CHAPITRE XL
DU MOUVEMENT VARIÉ DANS LES CONDUITES. - DES POMPES. — DES CHATEAUX D'EAU. DES RÉSERVOIRS D'AIR. - DES MACHINES A VAPEUR. SYSTÈME DE CORNV^TALL.
H5, Jusqu'à présent nous n'avons considéré que le mouvement uniforme de Feau dans les tuyaux , mouvement qui se produit en général trcs-promptement après le commencement de l'écoulement C'est, en effet, le seul à considérer dans l'étude d'une distribution ; mais pour les machines élévatoires, qui ont presque toutes des mouvements alternatifs, il est souvent nécessaire de se rendre compte des phénomènes du mouvement varié, qui se produit dans les premiers instants où la masse liquide commence à prendre de la vitesse.
Considérons une conduite qui fait communiquer deux réservoirs dont le niveau varie en raison de ce qu'ils perdent ou reçoivent (fig. 81), Appelons :
ç la différence de niveau des deux réservoirs, à l'origine du
mouvement; z cette diflPérence au bout du temps t; o la section de la conduite qui met les deux réservoirs en
communication; S sa longueur;
ù la section constante du premier réservoir; l sa hauteur variable;
Çl\ V les quantités analogues pour le second réservoir; u^ Vy u' les vitesses dans le premier réservoir, dans la conduite
et dans le second réservoir; s l'espace parcouru par une tranche d'eau de la conduite. Si l'on considère le mouvement d'une tranche élémentaire pwefo qui passe du premier réservoir dans le second, en tombant de x^ et dont la vitesse u devient u\ on aura :
2mvdt;=p«[2; — ^ 20^ J^^>
170 TRAITÉ DE LA œNDUlTE ET DK LA DISTRIBUTION DES EAUX.
et, d'après les notations ci-dessus :
^ ( û ludu 4- w Svdv + Q'Vudu') = pw U — ^^^^) ds. Mais on a :
posant m|-^+^)=«, il vient :
T(«+'5+''^)=t-W"'(ff'-à)-«> («)
Considérons 1^ le facteur S+/^+/'^ comme constant, soit parce que
les quantités / et /' sont très-petites, soit parce qu'elles n'éprouvent que de légères variations; 2"" les sections Q, et £2' comme assez grandes ou
assez peu différentes pour qu'on puisse négliger ^^ — ^, l'équation précédente se réduira h :
t;rft; = |(Ç — a$)d$;
et l'on en déduira facilement :
V=l/2!,is(l g), ,=|/^a™cos(l-^), (46)
équations qui déterminent les circonstances de ce mouvement. Nous allons signaler les plus remarquables.
A l'origine du mouvement, la vitesse croît avec l'espace parcouru suivant la loi ordinaire de la gravité, seulement cette dernière est affaiblie dans le rapport de Ç à S. C'est, pour ce mouvement, un caractère général qui va se reproduire dans presque tous les exemples qui vont suivre. On voit que, quand la conduite qui réunit deux réservoirs est longue, il faut un temps très-appréciable pour que la vitesse arrive à son état normal.
Soit, par exemple, une conduite de 5,000" de longueur, ayant une charge de 5", on aura :
Ainsi, au bout de 10" la vitesse ne serait pas encore de 10 centimètres, et il faudrait beaucoup plus d'une minute pour avoir une vitesse de 0",60; car nous négligeons ici, à part la variation de niveau entre les réservoirs, la résistance de la paroi des tuyaux. Nous reviendrons sur ce calcul. Pour
le monienl, nous ne voulons que donner une idée de l'efFet produit par l'inertie de la masse à mettre en mouvement, effet qui a une très-grande importance dans le jeu des pompes.
Considérant maintenant les variations de la vitesse pendant le mouvement, nous voyons qu'après avoir augmenté de moins en moins jusqu'à as=: Ç, elle décroît ensuite et repasse par les mômes valeurs, pour redevenir nulle, comme à l'origine du mouvement, pour as=2^\ c'est-à-dire que la surface AB descend en A'B', pendant que la surface ab remonte en àb\ ainsi de suite, et qu'on a AM=:MA' et am=zma\ La môme différence de niveau Ky s'étant reproduite en sens contraire, donne lieu à un mouvement en retour exactement semblable au premier; on obtiendrait par conséquent, avec le système de la fig. 81 , un nombre d'oscillations infini, sans le frottement dû à la paroi des tuyaux.
La vitesse maximum V, le temps T que l'eau met à faire un quart
r d'oscillation, et la vitesse moyenne Vm=-^? sont, d'après les équations (46) :
V=Çl/'i, T=i|/|, V.=!V=0,637V. (47)
On remarquera 1° que la durée d'une oscillation est complètement indépendante de son amplitude ç, et a la même expression que celle d'un
pendule dont la longueur serait -; 2'' que la vitesse moyenne qui, dans le
cas de la chute des graves, est la moitié de la vitesse maximum^ en est ici plus des 3/5.
