MÉTHODE DES MATHÉMATIQUES. 1 S

Application de la méthode aux mathématiques.

214. Qu'appelle-t-on sciences exactes ? En quoi consiste la méthode de ces sciences? A quoi faut-il attribuer l'exactitude qui les caractérise? (27 novembre 18G7.)

215. Les vérités mathématiques sont-elles des vérités d'expérience? (17 juillet 1874.)

Plan. Les mathématiques pures sont la science des quantités ou des grandeurs considérées d'une manière abstraite, savoir le nombre dans l'Arithmétique et l'Algèbre, l'étendue dans la Géométrie, le mouvement dans la Mécanique. Elles emploient la méthode démonstrative., dont Descartes a formulé les règles dans ses Règles pour la direction de l'esprit; Pascal, dans ['Art de persuader : la Logique de Port-Royal, dans sa IVe partie (ch. m-xi), savoir : poser des axiomes, établir des définitions, en tirer les conséquences (cf. 195). Les idées sur lesquelles elles spéculent sont des constructions arbitraires, que l'esprit opère lui-même à l'aide d'un petit nombre de notions abstraites. Leurs définitions n'expriment que nos conceptions et ne reposent pas sur les données de l'expérience, comme celles des sciences physiques et naturelles ; p. ex., la géométrie définit le cercle parfait, et il n'y a point de cercle parfait dans la nature. — De là résultent deux propriétés qui caractérisent les mathématiques. 1° Les vérités mathématiques ne sont pas trouvées et prouvées à l'aide de l'expérience. Elles consistent dans les conséquences que l'esprit tire des principes (axiomes, définitions] qu'il établit a priori et des constructions qu'il imagine à l'aide de ces principes. Elles reposent sur le principe d'identité (cf. 147). Elles sont nécessaires, mais leur nécessité est hypothétique ; p. ex: « S'il existe un triangle (tel que le définit la géométrie), la somme de ses trois angles vaut deux angles droits.» Au contraire, en métaphysique, la nécessité des vérités ducs à la raison est absolue ; p. ex. : « Tout ce qui commence a une cause. » 2° Les mathé manques pures, spéculant sur des quantités abstraites, sont par cela même des \es exactes, en ce sens qu'elles doivent tout au raisonnement et rien à l'expérience, que les vérités qu'elles démontrent n'admettent aucune restriction. Les mathématiques appliquées, au contraire, spéculant sur des quantités concrètes, ne relèvent pas uniquement du raisonnement; elles empruntent des

données à l'expérience, et leurs théories ont besoin d'être confirmées par elle ; par suite, les vérités qu'elles démontrent peuvent admettre certaines restrictions et n'être qu'approximatives; au point de vue abstrait, 2 + 2 = 4; au point de vue concret, on ne saurait trouver quatre unités (p. ex., quatre journées de travail) parfaitement égales, et le calcul ne donne ainsi que des résultats approximatifs. 11 en résulte que l'on commet de graves erreurs si l'on essaie d'appliquer rigoureusement clans la pratique les formules que donne la théorie pure. Lire Bouillet, D. des sciences, art. Mathématiques.

Application de la méthode aux sciences physiques et aux sciences naturelles.

216. Quelle différence existe entre les sciences physiques et les sciences naturelles ? (28 mars 1873.)

Dissertation. Les sciences positives emploient la méthode expérimentale (cf. 198), en y joignant la déduction (cf. 192, 197) Pour comprendre l'application da ces procédés, passons en revue d'abord les sciences physiques, puis les sciences natu-

relies.

L'Astronomie, réduite à la mécanique céleste, est la science physique la plus simple. Elle observe les positions et les mouvements des astres à l'aide des instruments dont l'optique donne la théorie, détermine les orbites de ces astres à l'aide de la géométrie analytique, et les explique en empruntant à la physique la loi de l'attraction. Tout s'y réduit donc à l'observation et à la déduction dont le calcul n'est qu'une forme. Mais l'Astronomie devient une science complexe quand elle étudie la constitution physique d'un astre, p. ex., la constitution physique du soleil, comme l'a fait récemment M. Faye (Annuaire du bureau des longitudes, 1873, 1874); elle suppose alors la connaissance générale de la physique et de la chimie, particulièrement de l'analyse spectrale.

La Physique étudie les phénomènes généraux qui se produisent dans tous les corps, c'est-à-dire les mouvements, les changements d'état, de forme, etc. Elle a pour but de découvrir les lois, c'est-à-dire les relations constantes qui existent entre deux éléments de nature différente (cf. 200). Pour les déterminer, elle emploie l'observation et Y&Bpérimentatutn, à l'aide d'instruments spéciaux pour arriver à des évaluations