CHAPITRE V

Les lois statistiques.

§ !• — LA RÉGULARITÉ DANS LES ACTIONS HUMAtt^ES. DÉFINITION DE LA LOI STATISTIQUE.

On a remarqué depuis longtemps que certains faits de la vie humaine se reproduisaient avec une régularité^ c'est-àdire dans un ordre toujours le même, semblable au retour prévu des phénomènes naturels périodiques; maisTattention n'avait d'abord été portée que sur les faits par lesquels Thomme touche directement à la nature, faits sur lesquels il n'exerce qu'une action presque nulle, comme la mort, ou qu'une action instinctive, comme la naissance^ et à certains égards aussi le mariage. Le fait qu'il naît à peu près autant de garçons que de filles a dû être entrevu de bonne heure, et il n'aura pas été sans influence sur l'introduction de la monogamie. Si la polygamie s'est maintenue si longtemps^ en droit plutôt qu'en fait, dans un assez grand nombre de pays, c'est sous l'influence de la guerre et de l'esclavage, qui altèrent violemment Tordre naturel des choses, ou

aussi sous ud régime politique où quelques privilégiés peuvent se passer tous tes caprices, quelles que soient les pri valions du plus grand nombre. Ce n'est pas non plus une tribu peu nombreuses vivant sous la tente qui pourrait aisément s'apercevoir d'une régularité qui ne ressort généralement que de la comparaison d'un grand nombre de cas. Aussi est-ce dans une ville, — et dans une grande, — à Londres, que, vers 1660, on a noté les premières observations systématiques. On les doit au major Graunt, probablement un homme de loisir, à coup sûr un statisticien amateur. (Voy. ch. VU, § 2.) Une fois constatée, cette régularité inspira une confiance telle, qu'on ne tarda pas à en faire la base d'une industrie, tout comme on utilise la force du vent et le courant de la rivière.

L'emploi du terme loi pour ce retour régulier des mêmes faits et pour la constance des proportions, se trouve pour la première fois, que nous sachions, dans Sûssmilch : Die gœUlicke Ordnung. Après avoir dit que la terre ne peut se peupler que s'il y a un excédent de naissances sur les décès, Sûssmilch continue : « C'est ainsi que nous trouvons dans l'état actuel du monde que, l'un dans l'autre, mariage fécond et mariage stérile ont en moyenne quatre enfants, dans un pays un peu plus, dans un autre un peu moins, selon les circonstances locales. La loi actuelle de la mort est, en moyenne, villages et villes inclus, et dans les années ordinaires, de 1/36, c'est-à-dire, que, de 36 individus, l'un doit annuellement payer sa dette à la nature. Parmi les habitants des campagnes, il en meurt un sur 40 à 45; dans les villes il en meurt davantage, 1/28 à 1/32, et même 1/25 si la ville est grande. Ces deux rapports (celui des naissances et celui des décès) produisent annuellement un excédent

de... * » Voilà donc le premier emploi du mot loi en statistique, et peut-être ii*aurait-on jamais songé à le contester, si Ton n'avait pas étendu les observations aux faits d'ordre moral et intellectuel. Nous disons les observations, car les mathématiciens ont appliqué dès Pascal le calcul des probabilités aux matières morales (voy. par exemple, Laplace, Essai philosophique); mais il s'agissait de la probabilité des témoignages, du choix et des décisions des assemblées, de la probabilité des jugements des tribunaux ^ vrais jeux d'esprit, fondés uniquement sur le raisonnement, dont nous ne voulons pas médire» mais que nous ne pouvonscomprendre parmi les sources de la statistique. Sans faits observés pas de statistique.

