En rassemblant toutes ces valeurs algébriques , on formera l'équation

pa ^pd=:^-g — h mx + me + nx: et faisant /n -f- n, qui multiplie x

égal 6, on aura pa + pd = -^-t-fcx -f-/?ic : faisant ensuite passer rnc

ax'

dans le premier membre, il vient pa + pd — me = -g- + bx^ enfin multipliant tous les termes de cette équation par-, afin de dégager x^,

on aura, au lieu de la formule précédente , 6p + -^ ^=x^ H — ^, qui

est une équation du troisième degré , dont le second terme manque.

Pour parvenir à résoudre cette équation plus facilement, nous allons

d'abord chercher la valeur de 6p 4. -^— ^ et celle de -^ , qui multi«

plie X dans le second membre.

p étant H683 f , 6p sera 70069 ;'

rf étant 41 ±, 6prf sera 2899124 i

m étant 5226 ;, 6mc sera 537593 |

Amsi -^— -^ sera — -tt— ' , qui se réduit à 1 9679 tî et 6/) + -^^^

à 89779 7, que nous désignerons par ^, afin de simplifier le reste de notre opération.

b qui désigne m + n sera 5226 \ + 2038 \ = 7255 i et ^ = ^*, qui

se réduit à 362 \^ que nous désignerons par/*: ainsi, au lieu de Téqua-»

tion 6p + -^- = x' H nous aurons ^ = x' +/i? , que nous

allons résoudre par le moyen de la formule suivante , tirée des Élémens d'algèbre de M. Bossut ( art 235 , page 213, édition de 1 776 ) :

=Vf+v/¥+-g + N/^~V'f+i'-

Substituant dans cette formule les valeurs de g et de^ on aura

qui se réduit à )/ 44889 1 + 44909 f + [/ 44889 ^ — 44909 J , dont, extrayant la racine cubique, on trouve x^±=:44j — ^^2*;, et enfin x= 42 pour la longueur BF d*une des faces du piednlroit triangulaire BAF, Tautre FA sera déterminée par le prolongement de la diago- Dale ou ligne d*arète OB. T^ partie de pied-droit répondant à la par(ie

de voûte BNO, sera déterminée en menant des points B et A, des parais

lèles BU et MA à FA et FB.

Ces deux triangles formeront une base carrée, dont chaque cété sera de 42 lignes, qui répondra au quart de voûte KBNO; ainsi , pour soutenir Teffort de la poussée de cette route y il fyudrait quatre piliers k base carrée de 42 lignes de grosseur.

.Ce résultat s'accorde autant quil est possible ai^ec F expérience } car ce modèle de voûte a bien de la peine à se soutenir sur des pieds-droits de 43 lignes ?

En faisant l'application par les centres de gravité , on trotive la distance hg de la verticale , abaissée du centre de gravité de la partie dUr périeure de voûte, au point d'appui ^=23,28 et ^ss= 34,84; ce qui

donne la valeur de 7?=: ——7 — ^— , qui se réduit à 13143,8

et pour 6/), 78862,8.

dy qui représente os, étant 63, on aura />d{ se 828059,4, et 6p</= 4968356,4.

Au lieu de me qui dësignbit l'eflbrt rertical de la partie supérieure de voûte , dans Tapplicaticm précédente , on aura le poids des deux partie^ de voûte exprimé par leur cube = 16281, que nous désignerons par b^ et désignant par c la distance m A du centre de gravité de ces deu:|; parties de voûte, on aura ic=16281 x 24,75 =ir 402954,75, et 6^ ïs 2417728,50, ce qui donnera

. , ^ 6pd—6be . „^.^ - * 4968356,4-2417728.5 ^P + "^^ = 7«862,8 -I ~ — '-^— ,

qui se réduit à 100118 = ^. b étant 16281, et a = 120, on aura

- =: 81 4 ==/; substituant ces valeur» dans la formule

on aura

qui se réduit à x = [/ 50059 + 50268 + l/ 50059 -- 50268 ,

dont extrayant la racine cubique , on trouvera

^•=46,46 — 5,93=40,53 , au lieu de 42 trouvé dans l'application précédente.

laft premiéra méthode ique dous avons exposée ci-desy us y page 382 , est donc préférable , quoique cq)endant ses résultats se trouvent en* dessous des limites données par Texpérience.

La méthode géométrique ne pouvant pas avoir lieu pour cette espèce de voûte , on pourra donner à BF et BA le double de ce qu'on trouve pour une voûte en berceau de même genre , même forme et dîmen sion : ainsi le modèle dont il s*agit^ ayant même diamètre , même cin tre et épaisseur que celui de la troisième application , pour lequel nous avons trouvé 21 lignes ;, devrait avoir 43 lignes 7, comme l'indique Texpérience*

On suppose dans ces applications que les parties de voûtes formant lunettes, ne sont pas continuées dans l'épaisseur des pieds-droits. Lorsqu'elles le sont) comme leur poids augmente la résistance des piedsdroits , il sufiSt de donner aux faces B' F', B' M', l'épaisseur qui convient aux parties dç voûte auxquelles elles correspondent, telle que FC, D!M , c'est-à-dire qu'on peut supprimer la partie CHDA , ou , ce qui revient au même, on donnera aux faces B" F" et B" M'' du pilier carré une fois 7 l'épaisseur trouvée pour les parties de berceau correspondantes fainsi que le prouve l'expérience.

H est aisé de concevoir, que si le plan de la voûte était barlong , au lieu d'être carré , le pied-droit angulaire aurait la même forme , et que si les quatre cotés étaient inégaux, il faudrait répéter l'opération pour' chaque pied-droit.

Lorsque les voûtes d'arête sont composées de plusieurs travées, comme celles représentées par les Figures 33 et 34, il n'y a que les piliers formant les angles extérieurs qiii aient besoin d'une aussi grande épaisseur. Ceux du milieu étant contrebutés tout autour, n'ont à soute-> nir que le poids des parties de voûtes qui y répondent, et il suffit qu'ils aient ^ne superficie proportionnée à ce poids, et à la foree de la pierre, comme le prouve ^exemple que nous avons déjà cité de l'église de Saint- Toussaint d'Angers, représentée par les Fig. 3 et 4 de la Pl.GLXXlX. PI. if^. Mais il faut observer que le» murs qui renferment cette voûte ont beaucoup plus d'épaisseur qu'il ne faut pour résister aux efforts de sa poussée. En bonne construction , il vaut mieux que la superficie des points^ d^appui soit distribuée de manière à procurer à chacun une stabilité suffisante y parce qu'un des points faibles qui viendrait à fléchir pourrait ettiratner la raine totale de la voûter

La méthode pratique la plus facile ^ et qui s accorde le mieux avec I«i VI 159 théorie et rexpërience, est celle-ci : soit ABGD, Figures 33 et 34, la foi-roe de Tespace que Ton veut couvrir d'une voûte d'arête, supportée au centre par un pilier E; après avoir divisé chaque côté en deux parties égales , on tirera les lignes BI, F£, qui se croiseront au centra E, et les diagonales AE, EB, EC, ED, et H F, H G, IF, IG, qui se croiseront aux points K, K% K", K'" ; on portera ensuite la moitié delà hauteur que doit avoir le pilier. Figure 35 , jusqu'au niveau de la naissance de la voûte , de K en L, et on divisera EL en 12. Le premier point de division 1 indiquera la moitié d'une des diagonales du pilier, qui sera ^ale aux autres, si le plan forme une figure régulière , telle qu'un carré, un rectangle, ou un parallélogramme, et qu'il faudra chercher de la mépiç manière pour chacune, si la figure est in^égulière.

Pour les piliers intermédiaires H, F, I, G, après avoir trouvé les diaT 'gonales des demi-piliers , on les prolongera en dehoi^ du double de leur saillie en dedans , de manière à former ensemble des piliers dont l'épaisseur ait une fois et demi leur lai^ur. Cette opération donnera , pour les piliers angulaires, une superficie de base une fois et demie plus consi* dérable , qui les mettra en état de résister au plus grand effort de poussée qu'ils ont à soutenir.

