CHAPITRE VL

DU SERVICE EN ROUTE, SIMPLE OU MIXTE (ISOLÉ OU COMBINÉ AVEC UN SERVICE D'EXTRÉMITÉ).

64. Les conduites ne sont pas uniquement destinées à porter Teau à leur extrémité. Le plus ordinairement môme, de nombreux branchements la distribuent à droite et à gauche à des niveaux différents. Rigoureusement parlant, une conduite avec ses branchements ne forme qu'une conduite complexe, faisant un service d'extrémité, cas que, nous avons traité dans le chapitre précédent ; mais, à ce point de vue général, il n'est pas facile de découvrir les propriétés du système. Tandis qu'en considérant une conduite unique percée de nombreux orifices dans son parcours, cas qui se présente dans toutes les distributions d'eau, on met de suite en évidence des propriétés importantes de ce mode d'alimentation.

66. Soit donc la conduite représentée par la figure 27, percée des ori-flces 1, 2, 3, 4;

Soient : gi, Ça, gs, q^ les débits de ces orifices;

/, l'y r les longueurs partielles de la conduite.

I^A ligne de charge XpqrsG se déterminera facilement. En effet, on aura : «l> = 5?(îi + 9i + 93 + 94)% bq^ap+^^{q^ + q^+q^)* cr = ap+bp+^{q^+q^Y.

Si le diamètre de la conduite est constant, il est facile de saisir le caractère principal du polygone qui représente la ligne de charge, c'est que chacun de ses côtés est, à partir du réservoir, de moins en moins incliné. Cela se conçoit parfaitement, car la perte de charge par mètre ou l'inclinaison de la ligne de charge est proportionnelle au carré du débit de la conduite. Or, le débit de chaque portion de conduite va sans cesse en diminuant depuis l'origine jusqu'à l'extrémité.

Si le diamètre de la conduite est variable, l'inclinaison de chacun des côtés n'est plus assujettie à d'autre condition que d'avoir lieu dans le sens

de la vitesse de Teau dans la conduite* De sorte qu'on peut toujours déterminer le diamètre variable de manière à avoir une ligne de charge donnée, pourvu qu'elle satisfasse h cette condition et à celle de passer par le point A. Si on voulait, par exemple, que la ligne de charge fût la ligne droite AG, comme dans le cas du débit à l'extrémité, les quantités ap'y bq\... seraient connues, on aurait :

d'où (i'=iy^(g, + g,+g5+g4r;

on aurait de même pour le diamètre suivant :

ainsi de suite.

On voit que la détermination du diamètre, lorsqu'on connaît le débit et la charge, ne présente aucune difficulté* Or, c'est là le problème pratique de toute distribution d'eau, qui consiste à conduire à un point donné de hauteur et de position une quantité d'eau déterminée, avec le moins de dépense possible.

Cependant, dans la pratique il règne une certaine incertitude sur les quantités d'eau qui pourront être distribuées au moyen des conduites. Oïl désire qu'elles puissent satisfaire, non-seulement aux besoins immédiats, mais au besoin d'un avenir prochain. Or, ces besoins croissent d'une manière inconnue, il est vrai, mais bssez rapide; presque toutes les anciennes distributions, après avoir été surabondantes, deviennent insuffisantes; cela tient à plusieurs causes. Lorsqu'on fait une distribution d'eau dans une ville, elle ne se substitue pas immédiatement à tous les moyens antérieurs d'alimentation, la puissance de l'habitude, les dépenses faites dans chaque maison pour avoir des puits ou des pompes, s'opposent à ce que le propriétaire en fasse de nouvelles pour se brancher sur là conduite publique qui passe devant sa maison. Mais, avec le temps, ces considératioas disparaissent, la pompe et le puits ont besoin d'être réparés, on veut que sa maison soit comme celle du voisin, de nouvelles maisons se bâtis-^ sent, etc., etc., de sorte que les besoins à satisfaire au bout de quelques années ne sont plus ceux qtii existaient à l'origine. Ijors donc que l'ingé-

84 TRAITÉ DE LA GONDCITE ET DE LA DISTRIBLTIOiN DES EAUX.

DÎeur projette une conduite dans le quartier d*une ville, il doit supposer qu'elle aura à débiter pour le service particulier une certaine quantité d'eau q par mètre courant; quantité d'ailleurs variable suivant la densité de la population et suivant ses besoins.

66. Il est donc essentiel de se rendre compte des phénomènes du mouvement de Teau dans le système de distribution uniforme, qui est pour ainsi dire le type de tous les autres systèmes.