Pour mieux nous rendre compte des circonstances de ce mouvement oscillatoire, sur lequel nous aurons occasion de revenir plusieurs fois dans ce chapitre, représentons -le géométriquement. Sur la ligne verticale AMA' (Qg. 82), proportionnelle à l'amplitude de Toscillation, élevons des pei*-
pendiculaîres /?n, proportionnelles à la force accélératrice | (Ç — as) , nous
aurons l'oblique CMD. Les trapèzes tels que ApnC représenteront le travail de cette force depuis l'origine de Toscillation. Ces figures étant proportionnelles au carré de la vitesse, on aura la représentation géométrique de cette quantité en prenant pn' égal au côté du carré'équivalent au trapèze, et on pourra construire la courbe des vitesses An'NA', symétrique par rapport à l'axe MN qui lui est normal, et tangente aux lignes AG et
in TRAITÉ DE LA CONDUITE £T DE LA DISTRIBUTION DES EAUX.
A'D. Si , au Heu d'être soumise à la force accélératrice décroissante AC,
la masse Tétait à la force constante ^AC, qui donnerait la môme vitesse
maximum MN, la courbe des vitesses serait une parabole (tracé ponctue), intérieure à la courbe An'N; c'est par ce motif que la vitesse moyenne relative à cette dernière courbe, au lieu d'être seulement la moitié de
la vitesse maximum, en est une fraction exprimée par -=0,637, et
que le temps do la chute se trouve abrégé dans le môme rapport. Si la force accélératrice était constamment égale à ÂC, son travail serait double, et la vitesse maximum deviendrait Vl^= 1,41V, de sorte qu'on auraàk pour vitesse moyenne 0,71 V; d'où il résulte que si la force accélératrice, au lieu de décroître régulièrement suivant la ligne CMD, décroissait suivant une courbe Crr'D, la vitesse moyenne serait comprise entre 0,637 V et 0,71V, s'approchant d'autant plus de cette dernière quantité que la courbe s'éloignerait plus de la droite CD. On voit que la durée de Toscillation dépend beaucoup plus de la valeur initiale que des valeurs intermédiaires de la force accélératrice , ce qui se comprend facilement, puisque la vitesse acquise se conser\'e. On remarquera que cette durée est d'ailleurs constante, quelle que soit la force accélératrice, pourvu que l'angle AMC reste le même; car alors les vitesses moyennes croissent dans le même rapport que les espaces parcourus. Le mouvement du pendule, dont les lois sont exposées dans tous les traités de mécanique, n'est qu'un cas particulier des mouvements oscillatoires qui se produisent sous l'influence d'une force qui croît et décroît périodiquement.
Le coefficient a qui entre dans les formules (46) et (47) dépend uniquement du rapport qui existe entre les sections des tuyaux. Le cas qui se présente le plus souvent dans la pratique est celui où une des sections est très-grande par rapport aux autres ; on a alors :
Si, au lieu de la vitesse de l'eau dans la conduite, on voulait avoir celle qui a lieu dans un des réservoii-s d'extrémité, il viendrait, au moyen des relations (àV=:QUj ios=Ù<T:
DU MOUVEMENT VARIÉ DANS LES CONDUITES. n:î
Si, dans la fig. 81, le niveau du premier réservoir pouvait ôtre regarde comme sensiblement constant à cause de sa grandeur, riiorizonlale AB deviendrait l'axe des oscillations, c'est-à-dire que l'eau s'élèverait au-dessus de cette ligne d'une quantité égale à Ç.
114. M. de Caligny a inventé plusieurs machines à élever l'eau, fondées sur les propriétés des mouvements oscillatoires. Voici comment, dans ces machines, l'eau peut s'élever à une hauteur quelconque. Deux réservoirs indéfinis AB, FG (fig. 83), dont la différence de niveau est Ç, sont réunis par un tuyau sur lequel est implantée une conduite ascensionnelle qui, au moyen d'un clapet G, peut ôtre mise en communication avec l'un ou avec l'autre réservoir. Imaginons cette conduite mise en communication avec le réservoir inférieur, l'eau se tiendra à Ç au-dessous du réservoir supérieur, de sorte qu'en ouvrant la communication avec ce réservoir, elle montera à Ç au-dessus, ou 2Ç au-dessus du réservoir inférieur; elle descendra donc à 2Ç au-dessous en ouvrant la communication avec ce dernier; elle se trouvera alors à 3Ç au-dessous du réservoir supérieur et pourra s'élever de la mémo quantité au-dessus, ou à 4Ç, etc. Si donc la colonne ascensionnelle était suffisamment profonde, leau parviendrait à une hauteur indéfinie au-dessus du niveau de la source.