C'est à Quetelet que revient la gloire d'avoir, le premier, appelé Tattention du monde savant, on peut dire de tous les hommes quelque peu instruits, sur la régularité des phénomènes moraux, ou comme dit Quetelet {Système socialy p. 65), a des lois qui régissent le moral de l'homme. « Comme nous aimons à reproduire les termes mêmes dont se servent les initiateurs, nous allons transcrire un passage entier du principal ouvrage de l'illustre savant (Physique sociale, t. I, p. 95) : « Ce que nous disons de la moraUté de l'homme peut s'entendre de ses facultés physiques et même de ses facultés morales. Si nous voulons acquérir la connaissance des lois générales auxquelles ces dernièrss facultés sont soumises, nous devons réunir des observations eu assez grand nombre pour que tout ce qui n'est pas pu-

* Édition de 1765, p. 17.

^ Jacques BemouilU, dans son Art conjeetandi, 1865, parle de Tapplication de la probabilité aux res civiles, morales et œconomicat. On pourrait nommer en outre la plupart de ceux qui se sont occupes de calcula de probabilité.

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rcment accidentel s'en trouve éliminé. Si , pour faciliter cette étude, on pouvait enregistrer toutes les actions des hommes, on devrait s'attendre à en voir, d'une année à l'autre, le nombre varier dans les limites tout aussi larges que les caprices de la volonté. Cependant, ce n'est pas ce qu'on observe, du moins pour la classe des actions qu'on est parvenu à enregistrer jusqu'à présent. Je ne citerai qu'un seul exemple, mais il mérite l'attention du philosophe.

c Dans tout ce qui se rapporte aux crimes, les mêmes nombres se reproduisent avec une constance telle, qu'il serait impossible de la méconnaître, même pour ceux des crimes qui sembleraient devoir échapper le plus à toute prévision humaine, tels que les meurtres, puisqu'ils se commettent, en général (?), à la suite de rixes qui naissent sans motif, et dans les circonstances, en apparence, les plus fortuites. Cependant, l'expérience prouve que non seulement les meurtres sont annuellement à peu près en même nombre, mais encore que les instruments quis ervent à les commettre sont employés dans les mêmes proportions. »

Après avoir cité quelques chiffres à l'appui, l'auteur continue ainsi : « Cette constance avec laquelle les mêmes crimes se reproduisent annuellement dans le même ordre, et attirent les mêmes peines dans les mêmes proportions, est un des faits les plus curieux que nous apprennent les statistiques des tribunaux; je me suis particulièrement attaché à la mettre en évidence dans mes différents écrits : // est un budget qu'on paye avec une régularité effrayante, c'est celui des prisons, des bagnes et des échafauds; c'est celuilà surtout qu'il faudra s'attacher à réduire ; et chaque année les nombres sont venus confirmer mes prévisions, à tel

point, que j'aurais pu dire, peut-être avec plus d'exactitude : Il est un tribut que Tliomme acquitte avec plus de régularité que celui qu'il doit à la nalure et au trésor de TËtat : c'est celui payé au crime ! — Triste condition de l'espèce humaine! Nous pouvons énumérer d'avance combien d'individus souilleront leurs mains du sang de leurs semblables, combien seront faussaires, combien seront empoisonneurs, à peu près comme on peut énumérer d'avance les naissances et les décès qui doivent se succéder. »

Nous avons cru devoir donner en entier ce passage, malgré la déclamation qui le termine. Cette déclamation est un pendant à celle de Malthus parlant de l'homme qui naît dans un monde déjà occupé : « Au grand banquet de la nature, il n'y a point de couvert mis pour lui. La nature lui commande de s'en aller, et elle ne tarde pas à mettre ellemême cet ordre à exécution. » Malthus a supprimé plus tard ce passage, on n'en a pas moins continué à le lui reprocher. Quetelet aussi a eu le tort de donner une expression trop vive à sa pensée, ce qui lui a suscité naturellement des adversaires ^ Ces adversaires, ou plutôt ces contradicteurs, étaient de différentes catégories; nous retrouverons tout à l'heure ceux qui se préoccupent surtout des conséquences qu'on peut tirer des faits et des doctrines présentés par Quetelet; examinons brièvement les objections d'un savant, M. E. Rhenisch, de Gœllingue, qui conteste la réalité même de la régularité qui est le fondement de toute la statistique morale, le postulat des discussions