Soit 9=r ^e débit par mètre courant de la conduite représentée par la fig. 28, celui d'une lonqueur x, comptée à partir de 0, orifice extrême de la conduite, sera qx=z^x; et par conséquent la perte de charge djf, pour une longueur dx de la conduite,

en intégrant cette équation depuis 0 jusqu'à l'extrémité de la conduite» on aura, en appelant H la charge, sur l'orifice extrême :

En comparant cette perte de charge avec celle qui a lieu lorsque le débit Q est situé à l'extrémité L de la conduite, on en tire les conséquences suivantes :

Lorsque le débit d'une conduite, au lieu de se faire à l'extrémité, est uniformément distribué le long de son parcours,

l"" La perte de charge est trois fois moins forte, à égalité de débit, de diamètre et de longueur;

2^ Le débit est »^ ou 1,73 fois plus fort, à égalité de charge, de diamètre et de longueur;

3* Le diamètre n'est que le r^, les 0,80, ou les ^ dece qu'il devrait être

pour un débit égal à l'extrémité de la conduite. Nous tirerons plus tard de ces principes plusieurs conséquences pratiques , mais auparavant il est bon de voir ce que devient la ligne de charge.

Si au lieu d'intégrer l'équation (19) entre 0 et L, on intègre entre 0 et x^ en appelant y l'ordonnée de la ligne des pressions, on aura :

DU SERVICE EN ROUTE , SUiPLE OU HIXTE. 8S

ou y=^uy

c'est une parabole du 3"* degré, branche positive. Cette espèce de para-* bole diffère de celle du second degré, qui passerait par le même point B, en ce qu'elle est plus aplatie sur la tangente à l'origine et lui est extérieure,

la surface du segment parabolique étant les- du rectangle xy au lieu des

=. Le tracé de cette courbe n'offre aucune difficulté. Si l'on faisait a; =3 L,

on aurait y = rH, x=jLy t/=— H, etc. On peut d'ailleurs se servir de

l'équation ^ =:-^, qui donnera en chaque point l'inclinaison de la tangente;

ainsi pour l'inclinaison à l'origine de l'orifice, on a ^= y- , qui serait l'inclinaison de la ligne de charge dans le cas où le débit aurait lieu à l'extrémité.

La forme de cette courbe se trouve expliquée par ce que nous avons dit tout à l'heure au sujet de l'inclinaison des côtés du polygone ; elle tient à ce que, près du réservoir, la vitesse de Teau est très-grande et est presque nulle à Textrémité. On a dû remarquer une certaine analogie entre les lignes de charge et les polygones funiculaires chargés de poids, entre la parabole de charge, dans le cas de la distribution uniforme, et la parabole des chaînes des ponts suspendus. Dans ce dernier cas, on a une parabole du deuxième degré, parce que la tension est proportionnelle à la première puissance du poids, tandis que, pour les tuyaux, les pertes de charge étant proportionnelles à la deuxième puissance du débit, le degré de la parabole se trouve augmenté d'une unité. Cette analogie de deux théories qui, au premier aspect, n'ont rien de commun, se continue beaucoup plus loin, comme on va le voir dans la suite de ce chapitre.

67. Si, outre le produit Q, débité uniformément le long de la conduite, il y a encore à l'extrémité un débit P, ce cas rentre dans le précédent, en imaginant que ce produit P soit débité par un prolongement x de la conduite égal à / '. Alors, tout se passe comme dans le cas précédent; on obtient la valeur de H sur le sommet de la courbe (fig. 29) en remplaçant, dans l'équation (20), Q par Q + P, et L par / + /?; il vient ainsi :

m TRAITÉ DE LA CONDUITE ET DE LA DISTRIBUTION DES EAUX.

*'==;y'nfmr-»

ï'^ QD»

et pour réquation de la courbe rapportée à l'extrémité de son prolongement :

équation conforme à (21), ce qui doit être, puisque Fordonnée y de la courbe n'est fonction que du débit par mètre ; il faut observer seulement que^ dans cette dernière équation, l exprime la longueur réelle de la conduite^ et non la distance du sommet de la courbe au réservoir. On arriverait, du reste, directement à cette équation , en partant de la valeur générale de dtfy que nous avons donnée plus haut.

La perte de charge fe, à l'extrémité de la conduite, sera donnée par la

valeur de y correspondant à a;= / ^ retranché de H ; Otl aura dohtf :

ou /i=g^(Q*+3QP+3P), (22)

oii enfin fe=|lQ>+g.p.+^QP; (23)

c'est-à-dire que la perte de charge, pour un tuyau qui débite Q en route et P à son extrémité, est égale à la somme des pertes de charge dues à ces . deux causes si elles étaient isolées, augmentée de la perte de charge due il un débit d'extrémité KQP, moyenne pi'oportionnelle entre le débit en route et le débit P à l'extrémité.