D'autres machines sont établies sur des principes analogues, mais nous ne croyons pas que les unes ni les autres aient été appliquées à des distributions d'eau. Nous nous contenterons donc d'appliquer les formules précédentes au cas des pompes.
ils. Gonsidérons d'abord les circonstances qui se présentent dans l'aspiration. Lorsque la pompe est amorcée et complètement purgée d'air, et qu'on soulève le piston rapidement, l'eau peut s'élever dans le corps de pompe à 2Ha — H' au-dessus du réservoir inférieur. H' étant la hauteur initiale du piston (fig. 84); c'est-à-dire beaucoup plus haut que la hauteur due à la pression atmosphérique, deux fois plus dans le cas où le piston descendrait jusqu'au bassin inférieur. Mais, pour que ce phénomène se produisit, il faudrait que, comme nous venons de le dire, le piston fût enlevé rapidement, que le vide fût parfait, qu'il n'y eût pas de perte
i74 TRAITÉ DE LA œNDUlTË ET DE LA DISTRIBUTION DES EAUX.
de charge par suite des frottements de la paroi, conditions difficiles à réaliser. C'est pour cela que dans les pompes la hauteur de l'aspiration ne dépasse guère 7 à 8".
Le temps nécessaire pour que Teau remplisse le corps d'une pompe placée dans ces conditions, serait donné exactement par les équations (49); mais il est plus simple de supposa la force accélératrice constante, et égale à la charge dans la position moyenne du piston.
Soient :
H' la hauteur du tuyau d'aspiration;
Ç'=Ha — ll—l la hauteur qui représente la pression sous le piston dans sa position moyenne ;
(ù sa section }
S' sa longueur;
21 la longueur du corps de pompe;
Qo sa section ;
u et t; les vitesses dans le corps de pompe et dans le tuyau d'aspiration ;
Um la vitesse moyenne de l'eau dans ce tuyau ;
<r lespace parcouru par l'eau dans le corps de pompe ;
T le temps que l'eau met à remplir le corps de pompe ; on aura pour l'équation du mouvement de l'eau, en supposant que le piston fasse le vide au-dessous de sa surface :
- {(ôSvdv+Qg<T udu) = pûo ç'rfd ;
d'où on déduira, comme nous l'avons fait pour l'équation (45),
(S'+^^a)t(du=gf^ç'rf(x;
intégrant jusqu'à (t=2/, et négligeant ^cr, sauf à prendre pour S' une va-
leur un peu plus grande, nous aurons :
Supposons H'=6'°33, /=1, ce qui donne 2f =3, ûo=4&>, nous aurons :
nu MOUVEMENT VARIÉ DANS LES CONDUITES. 175
En supposant le tuyau d'aspiration vertical, on aurait >^ = 2"',70 et t = 2' environ. En réalité, ce temps serait beaucoup plus long, caria charge C' se trouverait diminuée par le frottement de la paroi, par le changement de section, et enfin par la vitesse de Teau. Avec les données numériques que nous venons d'adopter, il faudrait certainement 2'',5 pour que l'eau arrivât au sommet de la course du piston ; en supposant une durée égale à celle de la descente du piston, on voit qu'une pompe dans ces conditions ne pourrait pas donner plus de douze coups par minute. Pour en obtenir davantage, il faudrait augmenter le diamètre du tuyau d'aspiration, diminuer sa hauteur, etc.
Si la conduite d'aspiration, au lieu d'être verticale, avait une certaine longueur, 900"" par exemple, il faudrait plus de 22 secondes pour que le corps de pompe pût se remplir. En réalité même il faudrait beaucoup plus, car dans ce cas il ne serait plus permis de négliger la perte de charge produite par le frottement le long d'une aussi longue paroi. Pour faire marcher avec une vitesse convenable une pompe ainsi établie, il faudrait trouver le moyen d'entretenir la vitesse dans la conduite d'aspiration pendant le refoulement, pour n'avoir pas à vaincre l'inertie à chaque coup de piston. C'est h quoi on arriverait au moyen d'un réservoir pneumatique branché sur la conduite d'aspiration, un peu au-dessous du corps de pompe, comme nous le représentons dans la fig. 84. On maintiendrait de l'air suffisamment dilaté dans la partie supérieure de ce réservoir au moyen de l'eau de la conduite ascensionnelle et de manœuvres convenables de robinet, et Teau, pendant l'aspiration, passerait facilement dans le corps de pompe.
Les délnils dans lesquels nous allons entrer au sujet des réservoirs d'air destinés à faciliter le refoulement, nous dispensent de nous étendre davantage sur ce sujet ; d'aulant plus que jusqu'à présent on n'a eu que rarement recours à ces appareils pour les conduites d'aspiration, à cause des inconvénients qu'elles présentent, lorsqu'elles ont une grande étendue ' .
Quand la source qu'on veut élever est éloignée, on l'amène directement dans le puisard des pompes, soit par une conduite ordinaire, soit par un
* Des appareils de ce genre ont été établis, Fnn sur la conduite d'aspiration de la pompe du Gros-Caillou, Taulre sur celle de la pompe de la Bièvre ; on s'est jusqu'ici borné à constater que leur application facilite notablement le jeu des pompes, mais on ne É*eft pas encore renda compte d'une manière précise des avantages qu'ils procurent et des conditions dans lesquelles ils devraient être construits.