Lorsque la largeur de l'espace à voûter doit être divisée en trois travées, et que celle du milieu doit être plus lai^e et plus élevée que les autres, comme dans la plupart de nos églises, on peut déterminer les bases de leurs points d'appui de deux manières. Celle la plus en usage, et qu'on tient des architectes goths, consiste à ne donner à la superficie des bases des points d'appui intérieurs qile lëtendue nécessaire pour recevoir la charge qu'ils doivent supporter, en rejetant l'efibrt de la poussée sur les piliers extérieurs, par le moyen d'arcs-boutans, en donnant à ces points d'appui une position et une supei*ficie de base capables dy résister solidement.

La méthode la plus facile qu'on puisse tirer des principes de la théorie pour ce premier cas consiste, après avoir fait le plan des deux demitravées qui tombent sur un même pilier. Figure 36, à prendre la moitié de la somme des deux demi-diagonales AD, AE, à laquelle on ajoutera la moitié de la hauteur isolée du point d'appui, et à prendre le douzième du tout, comme rayon, pour décrire un cercle qui indiquera la surface de la hase du point d'appui cherché. Si elle ne doit pas être circulaire.

on circonscrira autour la forme qu'on voudra lui donner, afin d'aug* monter plutôt que de diminuer sa solidité. Pour le point d'appui exté* rieur B, on formera un rectangle , qui aura pour laideur le côté du carré inscrit au cercle précédent, et pour longueur, le double.

Au-Hlessus des toits des basHrôtés, on établira un arc-boutant dont le pied-droit sera élevé sur celui du bas , en retraite d'un sixième sur le nu extérieur, et en surplomb d'autant sur le nu intérieur. La ligne de sommité ou tangente de cet arc-boutant, qui doit étra d'un seul arc de cercle, sera déterminée par la corde de l'arc de la partie supérieure de la voûte prolongée indéfiniment Pour avoir son centre , on tirera la corde GH, Figure 37, sur le milieu de laquelle on élèvera une perpendiculaire qui coupera l'horizontale GF en un point 1 qui sera le centre de l'arc.

On pourra relier ces arcs rampans par d'autres arcs en retour, qui porteront une plate-forme ou trottoir au-dessus, avec un appui sur lequel on pourra faire le tour de l'édifice, et qui formera en dehors un attique, pour cacher les arcs-boutans.

Pour le second cas, on cherchera une base de pied-droit qui puisse résister à l'effort de la grande voûte de la nef du milieu, en prenant pour hauteur de pied*droit l'élévation de sa naissance au-dessus de la voûte des bas-côtés. Figure 39; on portera la moitié de cette hauteur de B en H, sur le plan. Figure 38. Ayant ensuite divisé IH en douze parties égales, on en portera une de I en A, et deux de A en F; le rectangle fait sur la diagonale FI indiquera la superficie du pied-droit intérieur, auquel on ajoutera des saillies de droite et de gauche, pour recevoir ks retombées des arcs communiquans aux bas côtés. La longueur FD sera divisée en six parties égales, dont deux pour la saillie du pilastre ou demicolonne intérieure, sur laquelle doit se profiler l'entablement, trois pour Fépaisseur du mur, et une pour le pilastre du côté des nefs latérales, dont le prolongement formera contre-fort au-dessus des bas-côtés.

Pour le piedndroit extérieur B, on portera, comme ci-devant , la moitié de la hauteur jusqu'à la naissance de E en G, et -^ de BQ, de B en h; enfin, t; de B en K, le rectangle fait sur la diagonale KL désignera la superficie du pied-droit; on ajoutera, comme pour celui en face, les saillies pour les retombées des arcs oju vitraux, comme on le ypit indiqué à la Figure 38.

Lorsque les intervalles / entre les pieds-pdroîts sont remplis d'un mur.

plein, si on le place en arriére-corps, afin que les pieds-droits forment dosserets en dedans, comme ihefj Figure 33 , dont la saillie ^est égal% à la moitié de la ûice Ae, ce mur doit avoir une épaisseur égale khe^ mais si ce mur est avancé à Falignement de la fiice des piliers, il suffît qu'ils aient les deux tiers de cette épaisseur, de manière que les pieds* droits forment contre-forts à l'extérieur : au reste ^ connaissant Teffort de la poussée, on peut opérer pour les murs de talus et ks contre-forts, comme nous l'avons ci^levant indiqué pour ceux des murs de terrasse , depuis la page 180 jusqu'à la page 193.

Des voûtes d! arêtes antiques.

Ce qui reste des grands édifices construits par les anciens Romains » nous fait connaître qu'ils avaient la précaution de soutenir la retc»nbée des voûtes d'arête par des colonnes placées en avant des murs , afin d'augmenter leur résistance précisément aux endroits où se font les plus grands efforts. Ces colonnes avaient encore Tavanti^e de diminuer le diamètre de ces voûtes, en produisant un genre de d^oration noble et utile. On peut juger de cette belle disposition par les grandes salles des Thermes, telles que celle des Thermes de Dioclétien à Rome, qui forme actuellement l'église des Chartreux, et par les restes des Thermea de Caracalla et du Temple de la Ptiix, ainsi que x>ar plusieurs partie» d'édifices construits d'après ces modèles.

Voûtes du Terhpte de la Paix.

En examinant la belle disposition de l'édifice connu sous le nom de PL 186 Temple de la Paix, représenté par la Figure 2 de la Flanche GLXZXVI, on ne peut pas s'empêcher d'admirer la manière avantageuse dont ses points d'appui sont distribués pour résister à la poussée des voûtes immenses qui couvraient ce grand édifice. La voûte de la partie du milieu, qui a 95 mètres 99 centimètres de largeur (77 pieds 8 pouces), sur 74 mètres 99 centimètres (939 pieds 7 pouces 9 li^es) de longueur, était formée par trois travées de voûtes d'arête , dont les retombées étaient soutenues par 8 grandes colonnes de marbre de 1 m^tre 847 millimètres de grosseur (5 pieds 8 pouces 4 lignes). Ces colonnes étaient placées en avant des murs, de manière à diminuer le diamètre intérieur de la voûte. de 3 mètres 49 centimètres (10 pieds 6 pouces 4 lignes).

Les parbes collatérales sont formées de chaque côté de trois renfon cemens voûtés en berceau de 23 mètres 13 centim. de laideur (71 pieds 2 pouces) 9 et 16 mètres 59 centimètres de profondeur (51 pieds 1 pouce). Ces voûtes sont séparées par des murs dont Tépaisseur est de 3 mètres 356 millimètres (10 pieds é pouces); les murs des extrémités marqués A et By ont 4 mètres 575 millimètres (14 pieds 1 pouce).

Voulant, comparer les résultats que donnerait la théorie que j'ai établie ci-dessus , avec ceux qui nous sont donnés par Texpérience dans les grands édifices , j'ai appliqué la formule trouvée

aux voûtes de ce temple; cette formule m'a donné 3 mètres 25 centimèt. (10 pieds ) pour l'épaisseur des murs capables de résister à leur poussée , au lieu de 3 mètres 356 millimètres que se trouvent avoir les murs qui les séparent , et de, 4 mètres 575 millimètres qu'on a donnés k ceux des extrémités : ainsi l'on voit que ces murs n'ont que l'épaisseur qui convenait à un édifice de ce genre, indépendamment des efibrts qu'ils avaient encore à soutenir de la grande voûte du milieu. Cependant, comme ces derniers efforts agissent dans le sens de la longueur de ces murs, ils acquièrent par le poids des parties de la grande voûte qu'ils soutiennent, une résistance beaucoup plus forte que l'effort de la poussée ; car on ne trouve, par la formule des voûtes d'arête, que 6 mètres 18 centimètres pour la longueur des murs intermédiaires C et D , sur l'épaisseur qu'ils ont, tandis que leur longueur est de 16 mètres 59 centimètres, et pour celle des murs extérieurs, 8 mètres 69 centimètres, c'est-à-dire, moins de la moitié de celle qu'ils ont II faut remarquer que ces voûtes n'étaient entretenues par aucune chaîne, ni tiran de fer, comme nous le pratiquons, et qu'elles se soutenaient par la seule résistance de leurs piedsdroits. Il est vrai que ces voûtes étant construites en blocage et en briques maçonnées avec d'excellent mortier, elles ont acquis , avec le temps , autant de solidité que si elles étaient formées d'une seule pièce , mcâs il a fallu un certain nombre d années pour qu'elles pan^iennent à ce degré de solidité ^ et que les murs soient assez solides pour résister aux premiers efforts de la poussée ^

^ Noas avons déjà fait observer, dans llntroduc^ion de cet ouvrage (pages xxij , xxiij) » ^e lors de renlèvement des colonnes qui décoraient la grande salle du temple de la

Observations sur les voûtes d! arêtes gothiques.