68. Par la formule (22) on peut donc dcteiminer le diamètrô, la perte de charge ou les débits, absolument comme dans le cas du débit à Fextrémité ; mais, pour la pratique, on peut lui substituer une formule beaucoup plus commode, surtout lorsque ce sont les débits qui sont inconnus.

Soit R=[/^--r- la quantité d'eau que le tuyau peut débiter à son extrémité, avec la charge /i, quand il ne fait pas de service en route, nous aurons :

3R* = Q*+3QPh-3P^ (24)

d'où p=|/r*-,^q*-|q.

DU SËRVlCii: EN ROUTIi:, SIMPLE OU MIXTE. 87

Si Û est petit par rapport à R, od a :

c^est-à-dire que le débit de rextrémité perd la moitié du débit en route. Si Ton rapproche ce résultat de ce que nous avons dit plus haut au sujet de l'efFet du débit d'un orifice intermédiaire, qui enlève au débit d'extrémité une quantité proportionnelle à sa distance à l'origine, on voit que le débit en route correspond à un débit d'orifice situé au milieu de la conduite. Mais cette assimilation ne peut être faite que lorsque Q est très-petit ; car si l'on fait débiter en route une quantité Q=RI^, on a P=0, tandis que, pour avoir le même résultat avec un orifice situé à moitié, on devait avoir Q = R k^. Nous savions déjà, du reste, que pour Q = R 1^, le débit à l'extrémité est nul.

De la formule (24) on tire :

R>P+^QouP+0,50Q, R<P4-|^^Q ou P+ 0,576 Q.

Dans les applications numériques, on peut donc substituer à l'équation (22) la formule approchée,

'^=Sïy(P+»^55Q)S (25)

c'est-à-dire que le débit en route peut être ajouté au débit d'extrémité, en ne le comptant que pour un peu plus de la moitié de sa valeur réelle. Le calcul se fait alors aussi simplement que lorsqu'il ne s'agit que d'un débit d'extrémité ; car 1^ quantité Q + 0,55P se comporte comme la quantité Q dans la formule générale relative à ce débit.

Dans les applications numériques, suivant que P, Q ou R seront coQpps, on aura :

Quoique par la formule (25) le débit en route soit ramené au cas du débit d'extrémité, il ne faudrait pas en conclure que les formules du diamètre moyen relatives à ce dernier débit sont applicables au service en rpute. Ainsi la conduite à diamètre variable que représente la fig. 19

88 TRAITÉ DE LA œNDUITE ET DE LA DISTRIBUTION DES EAUX.

ne saurait être remplacée, en vertu des formules (13), (14), (15), par une conduite à diamètre constant produisant la même perte de charge à Textrémitc. En effet, chaque portion de conduite a alors un débit différent, et il suffirait de changer sa position relative pour produire un changement dans la perte de charge finale. Il y a toujours cependant une conduite à diamètre constant qui remplit celte condition, mais seulement pour des débits partiels et un débit total déterminé.

Le calcul n'offre d'ailleurs d'autre difficulté que sa longueur. On calculerait d'abord la ligne de charge pour chaque tronçon de conduite d'après les formules précédentes, puisque chacun de ces tronçons rentrerait nécessairement dans le cas général d'un débit en route et d'un débit à l'extrémité, puis, ayant trouvé la perte de charge totale H, on aurait :

équation qui déterminerait dj comme dans le cas du débit à l'extrémité. Ce diamètre moyen donnerait la même perte de charge sur l'orifice extrême ; mais la branche de parabole qui serait la ligne de charge de cette conduite moyenne ne serait pas celle de la conduite à diamètre variable, et de plus le diamètre moyen devrait changer avec le débit ; d'où il suit que la recherche de ce diamètre, dans le cas du service en route, ne peut guère trouver d application dans la pratique.

Nous savons donc déterminer le diamètre d'une conduite de manière à ce qu'elle puisse distribuer en route une quantité d'eau donnée ; son diamètre n'est plus que les 0,80 de ce qu'il est pour le même débit à l'extrémité. Mais cela ne suffit pas, il faut que la ligne de charge passe au-dessus de tous les orifices à desservir; or, cette dernière condition peut entraîner l'ingénieur à faire varier le diamètre de manière à avoir un polygone tout à fait différent de celui qui serait donné par la parabole du troisième degré. Il est donc utile de chercher la relation qui existe entre la ligne de charge et la variation du diamètre dans la conduite.

69. Si la ligne de charge est donnée par son équation y=F(x), la courbe des diamètres le sera par :

équation dans laquelle on mettra pour^ sa valeur tirée de y=¥x, et

OÙ d sera considéré comme variable; si, au contraire, la courbe des diamètres est donnée par son équation d = f{x) , la ligne de charge se déduira de l'intégration de Téquation (19), après y avoir mis pour d sa valeur en x. Ce problème ne présente donc aucune difficulté.