176 TRAITÉ DE LA CONDUiTE ET DE LA DISTRIBUTION DES EAUX.
aqueduc, et on l'aspire ensuite par un tuyau vertical qui, n'ayant que quelques mètres de longueur, peut toujours avoir un diamètre suffisant pour que le corps de pompe soit facilement rempli pendant la durée de l'aspiration. 116. Occupons-nous maintenant du refoulement de l'eau dans une longue conduite, que nous appellerons conduite ascensionnelle. Soient :
Ûo la surface du piston d'eau (fig, 84) ;
2l sa course ;
Q le volume d'un coup de piston;
0) la section de la conduite ascensionnelle ;
5 sa longueur;
s l'espace parcouru par l'eau dans cette conduite depuis le
moment où le piston d'eau a commencé ù descendre; Z la différence de niveau entre les deux réservoirs, augmentée
de la perte de charge Y qui a lieu dans la conduite; H la hauteur d'eau qui représente la pression sur le piston
d'eau dans sa position moyenne; h la hauteur d'eau qui représente la pression sous le piston
d'eau dans sa position moyenne; fe'=H — fe la surcharge du piston ; V la vitesse de l'eau dans la conduite ascensionnelle; Vo et Vi la vitesse au commencement et à la fin de la course ;
6 le temps de la descente du piston;
9' le temps de l'ascension , compris les arrêts qui pourraient avoir lieu au commencement et à la fin de la course. Pour simplifier les calculs suivants, dont le but principal est de faire ressortir les difficultés mécaniques qui résultent de la grandeur de la masse à mettre en mouvement, nous négligerons la différence de pression due au changement de position du piston d'eau.
Nous aurons alors, en considérant les pressions qui agissent sur la colonne ascensionnelle :
—vdv=p(ù{H — h)d$]
d'où nous tirerons
vdv=^gds, dv=sgdt, ds=M^t+g^tdt,
équations qui démontrent que la vitesse de l'eau dans la conduite ascensionnelle suit la loi de la chute des graves; seulement, l'accélération constante g se trouve atténuée dans le rapport de h' à S, ce qui ralentit la vitesse et augmente la durée de la chute du piston. 11 est facile de voir que lorsque S est très-grand, cette durée peut être augmentée dans des proportions incompatibles avec les moyens dont on dispose. Des équations précédentes, on tire :
et pour la fin de la course du piston, en remarquant que, à ce moment, «s = 2Û„i=Q,
Pendant ({uele piston remonte, l'équation du mouvement de l'eau dans la conduite ascensionnelle est :
On en déduit :
Au bout d'un certain temps t\ la vitesse redeviendra ce qu'elle était à l'origine de la descente du piston d'eau ; ce temps pourra être plus petit que Q'y si Vo est nul; on aura donc :
De ces équations, et des équations (50)^ on tire :
c'est-à-dire que le volume d'eau ws , élevé pendant l'ascension du piston, représente exactement celui qui est dû au travail de la surcharge, ce qui était du reste facile à prévoir.
Ainsi, le produit théorique d'une pompe foulante n'est pas le volume engendré par le piston, mais ce volume augmenté du produit du travail de la surcharge. Si Q est ce volume, le produit est :
Si l'on prend le cas le plus favorable, cçlui où Vo n'est pas nul, et où t'=9'=e, on aurait 2Q pour le produit d'un coup de piston complet ; mais
alors QQ aurait aussi h'=z^ c'est-à-dire que la pression sur le piston d^ vraitêlre double de celle qui est due à la hauteur à franchir. Or, c'est là un inconvénient grave, puisque, pour y remédier, il faudrait doubler la force des organes de la pompe, serrer les garnitures des pistons, et, par conséquent, augmenter leur frottement; enfin, la difficulté de rendre uniforme la résistance serait doublée. On remarquera, en effet, que pendant l'aspiration l'effort à faire n'est proportionnel qu'à la hauteur à laquelle elle se fait, 7 à 8°" tout au plus. Si l'on çivait de Teau à élever à 50", par exemple, pendant l'aspiration l'effort serait de 6", et de 100"* pendant le refoulement. Il faudrait, pour le rendre uniforme, ajouter une surcharge de 47°" du côté du piston.
117. Nous venons de calculer le mouvement d'une pompe placée dans des circonstances exceptionnelles, où la vitesse du piston peut croître d'une manière uniforme depuis le haut jusqu'au bas de la course, et décroître de la même manière. Or, il n'en est pas ainsi ordinairement : presque toutes les pompes mues par des machines sont astreintes à avoir des vitesses nulles au haut et au bas de la course, et une vitesse maximum au milieu.
Considérons, par exemple, une pompe H^telée '4 une maphÎPC^ rotative et appelons (fig. 85) :
w la vitesse angulaire du rayon auquel la bielle est attachée;
(f Tangle qu'il forme avec la verticale ;
l le rayon de la bielle, égal à la moitié de la course du piston ;
u la vitesse verticale du pistoq ;
V la vitesse dans la conduite ascensionnelle ; on aura les relations :
M=Zti;sin(p, ûo^=wv, v=—lwsin(f.