La courbure de cintre la plus favorable pour les voûtes d'arête est eelle des arcs gothiques^ parce que la partie qui pousse le plus se trouve supprimée. On trouve que lefibrt de leur poussée n'est que les trois septièmes de celui des voûtes en plein cintre de même diamètre , épaisseur, hauteur de pied-droit et forme d'extrados , et qu'il sufiBt de donner à leurs points d'appui les trois quarts de ceux des voûtes en plein cintra de même forme et dimension.

Dans la plupart des églises gothiques et des églises modernes, en arcades et voûtées en voûtes d'arêtes, l'épaisseur des piliers est entre le tiers et le quart de la laideur des bas-côtés, et celle des murs extérieurs entre le tiers ou le quart de la largeur de la nef du milieu, qui est ordinairement double des bas-côtés.

A l'église de Notre-Dame de Paris , les piliers ronds qui soutiennent le milieu des voûtes des doubles bas-côtés , ont pour diamètre la neuvième partie de la largeur qu'ils divisent en deux , entre les nus des colonnes. Celles qui séparent la nef du milieu n'ont que la dixième partie de sa largeur; mais les murs des chapelles, qui se trouvent op posés selon leur longueur à l'effort des voûtes, suppléent à ce que les colonnes ou piliers ronds ont de moins que ceux des autres édifices de ce genre.

A la cathédrale de Milan, où les doubles bas*côtés sont fort élevés, le diamètre des piliers, formant un faisceau de huit colonnes , est le tiers

Paix , U masse des pendentifs ou retombées qui étaient restées après la destruction des voûtes demeurèrent comme suspendues sans se détacher des murs. Ce fait, quli faut attribuer à la puissance du mortier , dont les Romains avaient acquis une si grande expérience , n'affaiblit en rien l'importance des principes de la théorie , comme on peut en juger parce qui précède; mais il semble devoir fournir une nouvelle preuve de cette profonde sagacité qui brille dans tous leurs ouvrages. En effet , il parait aujourd'hui démontré par l'état actuel des choses, que ces élémens, si essentiels en apparence, formés même quelquefois des matières les plus dures , sans doute en raison de la charge qu'ils semblaient avoir à soutenir ^ ; en un mot , que toutes ces dispositions démonstratives d'un ingénieux mécanisme de construction ne pouvaient avoir d'autre (Ajet que de dissimuler un artifice encore plus admirable. Quoi qu'il en soit, il demeure toujoura évident que, bien loia d'être , comme dans la plupart des édifices modernes , h type auquel toute la construction se trouve subordonnée^ les colonnes n'apparaissaient là, en quelque sorte, que comme une concession faite, par l'art de bâtir, aux ordonnances grecques, dont l'introduction encore récente exerçait alors tant d'influence sur l'architecture,

f inx Thermei de Dîodétieo , Myoardl'hvâ la Ghartreuêe , lot reloaUts det Toàtet d'aréie porteal sur MX 'olonaes de graoHe.

de leur distance prise de milieu eh milieu , et le sixième de la largeur de la grande nef. Mais les murs d'enceinte , en y comprenant les demipiliers et les contre-forts , n*ont que le tiers de la largeur de la nef du milieu ; tandis qu'a Notre-Dame de Paris les murs des chapelles opposent une épaisseur de plus de la moitié de la largeur de la grande nef.

A la cathédrale de Florence (Sainte-Marie-des-Fleurs), les piliei's qui séparent la grande nef des bas-côtés sont extrêmement éloignés les uns des autres, et les murs extérieurs fort minces. Leur épaisseur, qui n est que la septième partie de la largeur de la nef, serait insuffisante pour soutenir la poussée des voûtes d*arête qui sont fort élevées , si cette poussée n'était pas détruite par des doubles tirans de fer qui traversent la nef du milieu au droit de chaque pilier, et par de fortes ai^matures de charpente posées au-dessus des voûtes des basHïôtés , avec des ares boutans en pierre, qui ne paraissent pas à l'extérieur.

Nous avons déjà remarqué que ces voûtes d'arête gothique ne sont pas , comme les voûtes régulières , le résultat de parties de voûte en berceau qui se croisent; c'est l'assemblage de plusieurs arcs , dont les intervalles sont garnis de maçonnerie légère, disposée de la manière la plus propre à les maintenir et à former un ensemble régulier. Comme le milieu des lunettes ne forme jamais une ligne droite horizontale , mais une courbe, il en résulte que tout l'effort ne tombe pas seulement sur les pieds-droits, et qu'une partie est soutenue par les parties de murs intermédiaires : c'est pourquoi ces voûtes, pour la légèreté et la solidité, ont l'avantage sur les voûtes régulières.

Cette multitude d'arcs-boutans, dont la plupart des églises gothiques sont garnies à l'extérieur, sont souvent superflus , ainsi que le prouvent, indépendamment de la théorie, plusieurs édifices de ce genre, où l'on a évité d'en mettre, quoique leurs voûtes soient beaucoup plus élevées que la plupart des grandes nefs au-dessus des bas-côtés des églises ordinaires , telles que la Sainte-Chapelle à Paris , et la petite église de Cluni , près la Sorbonne, que nous avons déjà citées, et plusieurs autres qui n'en sont pas moins solides.

Dans la plupart de nos églises modernes, où les lunettes ont un diamètre beaucoup plus petit que celui de la grande voûte , afin d'éviter de leur donner un cintre surhaussé , on s'est servi de différens expédiens : les uns, en conservant les naissances à la même hauteur, ont formé des lunettes qui rencontrent la grande voûte au-dessous de son som-

met; d'autres ont élevé les naissances des lunettes jusqu a ce que leur sommet se trouve à la même hauteur que celui de la grande voûte , en coupant sa partie inférieure d'aplomb jusqu'à la hauteur de la naissance des lunettes ; d'autres ont pris un parti moyen, en élevant d'une part les naissances des lunettes au-dessus de celles de la grande voûte, et abaissant de l'autre leur sommet au-dessous de celui de la grande voûte; d'autres enfin ont donné une inclinaison au sommet des lunettes, qui forme une tangente à la courbe du cintre de la grande voûte.

Le premier de ces moyens a le désavantage de produire une plus grande poussée , en augmentant le poids de la partie qui la cause.

Le second a le défaut de diminuer la force de la grande voûte dans la partie coupée d'aplomb, et de produire une arête de lunette, qui forme un jarret désagréable à la hauteur de la naissance de la lunette.

Le troisième moyen ne fait que pallier les incpnvéniens qui résultent des deux autres , en les rendant moins sensibles.

Le quatrièpie, dont on voit beaucoup d'exemples en Italie , est préférable , surtout lorsque la différence des diamètres des lunettes avec celui de la grande yoûte n'est pas trpp considérable.

Cette inclinaison des lunettes opposées équivaut en partie à la cour^ bure des liinettes gothiques; paais elle porte sur les murs intennédiaires une plus grande partie de la poussée.