Si, par exemple, nous prenons pour ligne de charge une parabole du degré m, dont l'équation sera :

y=Hg, (27)

nous obtiendrons celle de la courbe des diamètres en différentiant la valeur de y, et écrivant :

ou d^=t'^.' (28)

Si l'on appelle : D le diamètre pour x = L, c'est-à-dire à l'origine de la conduite , ^ le diamètre constant qui donne le même débit et la

même perte de charge à l'extrémité =[/^^^; i le diamètre constant du tuyau qui coûterait la même

somme que la conduite à diamètre variable = / ^dxi

on tirera facilement de l'équation précédente :

et l'équation de la courbe des diamètres pourra se mettre sous la forme :

sim=:3, ï^'=|^^ d=2D=ù;

résultats connus, puisque nous avons fait voir que le diamètre constant donne pour ligne de charge une parabole du troisième degré. Réciproquement rf = D, donnerait m = 3, par l'intégration de l'équation (19). 70. Le diamètre moyen i est, comme nous l'avons dit, proportionnel à

la dépense ; si l'on veut qu'elle soit un minimum, on différentiera l'équation (29) par rapport à m, et on trouvera m = -, ce qui donne :

pour ligne de charge î/ = H|^j , (31)

pour ligne des diamètres. . . rf = DiH =[-1 A f^j , (32)

pour diamètre à l'extrémité. . I^= (j A = 0,944 A; (33)

pour diamètre moyen cJ=-D=0,708A *. (34)

Le diamètre de la conduite à débit uniforme doit donc suivre les ordonnées d'une parabole du troisième degré, pour donner le minimum de dépense. Nous avons déjà indiqué les caractères de cette courbe qui est aussi la ligne de charge dans le diamètre uniforme; nous avons vu qu'elle est très-aplatie à son sommet, c'est-à-dire que, le diamètre à l'extrémité étant donné, il n est réduit à moins de moitié que sur un 1/8 de la conduite (fig. 30). Ce tuyau est d'ailleurs plus gros à son extrémité dans le rapport de 0,94 à 0,80 que celui à diamètre uniforme. Nous reviendrons tout à l'heure sur les conséquences pratiques à déduire de ces résultats.

Si nous considérons Téquation de la ligne de charge (31), nous voyons

* Ces équations sont plus générales qu'il ne serait permis de le supposer d'après Thypothèse dont on est parti , c'est-à-dire que la ligne de charge est une parabole du degré m. En considérant cette courbe comme complètement indéterminée, la dépense est représentée par :

\t4dx ;

le problème à résoudre est de trouver la fonction d en a?, de manière que cette intégrale soit un minimum avec la condition :

or, on trouve, par les règles du calcul des variations :

La parabole du troisième degré est donc de toutes les courbes du diamètre celle qui donne le minimom de dépense.

W SERYICË EN HOUTE, SIMPLE OU MIXTE. 9t

que c'est une parabole du degré -, par conséquent très- voisine de la

droite AO , qui représente la perte de charge dans le cas du débit d'extrémité (fig. 30).

71. Si l'on voulait que la perle de charge fût cette ligne elle-même, il suffirait de faire m = 1 dans les équations (30) et (29), on aurait :

la i t

La parabole des diamètres, qui était du troisième degré dans le cas du

minimum des dépenses, devient du degré ^ dans le cas de la perte de

charge uniforme. Le diamètre D à l'origine de la conduite est précisé- ' ment égal à ce qu'il doit être pour donner tout le débit à l'extrémité. Quant au diamètre moyen, il ne dépasse pas sensiblement celui qui donne le minimum de dépense, puisqu'on a seulement 0,714A au lieu de 0,708 à.

Cela doit être, puisque - ne diffère pas beaucoup de 3.

Si Ton faisait décroître le diamètre de la conduite plus rapidement que les

ordonnées de la parabole du degré ^, par exemple, suivant celles de la pa-

rabole du deuxième degré, ce qui reviendrait à poser 33;;^= 2, ou m = -, Téquation de la courbe des pressions (27) deviendrait :

c'est une parabole du second degré, ayant comme celle des diamètres , son axe horizontal. On aurait dans ce cas :

Cette disposition est un peu plus dispendieuse que la précédente, mais elle Test moins encore que celle du diamètre uniforme et elle donne beaucoup plus de charge, surtout vers le milieu de la conduite.