Si l'on suppose la vitesse de rotation w constante, on dé^^uir? àçi |a fjernière équation, en remarquant que^=:w; :
dv {ïoj c
5^ = -Zu;-cos9; mais on a : dv=zg^dt.
De ces deux équations, on tire :
Pc
*'=2Ïi^-5e«s,.
^ DU MOUTGlIEffî VARIÉ DANS LES œNDUITES. )79
Doù l'on conclut que h' diminue avec <p, et devient nul {pouk* ç=ftO* ; quand f=rO)Ona:
Avec les données suivantes, qu'on rencontre fréquemment dans les pompes mues par des machines ûo = 2w, 1 = 0",50, Zm^ = 1", on aurait :
fe' = 0,41S.
Ce qui veut dire que la hauteur de la surcharge serait des 2/5 environ de la longueur de la conduite ascensionnelle, 400°" pour 1,000", 800" pour 2,000"'.,., surcharge qui évidemment rendrait impossible la marche de la pompe.
On peut diminuer cet inconvénient en multipliant le nombre des pompes, car, pour un produit .donné, la section ùo du piston, et par conséquent la surcharge h' (51), sont en raison inverse de ce nombre, moitié pour deux pompes, le tiers pour trois... On peut d'ailleurs se rendre compte de ce résultat par un tracé graphique fort simple (fig. 86). Sur une ligne droite ÂBCD... développons la circonférence décrite par le bouton de la bielle, et élevons des ordonnées y proportionnelles aux vitesses de Teau dans la conduite, nous formerons ainsi une sinusoïde ALMNB, dont Tér
quation sera f/=-Qsinir, le rapport î^ devant y être considéré comme
constant. Quand il n'y a qu'une seule pompe, le débit de la conduite ascensionnelle est intermittent, puisqu'il est nul pendant tout le temps de l'aspiration. C'est à cette période que correspond la partie de la sinusoïde qui est au-dessous de l'axe ABCD.
Maintenant, si l'on suppose le volume à débiter Q partagé entre un
nombre n de pompes , chacune d'elles débitera - par course de piston et
produira une vitesse t/ = --sînaj, équation qui représente une sinusoïde
dont les ordonnées sont la n^^ partie de celles qui étaient données par
la pompe unique. Toutes les pompes donneront des sinusoïdes égales, les
origines de deux sinusoïdes consécutives étant situées à la distance ^'
Ayant donc tracé ces courbes élémentaires, il suffira d'ajouter les ordonnées correspondant à la même abscisse pour obtenir la courbe qui représente la vitesse résultante dans la conduite ascensionnelle. On voit
480 TUAITÉ DE LA COiNDUlTE ET DE LA DISTRIBUTION DES EAUX.
facilement sur la figure 86 que , à mesure que le nombre des pompes augmente , celui des périodes de la vitesse augmente aussi ^ tandis qu'au
contraire leur amplitude , l'inclinaison ^ de la tangente à l'origine de
ces périodes cl, par conséquent, la surcharge du piston diminuent de plus en plus; on voit enfin qu'il faudrait un nombre infini de pompes pour arriver à obtenir une vitesse et une résistance uniformes.
Nous n'avons pas besoin de faire remarquer tous les embarras, tous les inconvénients, toutes les résistances qui naissent de la multiplicité des pompes; aussi, pour surmonter ces difficultés, les anciens constructeurs avaient généralement recours à un autre expédient, qui consistait à diminuer la masse de l'eau mise en mouvement par le piston.
118. Près des pompes, on construisait des tours au sommet desquelles on faisait monter la conduite ascensionnelle, qui dégorgeait dans une cuvette placée à la hauteur nécessaire pour desservir les orifices. Elle y était conduite par un tuyau spécial, dans lequel le mouvement de l'eau était indépendant de celui de la conduite ascensionnelle. Ainsi, par exemple, ayant à porter de l'eau à 3000" de distance et à 20" de hauteur, on faisait près des pompes une tour de 20", sur laquelle on plaçait une cuve, d'où partait la conduite 4e 3000" de longueur. La quantité S des formules précédentes, qui eût été de 3000° sans château d'eau, devenait 20 ou 30" si, depuis la pompe jusqu'au sommet de la tour, la conduite ascensionnelle n'avait que 20 ou 30".