De tout ce qui vient d'être dit 9 il est aisé de conclure que le meilleur moyen est déformer les voûtes d arête avec des parties de voûtes en berrceau de même diamètre, dont les naissances soient au même niveau, ainsi que l'ont pratiqué les anciens Romains dans Isurs plus beaux (édifices.

Cette disposition de voûte convient parfaitement aux édifices qui doivent être éclairés parle haut, surtout pour ceuxdopt Ija longueur est très-considérable par rapport à la laideur : elle produit un effet moins lourd et plus agréable que les voûtes en berceau continu , par la manière dont la lumière se répand. La bibliothèque de la Mina^ve, à Rome, est un modèle qu'on peut citer en ce genre.

Je pense que c'est le moyen qui conviendrait le mieux pour une galerie de tableaux, telle que celle du Muséum; c'est aussi un de ceux que j'avais proposés, en 1786, à M. le comte d'Angivillers, directeur généra> des bàtimens du roi , et qu'il avait accueilli. On aurait pu soutenir le.^ retombées de ces voûtes par des colonnes de marbre , comme au Tem pie de la Paix et aux grandes salles des Thermes. Ce genre de décoratioi

' THÉOftIË DES CONSTRUCTIONS. 295

eût employé utilement les colonnes de marbre précieux qui s'y trou^ vent. Comme il n'eût été possible de tirer des jours qu'à de certaines distances, la longueur de la galerie eût été divisée en parties de voûtes, qui eussent été alternativement en berceau derrière les frontons, et d'arête dans leur intervalle, séparées par des arcs doubleaux* Cette di^ vision aui'ait fait disparaître la monotonie de cette longue voûte qui, après le bouchement des croisées , n'offrira plus que Taspect d'un aqueduc souterrain , éclairé par des trous qui , en détruisant la solidité de la voûte, produiront, sans doute, le plus mauvais effet

f^ngt-unième application^ à un modèle de voûte en arc de cloitre.

Ce modèle, représenté par la Figure 40, forme en plan un carré dont chaque côté est de 9 pouces, mesuré à l'intérieur, sur 10 pouces de hau'^ teur de mur, jusqu'à la naissance de la voûte. Cette voûte est plein cintre et extradossée également à 9 lignes d'épaisseur; elle est divisée en dix^* sept parties coupées aux endroits où se font les plus grands efforts,, ainsi que l'indiquent le plan et la coupe, Figures 40 et 41 • Sur un des côtés de la première, on a tracé à l'ordinaire la circonférence moyenne TKG, les tangentes FT, FG, la sécante FO, l'horizontale IKL, et les verti^ cales Bi et MK : cela fait , on a considéra cette voûte comme formée de quatre portions triangulaires de voûtes en berceau, soutenues chacune dans toute la longueur de leur base par un des murs qui forment les côtés du carré.

Comme dans ce cas^i les portions sont égales, il suffit de faire Tappli* cation à une , relativement au mur qui la soutient

Pour opérer il faudra , pour cette voûte comme pour la précédente prendre les cubes au lieu des surfaces, et les surfaces au lieu des lignes.

Ainsi y en désignant la longueur du mur par/, sa hauteur par a , et

son épaisseur par x. Son bras de levier étant tMijoors -^ sa résistance

sera exprimée par afx ^ .

Indiquons maintenant l'effort de la poussée par p

EH==tTfc=KI«KV par d

PH sera ....•..• a+d

la somme des efforts verticaux de la partie strpérièura par. . • • m celle des efforts inférieurs pan ; , . , n

la partie IK de Thorizontale par «••• •••• c

TB = à la moitié de Tépaisseur de Tare e

le bras de levier KH sera c+x

TE= X— e

Nous aurons alors Féquation d'équilibre

pa +pd = -^ + (m+n) x-^ne + me et si nous posons m + /t= 6, -^ . :

-T. — k^bx=::^pa + pa + ne — me; d'où l'on tire

Si maintenant nous 9uppps.pns que re£Port se £ait au point B; supr position que nous avons admise jusqu'à présent d^ns nos formules, nous aurons e=.o^ et la valeur de x devient

^■^v/j^g 2pd—lmc Ji^ b

L'effort horizontal de la partie supérieure , désignée dans la coupe par la ligne KL, sera exprimé par le triangle éEd du plan.

Celui de la partie inférieure, désigné dans la coupe par iK « sera exprimé par le trapèze ehCd^ du plan.

Le plan de cette voûte étant un carré, la base ed sera double de £^=KL de la coupe, et la superficie du triangle elLd égal au carré de KL, qu'on trouvera = 41 -tîX 41 7^, qui donne 1710 f.

Ea du plan étant 54 et E^=41 7^, on aura la surface du trapèze égale au carré 54^ moins le carré de 41 ~, c*est-à-dire à 1206 f ; l'effort supérieur étant 1710 f, leur différence sera 504, qui, étant multipliée par l'épaisseur de la voûte, qui est 9, donnera 4536 pour lexpression de la poussée désignée par p dans la formule , et pour celle de

2p=9072, et^=:84

d qui représente TI, étant 41 7^, on aura ^pd = 375193.

Pour avoir la valeur de l'effort vertical de la partie supérieure d^ la voûte désignée par m, il faudra multiplier son cube par KM^^t diviser le produit par l'arc KG.

THÉORIE DES COJfSTRUCTIONS. 297

Le cube de cette partie est égal à la superficie courbe qui passe pafr

le milieu de son épaisseur, multipliée par cette même épaisseur. La superficie moyenne est égale au produit de la longueur nq, prise

sur le plan , multipliée par KM, ainsi que l'a démontré M. Mauduit,

dans ses Élémens de géométrie.

129 étant 117 et KM 17 7, leur produit, qui exprime la superficie

moyenne, sera 2005 7, qui étant multiplié par 9, donnera pour son

cube 18051 7. Ce cube, multiplié encore par KM=17 7, et divisé par la

circonférence KG =46, donnera 6727 pour la valeur de m, et pour

2m, 13454. c étant 12 ^, on aura 2mc= 170100^,

2pd-2mc 375192->170100| 'j-^i.kûo

af = 120X108 ' ^^' ^ ^^^^*' ^ ^5'®^-

h, qui désigne Teflort vertical de la demi-voûte, sera exprimé par son cube multiplié par B/" = 58 7, et divisé par la circonférence moyenne TKG= 92.

Pour avoir le cube , on multipliera la superficie moyenne , c'est-à* dire nqxJfjOn 117x587, par Tépaisseui; AB=:9, qui donnera

6844fx9=:61600^.

Ce cube multiplié par ]^=58 ^, et divisé par la circonférence moyenne

TKG=s92, c'est-à-dire 61600 7 X ^, qui donnera 39169,88 pour la va*

leur de 6, et pour celle de ^ , ^^ '^g >qui se réduit à 3,02, et — à 9,12. Substituant toutes ces valeurs dans la formule

2£ 2pd^2me ^ ^b \ 6

t— 2mg bb \ b

on aura

qui donne, après avoir fait les opérations indiquées, 0^=7,41, c'est-à* dire un peu moins de 7 lignes 7 pour l'épaisseur des murs qui serait moindre que celle de la voûte; ce qui fait voir qu'en donnant à ces murs la même épaisseur ^ue la voûte , ils auront toute la solidité qu'ils doivent avoir, ainsi que le prouve l'expérience , ce modèle de voûte se soutenant également bien sur des murs de 9 lignes d épaisseur ^ divisés en 8 parties f et sur. 1 2 cplonnes doriques dont le diamètre est de 9 lignes, savoir : quatre placées aux angles ^ et huit autres sous les parties inféram ir. 38

Heures de voûte j ainsi qu'on le voit indiqué pour un quart dans la Fi- VI 195 gure 41 , Planche CLXXXXV.

Pour trouver Tépaisseur de ces murs , par la méthode géométrique , il faut prendre la difféi^ence de la superficie du triangle BEC , avec celle du triangle Eed^ qu'on divisera par la longueur BC.