< La verve, synonyme parfois d'exagération, est nécessaire peut-êti*e aux initiateurs pour attirer Inattention ; mais la faute ainsi commise est toujours punie, car elle fournit elle-même des armes aux adversaires. — Le budget des prisons, etc., est ici une simple phrase.

qu'elle a soulevées ^ M. Rhenisch s'attache surtout au petit tableau inséré à la page 96 (t. I") de la Physique sociale et s*appliquant aux années 1826 à 1831, pour montrer qu'il ne faut pas prendre le mot « régularité » absolument à la lettre. Cela est vrai ; ni pour les meurtres dont cet ableau donne le mouvement, ni relativement aux mariages et aux suicides, dont Quetelet traite ailleurs, la constance est absolue ; mais ce savant n*a jamais soutenu que les chiffres ne présentaient aucune variation. Pendant les cinq années de 1841 à 184S, le nombre des mariages dans les villes a été, dit- il, pour les hommes de 25 à 30 ans, de 2,681, 2,65S, 2,S16, 2,698, 2,698 ; et, pour les femmes du même âge, de 2,119, 2,012, 1,981, 2,120, 2,133. « Il faut convenir, ajoute-t-iI,que si le chiffre avait été fixé d*avance, on n'aurait pas trop à se plaindre des infractions à la règle. Il en estde même pour les autres âges, même quand on groupe les mariages en ayant égard aux âges respectifs des deux époux. 1 II s'agit notamment des grandes différences d*âge. (Système social, p. 68.)

Les contradicteurs de Quetelet, du moins H. Rhenisch, ont oublié que ce ne sont pas tant les nombres réels ou absolus des diverses années que les moyennes des groupes d'années qu'il faut envisager. Ainsi, la moyenne du nombre des mariages contractés entre l'âge de 25 à 30 ans est de 2,649 pour les hommes et de 2,073 pour les femmes; et c'est autour de ce point central qu'oscillent les chiffres que nous avons donnés ci-dessus. De plus, le seul nombre des mariages ne suffit pas, il faut le comparer au chiffre de la population, et ce sont les rapports (tant par mille habitants)

I Voy.les deux articles de M. Rhenisch dans la Zeilschrift f, Phi'os, und phil, Kritik, tomes LXVIII et LXIX.

qu'on compare entre eux. On constatera encore, même dans ce cas, parfois des différences ; on rencontrera aussi des anomalies, mais lorsque ces cas se présentent, c'est pour le statisticien plutôt une invitation à rechercher la cause de la perturbation qu'à nier purement et simplement la loi.

Du reste, il ne faut pas confondre les lois statistiques avec les lois naturelles: celle-ci indique une certitude, l'autre une simple probabilité. La loi statistique est donc l'énoncé d'un effet, ou mieux d'une résultante probable.

Dans les lois naturelles nous pouvons suivre le rapport direct de cause à effet, nous voyons (en tant que notre savoir ou notre expérience le permet) tous les facteurs en action, nous savons d'avance que la cause va produire son effet. En approchant le feu de la poudre, on sait que l'explosion aura lieu. La physique, la chimie et d'autres sciences, même l'économie politique, fourniraient au besoin de nombreux exemples. Quand le blé devient rare, son prix augmente aussi sûrement que le bateau vide nage sur l'eau. Nous n'avons pas à expliquer ici ces phénomènes , il suffit de les rappeler.