Le château d'eau fait donc disparaître, ou du moins atténue la difficulté qui résulte de Tineriie de la masse d'eau contenue dans la conduite ascensionnelle. Mais c'est là, il faut en convenir, un système bien dispendieux, lorsqu'il s'agit surtout de grandes hauteurs. Qu'on nous permette, à ce sujet, de citer une anecdote assez curieuse, tirée des mémoires de Perrault, de l'Académie française, et qui nous a été révélée par la lecture d'un trèsintéressant ouvrage de M. Leroi sur les eaux de Versailles.
a M. Colbert mena un jour M. Huyghens à Versailles pour le lui faire voir. Ce savant admira tout; mais ayant vu une tour fort haute sur la chaussée de l'étang de Clagny, il me demanda à quel effet on avait bâti là cette tour. Je lui dis que c'était pour élever l'eau de l'étang. «Est-ce, reprit-il, qu'on veut faire une fontaine sur celle tour? — Nullement, lui répondis-jc ; c'est pour la faire aller de là dans les réservoirs à toutes les fontaines. —
DU MOUVEMENT VâHÊ DANS LES CONDUITES. 481
II n'était point nécessaire, me dit-O, de faire monter Teau sur cette tour ; la pompe l'aurait portée aisémentile Tétang dans les réservoirs, sans aucun entrepôt, et la dépense delà toôV est assurément très-inutile, d Je compris la chose dans le moment même, et je le dis à M. Colbert, qui en demeura d'accord sans hésiter, en ajoutant : « Que voulez-vous? il faut bien payer son apprentissage. > Mais, ce qui est encore bien plus étonnant, c'est qu'on a fait la même faute à Marly, où l'on a bâti une tour encore plus large et plus haute, et d'une dépense incomparablement plus grande que celle de Versailles, et qui n'est pas moins inutile ; car, avec la même force qui élève l'eau d'une hauteur immense sur cette tour, on pouvait la pousser dans des tuyaux de conduite dans les réservoirs de Versailles, sans l'élever ainsi. Je ne me mêlai point du tout de ce travail; et comme M. Colbert en savait autant que moi sur cet article, je ne crus point devoir lui en parler. »
Effectivement, on ne se rend pas immédiatement compte de l'utilité des châteaux d'eau ; il est évident, en effet, qu'ils ne rendent aucun service mécanique; mais, en coupant la colonne ascensionnelle, ils facilitent le mouvement des pistons des pompes, et l'uniformité de vitesse de la machine rotative à laquelle elles sont attelées ; uniformité de vitesse qui ne peut avoir lieu qu'autant qu'il y a variation de vitesse dans la conduite ascensionnelle. L'eau, en mouvement dans une conduite d^uiie grande étendue, forme un volant naturel qui, en imprimant une vitess^ uniforme au piston, rend son mouvement inconipatible avec la" vitesse nn^rme de rotation des machines auxquelles il est lié.
, Nul doute que Huyghens n'eût aperçu la difficulté s il avait pris^le temps d*y réfléchir. Il est curieux de voir comment le charpentier lUnnequin s'en était tiré à la machine de Marly.
Voici la description qu'en a donnée, en 1794, M. de Prony, dans ulrrapport sur divers projets présentés pour la remplacer.
<c La machine de Marly fut entreprise , vers la fin du siècle dernier, « par Rannequin, natif du pays de Liège, homme peu éclairé, mais d'un « génie hardi, d'un tact assez sûr en mécanique, et commença à agir en
« L'eau, qui s'élève du lit de la rivière, est portée dans un premier puî- « sard placé sur le penchant de la montagne, à 150 pieds de hauteur et à « 120 toises de distance; là, elle est reprise et élevée dans un second pui-
182 TRAITÉ DE lA CONDUITE ET Dfe LA DISTRIBUTION DES EAUX.
a sard plus élevé de 100 pieàB que le premier, ou de 310 pieds que les « eaux moyennes de la rivière, dont il est à une distance de 344 toises. « Enfin, du deuxième puisard l'eau est forcée au haut d'une tour, à une d hauteur de 66 pieds au-dessus de ce deuxième puisard, ou de 476 pieds « au-dessus de la rivière, dont cette tour est à 634 toises de distance.
« Cette tour forme les extrémités d'un aqueduc aussi fastueux qu'inu- « tile, de 330 toises de longueur, porté sur trente-six arcades, et dont « l'autre extrémité est également terminée par une tour ou château d'eau : « on conçoit que les tuyaux de conduite auraient pu descendre immédia- « tement de la première tour, iet qu'ainsi l'aqueduc et la deuxième tour fi sont entièrement superflus.
« L'eau est élevée, le long de la côte, par le moyen de pompes aspi- « rantes et foulantes, placées tant dans le lit de la rivière qu'à chacun des « puisards établis à mi-côte. Les pistons de ces pompes sont mis en mou- « vemettt par quatorze roues à aubes de 36 pieds de diamètre, placées sur « auttlnt de coursiers dont chacun est fermé par une vanne. Ces roues « sont établies sur deux rangs parallèles aux vannes; sept forment un « pVemier rang, le plus près des vannes; six autres composent un second « rang; et enfin la quatorzième se trouve hoirs des rangs, à l'extrémité il aval de la machine.