Ainsi, la surface du grand triangle étant — ^ — > qui donne 2916,

et celle du petit ^^1^^^^ = 1710,4, leur dififérence 1205,6 divisée

par 1 08, donnera 1 1 ,1 6, qu'on portera à l'ordinaire sur le profil de Ben h, et l'épaisseur de la voûte de B en ;i , pour décrire sur nh , comme diamètre, une demi-ciix^onférence de cercle, qui, en coupant l'horizontale BE, déterminera l'épaisseur du mur qu'on trouvera de 10 lignes.

Le peu de poussée que donne cette espèce de voûte vient de ce que la partie supérieure qui la cause diminue de volume ti mesure que leffort horizontal devient plus considérable , et de ce que la forme triangulaire .[de ses parties et leur position lui procure l'avantage d'avoir leur plus grand côté pour base ; tandis que dans les voûtes d'arête , les parties triangulaires ne posant que sur un angle, le poids augmente en plus grande raison que les eSbrts horizontaux.

Déplus, eomme les parties en retour se soutiennent mutuenemént, il en résulte qu'une demi* voûte, et même un quart de voûte à base carrée se soutient «eul , lorsque l'épaisseur des murs est de 10 lignes; ce qui prouve que , les parties opposées n'agissant presque pas les unes contre les autres, la poussée devient presque nulle.

En appliquant à cette voûte la méthode des centres de gravité , la formule devient

on trouvera que la verticale abaissée de celui de la partie supépievre de voûte est éloignée du point d'appui N, autour duquel «Ile tend à tourner = 11,18, et que la distance N^ de ce point d'appw à la direction de la puissance horizontale G9-, est de 24,83.

Le cube de œtte partie de voàte étant 18051,41, l'expression de TéTfort qu'il faudra pour la soutenir, sera 18051,41 Xj^K' 9"^ ^®°"«

pour la valeur de /), 8131,13, et pour ^ ^^^, qui se réduit à t50,57,

tétant 61600,5; etc, qui indique la distance de la verticale abaissée du centre de gravité de la demi-voûte au. point B, autour duquel elle tend à tourner, étant 7,23^ on aura

* sera;^;^ = 4,75, et ^ =22,56.

af 120X108 ' ' a^f^ '

Ces valeurs substituées dans la formule donnent

qui donne, après avoir fait les opérations indiquées j:==5,47, environ 5 lignes 7, c'est-à-dire moins que par l'autre méthode, parce que la forme triangulaire exigerait quelque petite modification que nous avons négligée ^ par la raison que nous avons déjà alléguée, qu'il vaut mieux trouver un résultat un peu trop fort qu'un peu trop faible.

Il est bon d'observer que le plus grand effort de cette espèce de voûte devant se faire vers le milieu de la longueur du mur en a ^ , c'est là où devrait être la plus forte épaisseur; d'où il résulte qu'au lieu d'un mur à base rectangulaire, il en faudrait un à base triangulaire. Cette observation est confirmée par t expérience ^ car le modèle entier se soutient bien sur des pieds-droits de 9 lignes d^ épaisseur^ tandis que, pour quun quart de 90Ûte se soutienne, il faut que t épaisseur des parties de mur qui y répondent soit deiO lignes.

Pour trouver l'épaisseur que devrait avoir le pied-droit à base triangulaire au droit de l'angle, il faut changer dans la formule l'expression algébrique de la résistance du pied-droit : ainsi , désignant l'épaisseur ah de la Figure 41 , par x, la superficie de la base du pied- droit trian-

gulaire sera/x -s- , et son cube -^; et comme son centre de gravité rë-

pond au tiers de ah, la résistance du pied-droit sera

-^ X y, qui donne --^^.

Ainsi on aura l'équation />a ^pd.^ 6^ "^ bx+mc, qui donnera^

après avoir fait les réductions comme ci-devant>

:—\/lL

Zpd^lmc 9bb 3b^

dans laquelle substituant les vakurs , on aura

qui donne 8 lignes pour Fépaisseur ah^ mais comme cette forme de pied-droit ne peut pas convenir à une voûte dont l'épaisseur par le bas est terminée par des lignes parallèles , le moyen le plus convenable est de donner au pied-droit la même épaisseur que la voûte a par le bas.

Il est facile de concevoir que les avantages des voûtes en arc de cloître diminuent en raison de ce qu'elles sont plus longues que larges , en sorte que le milieu du grand côté d'une voûte de ce genre , dont la longueur est plus du double de la largeur, doit agir comme une voûte en berceau ordinaire. Si les parties de voûtes sont séparées par les dia* gonales du plan que la voûte doit couvrir, comme la Figure 1 de la t\. 44. Planche XUV, on donnera aux murs les deux tiers de l'épaisseur que devrait avoir une voûte en berceau , de même cintre , ayant la largeur pour diamètre. Mais si elles sont séparées par des lignes qui divisent Fangle du plan en deux , comme aux Figures 7 et 1 2 de la même Planche , il faudra donner aux murs l'épaisseur entière, au lieu des deux tiers.

Gomme dans ces espèces de voûtes le plus grand effort se fait vers le milieu des côtés, il faut éviter, autant qu'il est possible, d'y pratiquer des vides pour des ouvertures de porte ou de fenêtre.

Cette forme de voûte convient très-bien pour les appartemens voûtés, auxquels on a peu d'élévation de cintre i donner, et dont le plan ne présente pas une longueur plus grande que le double de leur largeur.

Lorsque la hauteur de cintre qu'on peut donner à ces voûtes est moindre de la sixième partie de leur largeur, il faut le former d'un seul arc de cercle.

yingt'deuxième application ^ à un modèle de voûte sphérique.

Ce modèle , représenté par les Figures 42 , 43, 44 et 45, a même diamètre et épaisseur que le précédent ; il est coupé en huit parties égales par des plans verticaux qui se croisent à l'axe : chacune de ces parties est subdivisée en deux autres par un joint à 45 degrés , ce qui forme

en tout seize morceaux. Cette voûte est ëlevée sur un mur circulaire de même épaisseur qu'elle, divisé en huit parties coiTespondantes à celles de la voûte : toutes ces parties sont posées de manière à former des joints continus , sans aucune liaison , afin de présenter le cas le plus défavorable. Cependant ce modèle se soutient solidement, et ]>eut même porter un poids sur son sommet.

Si Ton substitue aux huit parties de murs circulaires huit petites colonnes de même hauteur, comme le représente la Figure 44 , de manière que les joints verticaux répondent au milieu de chaque colonne , cette voûte se soutient encore, quoique le cube de ces colonnes , ainsi que leur poids, ne soit que la neuvième partie du mur circulais qu'elles remplacent.

// résulte de ces expériences que les voûtes sphériques ont encore moins de poussée que les voûtes en arc de cloitre.

Pour faire l'application, il faudra, après avoir fait le profil de cette voûte, et décrit la circonférence moyenne, tirer à Toi'dinaire les tangentes TF, GF, la sécante FO, l'horizontale IKL, et les verticales KM et Bî; ensuite, opérant pour un huitième de voûte, on prendra le secteur Ohm pour exprime;;i' Fefibrt horizontal indiqué par KL, et la partie de couronne HA Mm, pour exprimer Fefibrt horizontal de la partie inférieure.

La différence de ces deux superficies, multipliée par l'épaisseur de la voûte , sera l'expression de la poussée, désignée par p dans la formule.

Le rayon m du secteur étant 41 7^, et sa circonférence 32 ^ , sa superficie sera 672 -^^

La superficie de la partie de couronne AH M m sera égale à la différence des deux secteurs OHM et OAm, dont le premier est égal au pro duit de la moitié de OM = 27 par l'arc H M= 42 i = 1 1 45 ^ , et le second =672 ^, on trouvera cette différence = 47377.

La poussée, étant égale à la différence entre 672 «^ et 473 \{ , sera 1 98 f^ x 9 , qui donnera pour la valeur de p de la formule 786 77.