En matière statistique, les rapports de cause à effet sont moins visibles, nous ne constatons souvent que des coïncidences, des post hoc plutôt que des propter hoc, car mainte cause nous reste inconnue. D'une naissance future on ne pourra jamais dire ce sera un garçon ou une fille, nous avons seulement observé qu'en moyenne il naît généralement environ 105 garçons contre 100 filles; encore nous faut-il un grand nombre de naissances — prises au hasard — pour que nous puissions établir la probabilité (la loi statistique] de trouver 105 garçons contre 100 filles. De même lorsque nous constatons que sur 1,000 hommes il en est m qui se marient

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dans Tannée, nous ne pouvons indiquer la cause certaine de ces mariages, car les mariages peuvent avoir été provoqués par des causes très diverses, comme il y a aussi des causes nombreuses qui empêchent les hommes de s'abandonner au penchant naturel qui les pousse vers la femme. La loi statistique est ici une résultante de Taction de toutes les causes favorables ou défavorables, résultante que nous ne connaissons que poste hoc.

§2. -^ LA LOI DBS CnANDS NOMBRES ET LES MOYENNES.

Nous avons dit à plusieurs reprises que la statistique est une science d'observation, c'est-à-dire qu'elle constate et recueille des faits. Mais la réunion des matériaux n'est qu'un travail préparatoire, Tessentiel est d'utiliser ces matériaux pour en faire la base d'inductions, et si l'induction produit une vérité, celle-ci peut devenir à son tour la base de déductions ou de raisonnements. On sait aussi qu'en matière démographique,— lorsqu'il s'agit de l'homme ou de la société, — une seule donnée, un seul fait, ne suffit pas; il n'est pas typique, il peut être un pur accident, ou du moins on doit le considérer comme tel. C'est que les faits démographiques sont l'effet de causes multiples, agissant avec une intensité variable, et il se peut que, dans un cas spécial, l'une des causes l'emporte dans une proportion exceptionnelle; or, une exception n'est pas un type, c'est-à-dire un phénomène constant. Pour obtenir, sinon une constance absolue, du moins une constance approximative, suffisante pour les besoins ordinaires de la statistique, il faut réunir

un grand nombre de faits, — ou de cas individuels, d'unités, — et en faire la synthèse.

Par la synthèse on compense les différences, les écarts; on recherche le point relativement fixe, le centre autour duquel ces différences oscillent: c*est la moyenne, chiffre abstrait, mais non fictif, car il représente des choses réelles, mais en ne s*attachant qu'aux qualités essentielles, et en omettant les qualités accidentelles; on pourrait l'appeler chiffre typique.

Toutefois, la moyenne peut donnerlieu à d'étranges abus. Nous nous rappelons avoir vu une note rédigée par un statisticien qui prétendait avoir été témoin de la journée du 10 août 1 790 ; c'est Michelet qui la lui avait demandée. Dans cette note, après avoir indiqué le nombre des combattants tués par le canon, par le fusil et par l'arme blanche, ce statisticien ajoute : moyenne x (nous avons oublié le chiffre]. On ne peut expliquer cette aberration que par une habitude devenue machinale. Nous sommes même surpris que cette sorte de moyenne ne soit pas plus fréquente. Quand nous voyons additionner des chevaux, des bêtes à corne, des moutons et des porcs, et offrir le total brut de ces animaux , nous nous attendons à une moyenne : la moyenne entre un cheval et un porc ne doit pas présenter une idée bien nette à l'esprit. Pour nous , c'est une absurdité. La première règle, en effet, est de ne prendre la moyenne que sur des objets de même nature, on doit rarement se contenter d'une simple analogie. Autant que possible, on doit chercher à respecter les trois unités : unité d'objet, unité de lieu, unité de temps '. Si vous observez la vente du blé à

* L*UDité de temps et de lieu veut dire qu'on ne doit pas comparer des choses de Paris et des choses de Berlin comme si le lieu élait