« Il y a en tout deux cent vingt-un corps de pompe d'environ 6 pouces « de diamètre , non compris plusieurs pompes qui n'élèvent point Teau fi dans h tour, mais ont des destinations relatives au jeu et à l'efTet de la « machine. Soixante-quatre de ces pompes prennent l'eau immédiatement « dans la rivière et la portent au premier puisard, soixante-dix-neuf la « reprennent au premier puisard et relèvent au deuxième; enfin elle est « forcée de là au haut de la tour par soixante-dix-huit pompes. »
Un peu plus loin, M. de Prony ajoute :
« Lorsqu'on examine la machine en action , l'inégalité de sa marche est « la première chose qui frappe les yeux; les roues à aubes sont, dans une «pallie de leur révolution, presque immobiles : c'est le moment de la « production de l'effet utile; elles acquièrent ensuite une grande vitesse, « parce que l'effort devient petit ou nul, et ainsi de suite. On conçoit aîsé- « ment les vibrations et les saccades qui doivent résulter de cette inégalité « et qui tendent à la destruction de la machine. »
I^s dispositions adoptées par Rannequin, et qui aujourd'hui paraîtraient
m IIÛUVEMENT VARIÉ DANS LES CONDUITES.
bien compliquées^ nom semblent jusUfierrappr6ciution que M. dô Prony a faite du génie de cet habile ouvrier. Ayant de Teau à élever à 150", il ne pouvait évideniuient faire un véritable cbâteau d'eau; de plus, on n aurait peut-être pas osé alors sounictlrc des tuyaux et des corps de pompes à une pression de 150"^; il était donc naturel de diviser en plusieurs parties k hauteur à francliîr^ ce qui réduisait au tiers les pressions el les masses h mettre en mouvement. Cependant, sous ce rapport, les détails nous manquent pour apprécier jusqu'à quel point Rannequîn avait pu rendre alternatif le mouvement des seize pompes qui dépendaient de la même roue hydraulique* La théorie demandait que les tiges fussent disposées de manière à ce que la course fût divisée en seize parties; mais la difiicullé ijue Rannequin avait eu à vaincre pour établir les communications de mouvement ne lui avait peut-être pas permis de satisfaire à celle condition^ au moins d'une manière complète. De là^ dans le moqvement de^ roues hydrauliques, le temps d'arrêt signalé par M. de Prony. Quoi qu'il en soit, ce que nous voulons surtout faire remarquerj c'est, d^une part, le rôle de la tour placée au sommet de la montagne et faisant château d'eau pour le dernier systémo de pompes , tour critiquée par Perrault^ qui n'en a pas compris T usage; c'est, dauti^e part^ Tinutilité du pont-aqueduc à la suite et de la seconde tour^ qui a échappé h la critique de Perrault et a été justement bldmée par M. de Prony,
119> Si, malgré Iluyghens et Perrault, on avait raison de construire autrefois des chsUeaux d*eau, les mêmes molîfs n'existent plus, depuis l'invention des réservoirs d'air, qui peuvent parfaitement les remplacer. Ces appareils consistent dans une capacité cylindrique interposée entre la iK)mpc à eau, avec laquelle ils sont en communication au moyen de clapets, et la conduite ascensionnelle (fîg. 87), Des robinets convenablement placés permettent de vider à rextérïeur Teau du réservoir et de la remplacer par de Tair. Cet air une fois coîuprimé sous la pression de la colonne ascensionnelle, Ton fait descendre et Ton maintient le niveau de Teau à une hauteur convenable dans le réservoir, au moyen d'une petite pompe foulante qui injecte continuellement une quantité d'air égale à celle qui se dissout dans Teau ou s'échappe à travers les joints du réservoir v
* On peut aussi faire entrer de Tair dam le réservoir «u rnoysii il' une manœuvre de robinet ayant pour résultat de le mettre en coni in uni cation avec uu r^cipïeijt inférieur qifon epiplil d'air à volonté; mais il est préférable d'avuir im inuyen continu dlnjecter ûé Tair-
ISi TRAITÉ DE LA CONDUITE ET DE LA DISTRIBCHON DES EAUX.
n est facile maintenant de se rendre compte du jeu de cet appareil. Pendant que le piston d'eau descend, une partie seulement de Teau chassée s'échappe par la conduite ascensionnelle, Fautre pénètre dans le réservoir dont elle comprime l'air; pendant que le piston remonte, cet air se détend et i>ousse dans la conduite ascensionnelle l'eau qui était entrée dans le réservoir. Si l'oscillation de l'eau dans le réservoir d'air a peu d'amplitude; si, de plus, la capacité occupée par l'air est assez grande par rapport à cette amplitude pour que sa tension ne varie pas sensiblement, il est clair que la vitesse de l'eau dans la conduite ascensionnelle sera à peu près constante. Elle sera d'ailleurs à peu près indépendante de celle du piston d'eau qui, n'ayant plus à pousser qu'une masse très-faible, obéira facilement aux variations de vitesse qui lui sont imposées par la marche du moteur. Mettons ces résultats en évidence par le calcul. Conservons les notations précédentes et nommons de plus (tig. 87) :
Or la section du réservoir d'air ;
A le volume de l'air dans ce i*éservoir, au moment où sa force élas* tique fait équilibre à la pression (Hr+Ha) de la colonne ascensionnelle ; OX une horizontale passant parle sommet du réservoir d'air;
y la distance de. l'eau au sommet du réservoir; f{y) la hauteur d'eau qui correspond à la pression due à la position de l'eau dans le réservoir d'air; z l'ordonnée de la surface du piston à partir du sommet de la course; MN une horizontale correspondant au volume A de l'air dans le réservoir et ayant conséquemment pour ordonnée yo = -;
e, t les hauteurs dont l'^u s'élève ou s'abaisse au-dessus ou audessus de la ligne MN; Hr la charge sur la ligng MN.