/ exprimant pour ce modèle le développement de la huitième partie

de mur circulaire, sera 42 7, ce qui donnera ^ =42.

dj qui exprime la différence de la longueur du bras de levier avec la hauteur du pied-droit, étant 41 -^j on aura j[)rf=: 73897 7. Pour avoir la valeur de me, il faut d'abord chercher cède de m, qui

i02 TKAITÉ DE L'ART DE BATIR.

indique l'effort vertical de la partie supérieure de voûte, qui doit être

égal au cube de cette partie, multiplié par KM , et divisé par Tare KG.

Le cube de cette partie de voûte est égal à la différence du cube du secteur de sphère , dans lequel elle est comprise avec celui qui forme sa capacité intérieure*

Nous avons déjà dit, page 18, que le cube d'un secteur est égal au produit de la superficie de sphère dont il fait partie par le tiers du rayon , et que cette supeiiicie était égale au produit de la circonférence du grand cercle par la flèche de cette surface : ainsi la superficie du grand secteur ORG r. Figure 43, sera égale au produit du grand cercle, dont ka est le diamètre= 126 par la flèche G ^=18 ^i^ qui donne 7308, et son cube par 7308 x 21 , qui donne 153468.

La superficie du petit secteur OND n sera égale au produit du grand cercle, dont B6 est le diamètre = 108 par la flèche VD=15 i^, qui donne 5369 ff et son cube par 5369 ^x 18, qui donne 96648 ^. Otant ce dernier cube de celui du grand secteur, que nous avons trouvé = 153468, le reste, 56819, sera le cube de la partie de voûte supérieure formant calotte, dont la huitième partie 7102 \ sera le cube que nous cherchions, lequel étant multiplié par KM=17 7, et divisé par l'arc KO =46, donnera 2646 \ pour la valeur de m de la formule.

c, qui représente «K, étant 12 ^, on aura

me =33461 j; ainsi prf— me sera 73897^—33461 ^=40436^;

pd-^mc 40436 ! j j -^ ^ n na

et pour ^ ^20x42^ '"* *^ ^^^^*' ^ ''^*

Dans l'application précédente au modèle de voûte en arc de cloiti^e, les murs étant droits , la distance de leur centre de gravité au point d'appui se trouvait égale à la moitié de leur épaisseur : dans celle-ci , le mur étant circulaire , son centre de gravité est d'autant plus éloigné du point d'appui qu'il embrasse une plus grande partie de la circonférence du cercle : en ne prenant que la huitième partie , son centre de gravité se trouve hors de l'épaisseur du mur, d'une quantité que nous désigne-

rons par e; en sorte que son bras de levier, au lieu d'être -^ , sera e -4- or, ce qui changera la formule précédente en celle-ci ; afx (e + x) + bx=^pa^pd — me

TflÉOAIE DES CONSTRUCTIONS. 303

qui eo ordonnant par rapport à x^ devient,

af3(? 4- (««/"+ 6) x:=zpa -^pd — me, d'oiï Ton tire :

et si l'on pose c + ^ = 2A, on a la valeur de x.

f Of

h exprime l'effort vertical d'un huitième de voûte, égal à son cube, mul« tiplié pai' la verticale B/", et divisé par la circonférence moyenne TKG.

Ce cube eét égal au huitième de la sphère, dont A a est le diamètre, moins celui du huitième de la sphère, qui a pour diamètre Bfr.

Le diamètre A/i étant 136, le huitième de la circonférence du grand cercle sera 49 f , qui, multiplié par la flèche qui se trouve être le rayon =63 , donnera pour la superficie du huitième de la grande sphère 3i 1 8 7, et pour son cube H 18 ^ x 31 = 65688 \.

Le diamètre B6 étant 108, le huitième de la circonférence du grand cercle sera 42 ^, qui , multiplié par le rayon 54 > donnera pour la superficie 2291 f , et pour son cube 2291 \ x 18=41240 ^ : en Atant le plus petit de ces cubes du plus grand , la différence , 24447 77, sera eelui de ce huitième de voûte qu'il faudra multiplier par B/'sôÔ 7, et diviser le produit 1430203 ji, par l'arc moyen TKG = 91 ^; le quotient 15558 exprimera Teflort vertical du huitième de voûte , exprimé par h dans la formule , ce qui donne pour celle de

b 15558 . XA '^-xi^ti — "51^ > ^» M réduit a 3,05.

e, étant 3,51 , on aura pour la valeur de A, A=::2,78, et pour celle deAA, /t2=7,72.

Substituant les valeurs trouvées dans la formule,

on aura

ir=j/4H7,Ô^7,7i-2,78=|/57;64-2,78, qui se réduit, après les opérations faites, à ara!=4,72, au lieu de 7,41

trouvé pour la voûte d'arc de cloître, dont le plan serait formé par le carré circonscrit. Cette différence vient de ce que les murs droits qui répondent à chaque quart de voûte, n'ont pour bras de levier que la moitié de leur épaisseur, tandis que dans les voûtes sphériques la partie de mur correspondante a un bras de levier trois fois plus considérable.

Application par la méthode des centrés de gravité.

Pour cette application, nous allons faire usage d'un moyen fort simple de déterminer les centres de gravité des voûtes sphériques, que j'ai déduit des principes de théorie établis dans un ouvrage de mathématiques de l'abbé Deidier, intitulé : Mesure des surfaces et des solides par r arithmétique des infinis et les centres de gravité ^

Considérant la voûte réduite à sa circonférence moyenne , pour avoir le centre de gravité de la partie supérieure, indiqué par KG, Figure 44 . on tirera par le milieu 3 de GL une horizontale qui coupera l'arc KG au point 3; portant ensuite la distance 3, 3 sur le plan, on décrira un arc 5,6, dont on cherchera le centre de gravité, en multipliant sa corde par son rayon , et divisant le produit par le contour de l'arc (comme jious l'avons j:i-devant expliqué, page 114); le quotient 29,68 indiquera la distance du centre d^e gravité à l'axe , qu'on portera isur le profil de 3 en 4. Nn étant =38,18, la différence N4 sera 8,50, désignant le bras de levier du poids de la pçtrtie supérieure de voûte exprimée pfu* son cube.

N^ ser^, comme dans l'application précédente, 34,83, exprimjant le bras de levier de laipuissance horizontale qui soutient la partie de vQÛte supérieure sur son joint HN.

Le cube de cette partie étant 71037, l'effort de la puissance sera

exprimé par — ^o^o"^" ' ^^^ ^ réduit à 3433,33 pour la valeur de p

1 on a aussi 4 = -— -— = 57,3?.

b , qui ,e|cprime le poids des deux parties de voûte réunies, sera 34447,93.

c, indiquera, dans ce cas-ci, la distance de la verticale abaissée du autre de gravité des deux pairies de voûte réunies , au point B.

Pour avoir ce centre de gravité , on tirera une horizontale du mi-

^ Volume in-4«. avec des planches. Paru • 1-740, cheiA. A. Jombect.

lieu 7 de GO, qui coupera la circonférence moyenne au point 8; portant ensuite la distance 7,8 sur le plan, on décrira un arc 9, 10, dont on cherchera le centre de gravité, qu'on trouvera à 49,36 de Taxe, et à 4,64 du point B , qui sera la valeur de c. Ainsi , on aura

bc 24447,93X4,64 . ^j •* x on «i

h, qui représente, comme dans l'application précédente,

e+^,sera2,51 +?*1JZ^, qui se réduit à 7,30, , .

en sorte que A =3,65, d'où A^= 13,32.

Toutes ces valeurs, étant substituées dans la formule

*=V/(^— ^ + AA)—A, donneront

qui se réduit à x =3,30, au lieu de 4,72, que donne l'autre méthode, différence qui vient de ce que, par la première méthode, les efforts verticaux sont un peu faibles : au reste, cette différence est à l'avantage des pieds-droits*

Il résulte des applications faites aux quatre modèles de voûte précédens , qui sont les plus en usage,

1"". Que pour la voûte en berceau en plein cintre, dont la longueur est égale au diamètre, la superficie des deux murs parallèles qui la soutiennent est dé 4698.