Anvers ou à Amsterdam, à un jour donné, prenez la moyenne de toutes les transactions, et vous obtenez un chiffre abstrait qui ne s'éloigne que de très peu de chacun des chiffres réels ou bruts qui ont servi au calcul. Hais ces trois unités, ne sont pas de rigueur pour former une bonne moyenne; vous pouvez avoir besoin de comparer le prix du blé de diverses localités et prendre une moyenne sur Tensemble des marchés d*un pays; vous pouvez aussi avoir à rapprocher des époques, des périodes diverses, des jours, des semaines, des mois, des années, des séries d'années, et à prendre la moyenne journalière, hebdomadaire, mensuelle, annuelle, décennale; mais vous ne trouverez pas logique de comparer une moyenne décennale avec une moyenne hebdomadaire, si ce n*est à titre d'indice et faute de mieux, comme on compare un fait de la douzième dynastie égyptienne un avec fait de la troisième.

Nous avons déjà expliqué l'expression de moyenne typipique (p. ilS]; peut-être serait-il utile d'insister par un exemple caractéristique. Si vous groupez dans un régiment les hommes par rang de taille, et que vous mettiez d'un côté les plus grands et de l'autre les plus petits, — disons, pour

indifférent ; de même relativement au temps pour oe qui s'est passé en 1850 et en t750. 11 faut tenir compte de ces diiTérences dans les rapprochements ; on doit avoir présent a l'esprit que toutes les circonstances ne sont pas égales.

La nécessité de l'égalité des circonstances peut s'appliquer encore à d'autres cas. Par exemple, vous voulez donner le mouvement des banques d'un pays pendant dix ans. Supposez que pendant 9 ans les capitaux de Tensemble des banques est de 20 millions et que dans la 10* année il se fonde une banque au capital de 100 millions, le procédé arithmétique serait de mettre 9 X 20 = 180 -f 100 ensemble 280 divisé par 10, soit 28 millions. Voilà le ti-avail arithmétique; mais il donnerait une fausse idée de la situation ; il faudrait l'éviter, car la statistique n'est pas de Tarithmétique, mais la description d'une situation réelle. C'est une image de cette situation qu*il faudrait donner.

rendre la distinction plus tranchée, les géants et les nains, — la moyenne de la grandeur des géants donnerait le type du géant, la moyenne de la grandeur du nain donnerait le type du nain, c'est-à-dire un chiffre fréquemment vrai, et en somme peu différent de la réalité. Si Ton avait besoin de prendre la moyenne entre la grandeur des géants et celle des nains, on n'aurait plus une moyenne typique, mais une moyenne-indice, qui est également d'un fréquent emploi. La vie moyenne, dont il sera question ailleurs, (chap. vu et xv), puisqu'elle est prise sur des individus de tous âges, est une moyenne-indice; ce sont les moyennes qui répondent le moins aux faits concrets, mais ces abstractions sont souvent indispensables au raisonnement. On nomme amplitude l'écart en plus et en moins, c'est-à-dire la distance d'un extrême à l'autre. On demande aussi à connaître maintenant le nombre des cas formant le maximum et ceux du minimum, et Ton établit des séries. De cette moyenneindice, il faut distinguer ce que Cournot nomme la valeur médiane; ce serait, pour reprendre l'exemple du régiment, l'homme qui, par sa taille, diviserait le régiment en deux moitiés égales, c'est-à-dire qu'il y en aurait autant de plus grands que de plus petits. Lorsque les tailles sont peu différentes, la grandeur médiane et la moyenne sont identiques; mais lorsqu'on a dû prendre une moyenne-indice, le nombre des individus qui dépassent n'est pas identique au nombre d'individus qui restent au-dessous de la moyenne. Nous venons de prononcer le mot de série. La formation de série, la sériation, a été trop souvent préconisée pour que nous ne nous y arrêtions un instant. Elle consiste à grouper par grandeurs presque égales des nombres s'appliquant à une même catégorie d'objets. Par exemple, si, après avoir