Si l'on donnait au tuyau une forme conique, de manière que les diamètres des deux extrémités fussent D et rf', on trouterait, en suivant te même

méthode de calcul ' et en appelant n le rapport - :

* L'équation de la ligne des diamètres est dans ce cas :

"- i2d"D' ' "-(-ïîi?-)^' ^-(-rJl-ii^)^'

et en cherchant la valeur de n qui donne pour S et pour la dépense un minimum, on aurait :

d'où Ton tirerait: D=1,02A, d'=0,42A, (Î=0,72A.

On voit qu'on peut obtenir avec un tuyau conique un diamètre moyen qui ne diffère pas sensiblement de celui du minimum de dépense. Quant à la courbe de charge horizontale à l'origine 0, elle a un point d'inflexion à la distance a; = 4 L ^^ j , ou jj = 0,234 dans le cas du mini-

mum de dépense; en A son inclinaison est -j^y c'est-à-dire que dans le cas

du minimum de dépense, elle se confond à peu près avec la ligne AO; plus loin elle aurait une asymptote horizontale; ce qui se conçoit parfaitement, puisque le diamètre du tuyau irait en augmentant indéfiniment.

Nous ne pousserons pas plus loin l'étude de l'influence de la variation du diamètre sur les dépenses d'établissement des conduites et sur les lignes de charge. Nous avons seulement voulu faire voir que le principal résultat de cette variation était d'élever ou d'abaisser la ligne de charge, de manière qu'on pouvait ainsi desservir des orifices ermédia ires plus ou moins élevés, avec des dépenses sensiblement égales.

72. En résumé, lorsqu'on a un produit Q à débiter uniformément le long d'une conduite avec une perte de charge H, en appelant A le diamètre

|/^ 2^ nécessaire pour obtenir ce produit à l'extrémité, les différents

systèmes de conduite auxquels on peut s'arrêter donnent les résultats suivants :

on en déduit, au moyen de Téquation (19) :

dyz

Maintenant, si Ton intègre, en déterminant la constante de façon que yrzo corresponde à x=zo^ et que dans Tintégr^ on fasse xz:;l, 2/=U, on obtient la première des trois équations ci-dessus.

Dlî SERVICE EN ROUTE, SIMPLE OU MIXTE. 95

Le diamètre constant qui satisfait à cette condition est 0,80 A; par conséquent, le diamètre moyen, proportionnel à la dépense, est 0,80 A

Dans ce cas, la courbe des pressions est une parabole du troisième degré très-aplatie à son sommet; la perte de charge se fait presque tout entière près du réservoir.

Si Ton a recours à une variation du diamètre, il faut, pour obtenir le minimum de dépense, le faire décroître suivant les ordonnées d'une parabole du troisième degré. Le diamètre, à l'origine de la conduite, est alors 0'»,944 A, et le diamètre moyen 0,708 A

Dans ce cas, la courbe des pressions est une parabole du degré -, qui se

rapproche beaucoup de la ligne droite qui exprime la perte de charge uniforme.

La conduite à diamètre variable qui donne cette ligne droite pour ligne de charge se trouve déterminée par une parabole du degré -. Le plus grand

diamètre est A , et le diamètre moyen 0,714 A

Dans un tuyau conique, le minimum de dépense est donné par \b diamètre 1°»,02 A à Torigine et 0",42 A à l'extrémité ; le diamètre moyen proportionnel à la dépense moyenne est alors 0,72 A

La courbe des pressions est horizontale au-dessus du petit diamètre et a une asymptote horizontale , en supposant le cône prolongé du côté du grand diamètre, de sorte qu'il y a un point d'inflexion intermédiaire.

Si Ton fait varier le diamètre comme les ordonnées d'une parabole du deuxième degré, on a pour diamètre à l'origine 1",15 A, et pour diamètre moyen 0,77 A

Dans ce cas , la courbe des pressions est une parabole du deuxième degré, concave vers le tuy^ et, par conséquent, bien au-dessus de la ligne qui exprime la perte de charge uniforme.*

Il n'est peut-être pas inutile de faire observer que cette proportion entre les dépenses des divers systèmes n'est vraie que pour le cas où la conduite débite en route (Tune manière uniforme tout ce qu'elle tire du réservoir.