2"". Que celle des quatre piliers à base carrée, qui soutiennent la voûte d'arête , est de 7056.

3''. Que celle des quatre murs de la voûte en arc de cloître, est de 3425 \.

4"*. Que celle du mur circulaire de la voûte sphérique, est de 1238 *.

Ainsi en noyant égard qu'au diamètre de ces voûtes, qui est le même pour toutes, on trouvera que si l'on désigne la superficie du mur circulaire de la voûte sphérique par 1 ,

Celle des murs de la voûte en arc de cloître sera un peu moins de 3 ;

Celle des murs de la voûte en berceau, moins de 4 ;

Et celle des piliers de la voûte d*aréte, moins de 6.

Mais si f on a égard à l'espace que chacune de ces voûtes occupe, avee

leurs murs et point d'appui » on trouvera qu*à superficie égale les murs de la voûte en berceau en seraient les ^.

Ceux de la voûte en arc de cloître , moins du quart.

Les piliers de la voûte daréte , en la supposant continuée dans l'épaisseur des piliers » un peu plus du septième.

Et le mur circulaire de la voûte sphérique , un peu plus des deux dixseptièmes.

En sorte que si Ton suppose que l'espace occupé par chacune de ces voûtes est 400,

Les murs de la voûte en berceau seront 115

Ceux de la voûte en urc de cloître. 91

Les piliers de la voûte d*aréte 60

Le mur circulaire de la voûte sphérique 48

D'où il résulte qu'après les voûtes sphénques, ce sont les voûtes d'arête qui exigent le moins de points d'appui : conclusion à laquelle il semble qu'on ne devait pas s^attendre , d'après ce que nous avons dit de leur poussée , mais qui est justifiée par l'expérience.

On pourra peutrétre regarder comme une chose extraordinaire, que ces formules donnent pour les voûtes d'arc de cloître et les voûtes sphériques des épaisseurs de murs moindres que celles de ces vowte». Quoique ce résultat soit constaté par l'expérience, nous ne prétendons pos en conchire qu'il faille donner à ces murs moins d'épaisseur cpu'aux voûtes qu'ils soutiennent, mais qu'ils peuvent n'être pas pleins dans toute leur longueur.

Nous nous bornerons à démontrer, a après les principes ci-devant établis , pages 256 et 2S7, n*. 5, 6, 7, 8 et 9, et notamment ce dernier, où l'on fait voir que la poussée est égale à la dififérence des efforts horizontaux des parties de voûte qui agissent en sens contraire; en sorte que si ces deux efibrts étaient égaux, n'y ayant pas de différence, il n'y aurait pas< de poussée : c'est ce qui arrive dans les voûtes en arc de cloître et les voûtes sphériques.

Preuve pour la voûte en are de clottre.

Supposant cette voûte réduite à sa superficie moyenne» la partie qui

11 1 95. cause la poussée sera indiquée dans le profil ,,par KL(Planche CLXXXXV,

Figures 4(1 et 4;1), et ea plan,' par le triangle Eetf» égal au carré Are^Eila

partie qui lui résiste sera indiquée dans le profil par IK, et en plan par le trapèze enqdj égal à la partie formant équerre enmgek. Cela posé, si Ton' fait attention que le côté du grand carré enmR est égal à la diagonale du petit keg^j la superficie de ce dernier sera égale à la moitié de celle du grand; donc la partie en équerre^ qui exprime Fefibrt de la partie de voûte inférieure , sera égale au caiTé exprimant l'effort de la partie supérieure; donc elle ne doit pas avoir de poussée. Celle que nous avons trouvée dans l'application des deux méthodes vient de ce que nous avons supprimé de l'expression de la partie inférieure, le petit trapèze Btj^C, formant la moitié de son épaisseur; parce qu'en considérant cette partie inférieure d'une seule pièce, elle tend à tourner autour de la ligne BC, ce qui n'arriverait pas si elle était composée d'une infinité de voussoirs qui pussent agir.

La même démonstration peut s'appliquer aux voûtes sphériques; car, en tirant les lignes M/i, dn. Figure 43, il est facile de voir que le rayon Oh étant égal à la moitié de la diagonale nO, la superficie du cercle décrit avec le rayon Oh sera moitié de celle du cercle décrit avec le rayon Om. Donc la couronne , qui exprime Fefibrt de la partie inférieure, étant égale au cercle qui exprime celui de la partie supérieure, cette voûte, de même que celle en arc de cloître, n'aura pas de poussée.

Cette propriété des voûtes sphériques peut encore se démontrer d'une autre manière, en faisant voir que le produit de la partie supérieure de voûte, multiplié par KL, est égal à celui de la partie inférieure, mul* tiplié par IK; car, supposant cette voûte réduite à sa circonférence moyenne , Fefibrt de la partie supérieure sera égal au produit de la circonférence qui lui sert de base, que nous désignerons par C, par LG, et par son bras de levier KL. Celui de la partie inférieure sera C X II X IK; et comme LG==IK, et TI=KL, on aura C X LG xKL = C X TI xIK.

Preuve pour la voûte sphérique.

Nous avons pensé que l'on verrait avec intérêt le travail que Fauteur fit à ce sujet, en 1796 , sur les voûtes et pendentifs du dôme de Féglise de Sainte -Geneviève, alors le Panthéon français, et qu'il s'était borné à indiquer ici pour exemple de cette application dans les éditions pré-

cé4entes.

APPLICATION FAITB PAR L AUTEUB , EN I796, AUX VOUTES ET PENDENTIFS DU DOME DE l'église de SAINTE-GENEYIÈYE, alors PANTHÉON FRANÇAIS \

Les trois voûtes qui terminent le dôme du Panthéon français ont ensemble , par le bas , une épaisseur réduite de 4 pieds 6 pouces. Quoique le mur circulaire qui les soutient à différentes hauteurs nait que^ 3 pieds 3 pouces, et qu'il soit ouvert par douze grandes croisées de chacune 8 pieds 4 pouces de large; et malgré le tassement qui a eu lieu et les accidens qui se sont manifestés aux piliers , on ne s'est aperçu d'aucun effort latéral qui tende à écarter les parties de ce mur.

Quant à la position de la tour d'un dôme érigée sur des arcs et des pendentifs, soutenu en avant de ses points d'appuis; le principal effet qui en résulte, est une forte tendance à l'intérieur, occasionée par la majeure partie du poids du dôme, soutenu par les pendentifs, et transmise en partie sur les arcs et les faces intérieures des piliei^s.

Les pendentifs peuvent être considérés comme des portions d'une voûte sphérique, prenant sa naissance sur les faces intérieures des piliers. Le diamètre de cette voûte étant plus grand que celui de la tour du dôme , elle se trouve tronquée verticalement par les faces des quatre grandes arcades formant l'ouverture des nefs, et horizontalement par l'intérieur de la tour circulaire du dôme, de manière que les parties restantes, c'est-à-dire les pendentifs , se trouvent retenus chacun de trois côtés, savoir, de droite et de gauche par les arcades, et dans le haut par l'assise formant cercle qui réunit tout l'ensemble; d'où il résulte que ces pendentifs ne peuvent céder à la charge qu'ils soutiennent , sans agir contre le flanc des arcades sur lesquelles ils s'appuient. Mais l'assise formant cercle qui réunit les pendentifs s'y oppose, et l'obstacle qu'elle y met est d'autant plus grand, que cet effet ne peut avoir lieu sans qu'il se fiisse un écrasement, non-seulement dans les pierres composant cette

^ Eitraît du Mémoire historique sur le dame de Téglise Sainte-Genevière , alors Panthéon Français, divisé en quatre parties : la 1'*. contient la description de ce monument ; la 2*. le détail historique et raisonné de sa construction ; dans la 3*. partie on eiamine si tes murs et points d'appui du dôme ont les dimensions nécessaires pour résister aux efforts qu'ils ont à soutenir ; la 4«. partie contient le détail exact de tous les accidens qui se sont manifestés aux piliers du ddme , les causes de ces accidens , et les divers moyens proposés pour les réparer. Par J. Rondelet , architecte , ex -commissaire des travaux publics . et membre do conseil des bàtimens civils. — Paris, Dupont, imprimeur-libraire, an Y (1797).

assise, mais encore dans toutes les parties de la tour qui ne se trouvent pas interrompues par des vides.