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mesuré les jeunes gens appelés au recrutement, on met ensemble tous ceux qui ontune taiUp del,500àl, 550 millimètres, puis ceux de 1,550 à 1^600, ceux de 1,600 à 1,650, de 1,650 à 1,700 et ainsi de suite, on obtient une série, dont le module est 50 millimètres. On aurait pu aussi choisir St5 millimètres et dire de 1,525 à 1,550, de 1,550 à 1,575 de 1,575 à 1,600, ou tout autre module. Le module qui consiste en nombres ronds parait le plus naturel, mais quelques statisticiens ont pensé qu'ils pouvaient choisir n*importe lequel, même par exemple 27 1/2, s'il en résultait une série instructive. En principe, ce qui est arbitraire ne nous semble pas scientifique, nous n*aimons pas qu'on agence une série. Or, si dans une série, nous prenons le plus gros chiffre et que nous le mettions en haut d'une pyramide et si, ensuite, nous classions les groupes de grandeurs plus petites, à gauche, par ordre descendant, et à droite, par ordre ascendant, les groupes formés par des grandeurs dépassant la moyenne, nous aurions une figure qui ressemblerait extérieurement à la suivante :

ISO

Dans ces chiffres il ne s'agit pas de recrutement, nous n'avons pas cru nécessaire de puiser notre exemple dans cette statistique, les tableaux qui s'y rapportent étant très répandus (v. par exemple la Physique sociale, de Quetelet,

Bruxelles 1869, t. I, p. 131). On peut faire des tableaux sériés avec tous les chiffres qui se prêtent au groupement : on forme les groupes, indique dans la colonne de gauche les grandeurs qui leur servent de base et met dans la colonne de droite le nombre d'individus correspondant à chaque grandeur. On calcule alors les nombres proportionnels, en considérant le total des nombres comme 1,000. Ce calcul fait, il est très facile de dresser une courbe comme celle que les chiffres ci-dessus indiquent.

Le nombre qu'on voit en tête de cette courbe, c'est ce que Cournot appelle la valeur médiane, ici 168, elle ne s'éloigne pas beaucoup de la moyenne, car en effet les chiffres placés à gauche de 168 font ensemble 432 et ceux qui sont rangés à droite 400 (432 + 400 -f 168 = 1 ,000). La formation des séries a son utilité, parce qu'elle fait mieux ressortir ce qui est typique, ou plutôt ce qui se rapproche du type. Toutefois, dans l'exemple ci-dessus, ce n^est pas le seul nombre de 168 qu'il faudrait prendre, mais encore les deux nombres les plus rapprochés à droite et à gauche, ici : 126, 150, 168, 148, 129; ces 5 chiffres représentent 5 grandeurs ce sont ces grandeurs (non l'ensemble des chiffres) qu'il faut additionner pour en prendre la moyenne, et c'est seulement cette moyenne qu'on pourra considérer comme typique, car 126 -f 150 -f 168 + 148 -f 129 ou 721 sur 1,000 cas s'approcheront assez de la réalité.

Les séries ont été beaucoup employées pour l'anthropométrie et dans les sciences physiques et naturelles, elles vont surtout aux mathématicien , mais nous ne savons si l'économiste ou l'homme politique en tirera autant de profit pour ses recherches. Ce que l'économiste veut découvrir s'il peut, c'est |Ie rapport entre cause et effet, la sériation

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facilite-t-elle cette recherche? Nous n'avons pas encore pu nous en assurer*.