73. S'il s'agissait d'une conduite devant débiter Q en route et P à son extrémité , ce qui est le cas ordinaire d'application, le diamètre le plus économicfue serait encore donné par la parabole du troisième degré ; mais si le produit P à rextrémilé était considérable, on n'utiliserait que la partie de cette parabole éloignée de l'origine, c'est-à-dire celle dont le diamètre est à peu près constant. Dans ce cas^ l'avantage qu'on peut

94 TRAITÉ DE LA GONDUlTIi: £T DE LA DiSTRlfiUTlON DES EAUX.

trouver à faire varier le diamètre est donc toujours au-dessous de celui que nous venons d'indiquer plus haut \

Les calculs qui précèdent ont beaucoup moins pour but de fournir des formules d'un usage pratique que d'indiquer d'une manière générale les avantages et les inconvénients des divers systèmes qu'on pourrait adopter, et de faire voir que, même au point de vue théorique, ou ne saurait espérer d'économie bien sensible au moyen de dispositions compliquées. Ajoutons que dans la pratique, par des motifs que nous ferons connaître plus loin, on ne peut faire varier les diamètres que d'une manière discontinue et suivant un système arrêté d'avance. On serait donc forcément obligé de substituer à la courbe des diamètres un polygone formé par la série des tuyaux admis dans la distribution. Ainsi, les tuyaux de O^'^iO de diamètre seraient suivis par une certaine longueur de conduite ou 0"',35, laquelle serait elle-même continuée par des tuyaux de 0"',30, etc., etc.; de plus, entre chaque espèce de tuyaux, il en faudrait un spécial pour raccord; il serait donc impossible de réaliser pratiquement l'économie de 1/8 qui résulte du tableau précédent.

Etant donnée une série de tuyaux, il serait facile de déterminer, par des calculs analogues à ceux que nous venons de faire, les longueurs à employer de chacun d'eux pour avoir le minimum de dépense; mais nous croyons que lorsqu'on voudra dans la pratique faire décroître les

* On peat démontrer ce résultat par le calcul.

Soit l la longueur de la conduite; pour avoir la courbe dei diamètres , il sufGra de faire

L=/+l-g dans Téquation (32), (P^z-^œ^ÛQ sorte qu'en faisant dans cette équation L=/ -g ,

on aura pour le petit diamètre I^—Dr/^p:^, D étant toujours le gros diamètre. On voit que

si P est grand par rapport à Q, D' ne diflèrc pas beaucoup de D, La différence du diamètre moyen avec le diamètre uniforme serait encore plus petite. Rien ne serait si facile, du reste, que de déterminer D : il suffirait de substituer, dans les formules (31), (32), (33), (34), aux quantités L

et Q, ^4-/^ et Q+P, de déterminer la perte de charge H à l'extrémité. On arriverait ainsi à :

'>-î^-=riM(«+P)'-^KS'î'

valeur qui présente beaucoup d'analogie avec celle du diamètre uniforme (voir 22). Mais il ne peut Mrc que très-rarement avantageux de recourir à celte formule , puisque la variation du diamètre ne saurait amener qu'une économie insignifiante dans rétablissement d'une conduite placée dans ces conditions.

diamètres, les courbes que nous venons de donner suffiront pour servir de type au système de décroissement.

Le diamètre constant a sur le diamètre variable un avantage dont il faut tenir compte. Si la fonction principale d'une conduite est de distribuer de l'eau dans son parcours, il peut arriver qu'on lui demande exceptionnellement un service d'extrémité, comme on le verra dans le chapitre suivant. Or, la conduite à diamètre variable, qui se termine par des tuyaux de plus en plus petits, ne peut faire qu'un service d'extrémité complètement insignifiant, si, comme l'indiquerait la loi du minimum de dépense, les derniers tuyaux sont très-petits. Pour une conduite conique ayant à ses extrémités des diamètres D et d^ le débit à l'extrémité serait

Soit q = y/ le produit de la conduite dans le cas où elle aurait partout son plus petit diamètre , cette expression devient :

""[/^kIn)'

Supposons que, pour avoir le minimum de dépense, on ait fait le rapport -=0,40, on aura Q = 2,50ç. Or, si Ton avait un diamètre uniforme, il faudrait, d'après ce que nous avons vu plus haut, qu'il fût do 2cf j le produit serait donc de Q = 5,60 y, c'est-à-dire de plus du doublo de celui du tuyau conique.

Ce que nous venons de dire s'applique au cas d'une distribution uniforme; il est clair que si le débit devait être considérable à l'origine el presque nul à l'extrémité, cela pourrait parfaitement motiver une diminution graduelle du diamètre^' mais, comme nous l'avons déjà dit, le cas d*une distribution uniforme est celui qu'on rencontre le plus fréquemm ent, celui qui représente le mieux, sinon la distribution actuelle, du moins la distribution future ; c'est, pour ainsi dire, le type auquel tous les projets doivent se rattacher.

On remarquera, du reste, que les formules que nous avons données dans ce chapitre résolvent, d'une manière aussi générale que possible, le problème de la détermination du diamètre d'une conduite qui doit faire en route et à l'extrémité un i^rvice quelconque.