Supposons la pompe arrivée i^ sa marche régulière et la vitesse du piston telle qu'il n'y ait pas diiicontiii||té dans les oscillations de l'eau que contient ce réservoir. Quand ce (l^ton descend, l'eau s'y élève de àb' à ab; quand il remonte, le mouvemaât inverse a lieu. L'effet de cette oscillation est facile à concevoir. Pendant la descente du piston d'eau, le travail dû à sa chute 2/pûo(Ha-f'H) n'est pas transmis tout entier à la colonne
ascensionnelle, une partie est absorbée par la compression de l'air dans le réservoir et par Faugmentation de la hauteur de Feau; cette partie est rendue pendant que le piston remonte. Pour un coup de piston complet, on peut donc faire abstraction du travail momentanément absorbé par le réservoir d'air, et on voit que cet appareil ne peut rien changer aux conditions mécaniques de la pompe ordinaire , en ce qui concerne le produit qui doit toujours être proportionnel au travail engendré par la course du piston. Mais si Ton considère les diverses périodes du coup de piston et leur durée, on remarquera de notables diflTérences dans les périodes de la vitesse; le mouvement de la colonne ascensionnelle ayant pour équation :
mvdv = p« [/"(y) — (Hr + H,) ] ds,
on voit de suite qu'on a pour la vitesse un maximum et un minimum, toutes les fois que f{y) =],Hr+ H, , ce qui arrive pour y zn t/o = jj- , c'està-dire toutes les fois que la surface de Teau du réservoir passe par la ligne MN. En effet, à partir du moment où elle s'élève au-dessus de la Mgne MN, fiy) — (Hr+H.) est positif, et la vitesse croît jusqu'au moment où cette surface en redescendant revient en MN; quand elle passe au-dessous , /"(y)— (Hr+Ha) est négatif, la vitesse décroît indéfiniment jusqu'au moment où l'eau en remontant atteint de nouveau la ligne MN. Représentons graphiquement les circonstances de ce mouvement : menons à droite de la ligne OY une parallèle dcd à une distance proportionnelle à Hr + Ha, qui représentera la charge moyenne sur la surface du réservoir d'air, puis des ordonnées proportionnelles à la pression f{y) produite dans le réservoir d'air. Elles détermineront une courbe ecé formant, avec la verticale dcd' et les niveaux supérieurs et inférieurs de l'eau, deux triangles cde, cdé exprimant le travail résultant des forces qui agissent sur la colonne ascensionnelle, triangles équivalents, puisque évidemment le réservoir ne peut rendre que le travail qu'il a absorbé.
A la seule inspection de la figure, on reconnaît immédiatement que l'efiTet du réservoir d'air est de produire, dans l'intensité de la vitesse, des oscillations semblables à celles que nous avons considérées dans le n*" 113, et que nous avons représentées par la fig. (82). La seule différence, c'est qu'ici la vitesse ne devient pas nécessairement nulle au commencement
et à la fin des oscillations, et que ces dernières se superposent à une quantité constante. Nous allons calculer les variations qu'elles y produisent. En intégrant Féquation du mouvement de l'eau dans la conduite ascensionnelle y
mdv = pa> [f\y) — (Hr + H,)] dt ,
à partir du moment où la vitesse de l'eau est un minimum dans la con-*
-^- 1 , nous aurons la différence entre la plu$
grande et la plus petite vitesse. Or, d'après ce que nous venons de dire tout à l'heure, l'intégrale du second membre est sensiblement donnée par une valeur moyenne de la fonction qui exprime la résistance du réservoir, et on peut écrire , en considérant la période pendant laquelle la vitesse croît, c'est-à-dire où l'eau est au-dessus de la ligne MN,
m(V-V,)=pa.[(Ay,)-|e)-(H,+H.)jf4^'); en considérant l'autre période, on aurait de même :
De ces deux équations on déduit :
v-v.=£{«,.-i.)-n».+io)(î±ï).
Dans le cas d'un réservoir d'air, on a :
/•(y)=(H,+H.)|+î/o-»; «t, par conséquent, en mettant pour m sa valeur^ — ,
Mais la quantité d'eau reçue dans le réservoir d'air Q^ (e + 1 ) est égale au produit du coup de piston Q diminué de la quantité débitée par la conduite pendant le temps 6. On a donc :
û,(e+0=Q-^ = 5|7, et (e+e')(0 + 9') = f; ce qui donne :
* On suppose , pour arriver à cette valeur, que i' ne diffère pas beaucoup de i , et que ces deux quantités sont très-petites par rapport à y».
MI UOUVEHENT VARIÉ DANS LES CONDUITES. itH