La partie de la tour portée par les arcades serait capable d'occasioner un effort de poussée contre les points d'appui qui les soutiennent , mais cet effort se trouve balancé et même détruit par celui des pendentifs qui pressent les reins de ces arcades avec une force supérieure. On a cherché à augmenter cet effet autant qvC-il était possible de le faire, en disposant les voussoirs qui terminent les assises des pendentifs du dôme, de manière qu'ils se relient avec ceux des arcades.

Pour parvenir à connaître la valeur de ces efforts , on a considéré un quart de la tour avec le pilier qui y répond , et on a reconnu qu'en supposant ce quart isolé il ne pourrait pas se soutenir seul, quoique d'une seule pièce, parce que la verticale, qui passe par le centre de gravité de sa masse, tombe hors de la face intérieure des piliers, à 5 pieds 6 pouces 5 lignes en avant des pilastres, de sorte qu'il aurait besoin de l'aide d'une puissance quelconque qui renvoyât le fardeau sur le pilier : or, il est évident que tout l'effort qui résulterait de ce renvoi tomberait sur la face intérieure des piliers et sur les colonnes engagées qui sou^ tiennent les grandes arcades formant l'ouverture des ne&. Si l'on tire une ligne GH, Planche CLXXXXYI, parallèle à cette face , qui passe par PI. !9G. le centre de ces colonnes, elle indiquera l'axe ou le milieu de la plus forte impression ; c'est ce qui se trouve confirmé par l'expérience , puisque les pilastres et les colonnes qui y tiennent sont les plus maltraités.

Le poids de ce quart de dôme jusqu'au-dessous des architraves des piliers est de 7,449,980, son centre de gravité se trouve à 6 pieds i pouces 8 lignes de l'axe CH; d'où il résulte que l'effort avec lequel il tend à culbuter est de 45,597,075. Cet effort se distribuant sur une superficie d'environ 80 pieds, donne pour chacun 569,963.

En appliquant le poids moyen que porterait un pied supei^ciel de la pierre du fond de Bagneux, aux 80 pieds de superficie de chaque pilier du dôme (sur lesquels nous avons dit que se faisait la plus forte impression de la charge évaluée à 45,597,075), il se trouverait qu'elle est les J de celle qui serait capable d'écraser cette superficie; mais comme les pierres ne portent pas partout également, à cause des démaigrissemens et des flaches, on peut dire que cette partie ne serait pas suffisante pour soutenir cet effort, si elle n'était fortifiée par le surplus du pilier auquel elle tient

Pour connaître la valeur de la résistance qu^oppose la partiejnfërieure de la tour à l'effort précédent, il faut diviser 45,597,075 par 35 pieds, exprimant la hauteur moyenne du bras du levier, à Textrémité duquel cette résistance agit, on trouvera qu'elle se réduit à 1 ,833,883; et comme elle se distribue sur une supei^cie qui a plus de 6U0 pieds , on peut dire, sans rien hasarder, qu'elle est cent fois au-dessus de l'effort

Quant à l'effort nécessaire pour empêcher le quart du dôme de tomber en dedans, on le trouvera en multipliant son poids total, qui est de 8,347,304, par la distance de la direction du centre de gravité de cette masse, à la ligne qui passe par les points d'appuis, autour desquels il tournerait. Ces points étant les angles saillans des bases des pilastres plies, cette distance se trouve de 3 pieds , ce qui donne pour le produit • de cet effort 34,741,913. La puissance horizontale qui soutient cet effort, étant placée à la hauteur du centre de gravité qui se trouve à 98 pieds 6 pouces au-dessus des points d'appui, elle se réduira à 351,187.

Enfin, pour montrer que cet effort n'est pas assez considérable pour renverser le pilier avec la charge qu'il soutient, il suffit de dire qu'il faudrait, pour cela, un effort égal à 8,347,304, multiplié par 18 7, et divisé par 98 7 qui donne 1,538,053 ; c'est-à-dire , six fois plus grand que celui de la puissance, soutenant la bascule du poids du dôme.

11 nous reste à connaître l'effort de la poussée occasionée par le poids, dont chaque arcade est chargée, lequel est de 1,789,636; pour cela, il faut d'abord tirer sur la coupe prise sur le milieu des arcs, PI. 137* Figure 1", Planche CLS;XXXVn, les lignes 6/,/c, la sécante/o,- cela fait, on trouvera le rayon de la circonférence moyenne bkg^ de 31 pieds ; kl de 14 pieds *, et ik de 6 pieds f ; l'arc A:^ de 16 pieds 7, et le bras de levier de la poussée de 67 pieds 6 pouces.

A cause de l'isolement des parties de la tour placées entre deux croi* sées, qui transmettent ce poids sur les arcades, on le prendra tout en tier pour celui qui cause la poussée, quoique ce dernier soit inférieur, ce qui donne pour l'effet de la poussée, en ne considérant qu'une demiarcade ,

et pour les deux demi-arcades de droite et de gauche du pilier 1 08,773,064 , Considérant ensuite que les directions de ces efforts, qui forment un angle droit, se détruisent en partie, et que leur résultat est égal à la

diagonale d'un carré dont chacun de ces efforts formerait les côtés contigus; c'est-à-dire» que le résultat doit être à 1 08,773,064 » comme 7 est à 10, ce qui donne 76,140,445.

Il fiiut ajouter à cet effort celui qu'il faudrait pour tenir le quart du dôme en équilibre, que nous avons trouvé de 24,741,913, ce qui donne pour la somme totale des efforts qui tendent à renverser le pied* droit 1 00,863,357 ; mais comme sa résistance est égale à 8,347,304x1 8 \, qui donne 150^513,398, il en résulte que la somme de tous les efforts qui tendent à écarter les pieds^raits du dôme, n'est que les deux tiers de la résistance qu'iU peuvent leur opposer avec leur charge, aussi ne remarque-t-oB dans cet édifice aucun effet qui puiase indiquer un effort à l'extérieur. Il laut de plus observer que dans tous les calculs qui viennent d'être faits i on n'a point compris les arcs -bou tans qui augmentent de beaucoup cette résistance^

Péristjrle extérieur du dôme ^.

La colonnade extérieure et les voûtes qui y tiennent avec les grands

arcs et les pendentifs qui la soutiennent forment ensemble un poids

de 16,336,334, ce qui fait pour la charge de chacun des quatre angles

rentrans des murs extérieurs sur lesquels retombe ce poids 4,056,556.

Pour trouver la poussée de chaque partie de ces grands arcs, et des

pendentifs qui transmettent ce poids sur les murs extérieurs ^ il faut

les multiplier par la demi-corde, e^ diviser le produit par la demi-

4 056 556x47 -^ circonfiÎMnce, eeqm donawa -^ — '— ^ = 3,173,648 pour la

somme des efforts qui se réunissent à angle droit; mais comme ils se composent en une seule force sur la diagonale, on aura la valeur de leur effort en multipliant cette somme par 7, et divisant le produit par 40, ce qui donnera 3,330,853. Cette force ou poussée agissant à l'extrémité d'un levier de 53 pieds, produit un effort de If 5,485,356; mais la résistance de l'angle , formant pan coupé à re:i(ftérieur, jointe à celles des murs qui y aboutissent, étant de 389,075,800, se trouve un peu moins du double : cependant les pans coupés ont un peu fléchi vei'S la naissance des grands arcs;maû il fout observer que y dans ce calcul^ on suppose que toutes les parties résistantes nefotment qu'une seule

^ Voyes les Notes additionnelles sur les Planches.

pièce f tandis qu^eUes sont réellement composées dune infinité de mor^ ceaux.