Rien n'empêche, en effet, de diviser la conduite en plusieurs parties dans lesquelles elle fera, avec une perte de charge connue, un service en route uniforme et un service d'extrémité, et alors on déterminera le diamètre de chacune de ces portions de conduite, soit par la formule exacte (22), soit par la formule approchée (25).

74. Dans les distributions d'eau, les orifices ne sont pas desservis directement par les conduites maîtresses, mais par l'intermédiaire de branchements quelquefois fort longs. Il est clair qu'il faut tenir compte de la perte de charge qui a lieu dans ces branchements. Alors les diamètres de la conduite et du branchement se trouvent indéterminés. Si, par exemple, la perte de charge depuis l'origine de la conduite jusqu'à l'extrémité du branchement doit être de 8 mètres, on peut prendre une perte de charge quelconque h pour la conduite principale, et il en résultera une perte de charge 8 — h pour le branchement. A chaque valeur de h correspondront un diamètre D pour la conduite principale, et un diamètre D' pour le branchement. Le système de perte de charge qui donnera le minimum de dépense sera donné par le minimum de l'expression

/D + fl)',

avec la condition, h+1i = H.

Soient : P, Q les quantités d'eau débitées par la conduite principale, à son extrémité et en route; /*(P, Q) la fonction de ces quantités qui détermine la perte de charge, exactement par l'équation (22), ou approximativement par l'équation (25) ; PS Q? AP'' Q') ï^s quantités analogues pour le branchement. En mettant dans l'expression de la dépense, pour D et D', leurs valeurs :

et les différentiant par rapport à h et h\ il vient :

Cette équation, combinée avec fe+/i'=H, déterminera h et h\ Cela ne présente aucune difficulté, et nous ne nous arrêterions pas davantage sur ce sujet, si l'on ne pouvait déduire de cette formule des règles simples et

importantes pour la pratique. Si, dans l'équation précédente, on remplace f(Py Q), /*'(?', Q') parleurs valeurs en D et D'; si, de plus, on remarque que ces fonctions sont proportionnelles soit à P-, soit à Q^, soit à (P-|-0,55Q)^, pour le service d'extrémité, pour le service en route et pour le service mixte,

on en conclura que le rapport '^' ^ ne différera jamais sensiblement de^, en considérant Q et Q' comme le débit total des conduites. On aura donc, en posant ^, perte de charge par mètre, = i :

Ces équations démontrent que les diamètres et les pertes de charge par mètre doivent être dans le rapport des racines cubiques des débits; que, par conséquent, quand le débit du branchement ne diffère pas beaucoup de celui de la conduite principale, les pertes de charge par mètre et les diamètres sont sensiblement égaux.

Supposons que Q= 2Q', on aura t= 1,26 i', D= 1 ,26 D'. Si la conduite principale avait un diamètre de 0"*,40, le branchement devrait avoir O^^jSS. Pour Q=8Q', on aurait D = 2D' ; pour Q = 27Q', D= 3D'.

Si l'on avait pris les pertes de charge par mètre égales sur le branchement et sur la conduite, on aurait eu :

et pour Q= 2Q', D=1,60D', au lieu de 1,26 D',

Q= 8Q',D=2,30D', aulieu de2,00D', Q=27Q', D = 3,74D', au lieu de 3,00 D'.

En comparant les équations (35) et (36), on voit que la condition dû minimum de dépense tend à égaliser les diamètres et à faire varier les pertes de charge. On en concevra facilement la raison, si l'on se rappelle ce que nous avons dit plus haut, au sujet de l'influence du diamètre sur la charge. On a vu (n** 49) que pour diminuer la perte de charge, il faut augmenter le diamètre d'une quantité proportionnelle, et qu'on a la relation :

c'est-à-dire qu'en augmentant le diamètre d'un 10*"% on diminue la charge

de moitié. Or, lorsque les tuyaux sont inégaux^ il en coûte nécessairement beaucoup moins d'augmenter proportionnellement le plu» petit.

Ainsi, supposons la longueur du branchement égale à celle de la conduite, admettons même perte de charge h sur l'un et sur l'autre, et qu'on soit arrivé à résoudre le problème avec une conduite de 0'",40 et un branchement de O'^jlO. Si l'on augmente le diamètre du branchement de

0",02, la perte de charge sur ce branchement deviendra hi^^j =0,40/i; et le diamètre de la conduite sera D =:— ^ — j=zO,36.

La dépense, qui était représentée par 10+40, ou 50 dans le premier système, le serait par 12+36, ou 48 dans le second.

7 S. Règle générale. — Quand les orifices de sujétion sont situés sur des branchements qui, ayant peu de débit, doivent avoir peu de diamètre, la perte de charge sur ces branchements doit toujours être sensiblement plus petite que sur la ligne maîtresse. Nous parlons ici des orifices de sujétion, car il faut distinguer avec soin ces orifices de tous les autres, dont le niveau est pour ainsi dire indiffèrent. Imaginons qu'on ait projeté sur un plan vertical, à leur hauteur réelle, tous les orifices qui doivent être alimentés par une conduite (fig. 31); si du réservoir supérieur, comme centre, nous faisons tourner Thorizontale BC, jusqu'à ce qu'elle rencontre un orifice m, ce sera un orifice de sujétion, à moins que les orifices antérieurs ne soient situés sur des branchements, cas que nous considérerons tout à l'heure. Si maintenant nous faisons tourner une horizontale autour de ce premier orifice de sujétion, elle en déterminera un second, etc., etc.; on formera ainsi un polygone BmnpF, au-dessus duquel devra se trouver la ligne de charge. Les lignes de charge des branchements de sujétion devant avoir des pentes plus faibles que celles des côtés de ce polygone, on pourra, comme approximation, en leur supposant la même inclinaison, re^ lever les projections verticales de leurs orifices des hauteurs qui résulteront de ces pentes, et voir si dans cette nouvelle position elles sont au-dessus du premier polygone de charge. Supposons, par exemple, que les orifices a, bf Cf se trouvant sur des branchements, il y ait lieu de les relever en a', b\ c', il est clair que les niveaux a', b' ne seront pas de nature à modifier le calcul des diamètres, mais le niveau b' déterminera une nouvelle ligne de charge hb'npF; ajoutons que si de B en b\ de b' en n, le diamètre e«t

DU SSRinCE E!f ftOUTE, SIMPLE OU MIXTE. «0

uniforme, la ligne de charge sera une courbe, ayant une légère flèche, et que par conséquent si quelque orifice se trouvait très-voisin de cette ligne, il serait bon de s'assurer par un calcul spécial que son service [)Ourra être fait par la conduite.

Nous traitons ici du cas général d'orifices disposés d'une manière quelconque, mais nous devons faire observer que dans la pratique les orifices de sujétion sautent au yeux, pour ainsi dire, et qu'on a rarement besoin de les chercher. La surface d'une ville ne présente jamais de saillies accideniclles et irrégulières, les maisons ont des hauteurs sensiblement égales, de sorte que les niveaux des orifices à desservir se distribuent suivant des lignes dont les ondulations générales sont connues.

104 TRAITÉ DE f.A CONDIITE ET DE LA DISTRIBUTION DES EALX.

les derniers orifices à desservir; nous le placerons donc à 5* au-dessous du premier. Supposons que la disposition des lieux soit telle qu'on puisse se permettre une perte de chaire de 15" sur le milieu de la conduite, nous aurons (38)

T^, ^ tO^L 1 0,000i X 4000

ce qui donne, d'après les tables, une valeur de D comprise entre 0",35 et 0-,36.

Ainsi, avec un réservoir d'extrémité, une conduite d'un diamètre de 0",36 suffit au même service que celle d'un diamètre de 0",59 sans réservoir ; on réaliserait donc sur la conduite une économie d'environ 23 fr. * par mètre courant, soit 25 fr. avec les robinets et autres pièces accessoires, c'est-à-dire de 100,000 fr. pour toute la longueur. Ajoutons que la pose d'une conduite de 0",59 exigerait peut-être la construction d'une galerie spéciale ou le dédoublement de la conduite, ce qui augmenterait énormément la dépense. Les circonstances locales peuvent être telles, au contraire, que la construction d'un réservoir soit facile et peu dispendieuse.

Le diamètre 0",36 donné par le calcul précédent ne serait une bonne solution de la question, qu'autant qu'il suffirait à Talimentation du réservoir d'extrémité. Il est donc indispensable de se rendre compte de ce qu'il perd et de ce qu'il gagne, dans les quatre périodes de la distribution supposée.

Première période de trois heures. — Ecoulement simultané des bornes, de la fontaine monumentale et des concessions , dépense de la conduite 1800**. Le réservoir perd, puisque nous avons H = 3^, les 0,46 de 1800*; mais comme cette période ne dure que 3 heures, ou 1/8 de jour, la perte

est de 0,46-2^'= 103%50.

Deuxième période de cinq heures. — Ecoulement simultané de la fontaine monumentale et des concessions, dépense de la conduite GOO"". Pour reconnaître ce que fait alors le réservoir, il faut déterminer la quantité

R=l/^-— , qui e>st celle que reçoit le réservoir, quand on ne perd rien en route.

* Nous avons déjà dît, n<* 54, que le prix des conduites en fonte est de iOO fr. environ par mètre de diamètre et par mètre courant.