Expliquons maintenant la figure en chiffres que nous avon^ donnée plus haut. Rappelons d'abord qu*un homme qui mesure la longueur d'une rue, la hauteur d'une maison, et qui répète ensuite celte opération, obtient des chiffres un peu différents; si pour se contrôler, il reprend cette opération plusieurs fois, les résultats varieront chaque fois. Aussi, dans la pratique, lorsqu'on veut obtenir des mesures rigoureuses, on répète plusieurs fois l'opération et on prend ensuite la moyenne des résultats obtenus. Sans une pareille précaution, les deux côtés du tunnel du Saint-Gothard n'auraient jamais pu se rencontrer. Pour l'astronomie aussi il faut répéter les observations et en prendre la moyenne. Quetelet a pris aux registres de l'Observatoire de Greenwich le résultat de 487 observations du passage de la polaire au méridien (ascension droite). On avait pris la moyenne en additionnant les 487 résultats et en divisant le total par 487. On a pu ensuite former une série pour contrôler cette moyenne. Supposons qu'on aura trouvé comme moyenne calculée 5 heures âO minute 3 1/2 secondes, et qu'en fait, on aura noté plusieurs fois 3 1 /4 de secondes, un certain nombre de fois 3 secondes, 3 3/4 de secondes, etc., puis 3 3/4 de secondes, 4 secondes, 4 1/4 secondes, etc. C'est précisément en classant ces 487 observations, réduites plus tard en nombres proportionnels sur 1,000, qu'on a trouvé la série que nous avons figurée page 125.

* On pourra souvent s*en servir pour rectiiier des moyennes absurdes coDune celle-ci : en 1870 une banque nouvellement fondée a fait pour un million d'affaires; cela fait, pour la période 1861-70, 100,000 francs par an.

. Les 168 indiquent TobserTation la plus fréquente, on s*e^t trompé 150 fois d'un quart de seconde en moins, et 148 fois d'un quart de seconde en plus ; 1 26 fois d'une demi seconde en moins, 129 fois d'une demi seconde en plus 74 fois de 3/4 de seconde en moins, 78 fois de 3/4 de seconde en plus, et ainsi de suite.

Il est bien entendu que, pour qu'il soit permis de se servir d'une série, il faut être sûr qu'elle n'a pas été influencée par des causes d'erreur telle que l'imperfection de l'instrument ou de l'observateur (mauvais yeux, manque de sûreté dans la main, etc.). Si rien n'a affaibli la valeur des observations S on peut se demander, d*où vient que les nombres en moins diffèrent si peu des nombres en plus, et qu'on trouve le même phénomène lorsqu'on mesure la taille des conscrits, ou qu'on note les résultats d'un mesurage répété ou d'autres faits. L'explication la plus simple semble être qu'il n'y a dans la nature rien d'absolu, en d'autres termes qu'il n'y a pas de cause unique, mais un concours de causes, dont l'une peut être principale et les autres accessoires, dont Tune peut en partie contrecarrer l'autre. Les faits sont donc des résultantes.

Nous avons déjà parlé des moyennes typiques, celles qu'on prend sur une série de mesures opérées sur un

' « Ce qui est plus remar(|uable encore, dit Uerschel {Phyiique sociale de Quetelet, Introduction, p. 33), c^est que l'adresse avec laquellle les épreuves sont faites n'est absolument d'aucune importance en ce qui concerne la loi de distribution des erreurs. Une conséquence importante suit de là, savoir : que les mesures grossières et sans art de quelque genre que ce soit, dès qu'elles sont accumulées en nombre très grand, peuvent conduire à dès résultats moyens précis. Les seules conditions sont Vanimus mesurandi continuel, l'absence de toute idée préconçue, Texactitude de Téclielle avec laquelle les mesures sont comparées et l'assurance que nous avons toute l'étendue de l'erreur, au moins dans une direction.

même objet, ou qui ne s'appliquent qu'à des grandeurs peu différentes, peuvent se ranger dans la rubrique des moyennes typiques, et il n*est pas nécessaire comme le pense Bertillon de leur donner un nouveau nom : moyennes objectives. Toute réflexion Taite, nous croyons quUl faut rejeter la distinction entre les moyennes objectives et les moyennes subjectives, ces termes n'étant pas appropriés à la chose. La moyenne est une abstraction obtenue par des procédés arithmétiques ou mathématiques connus, et cette abstraction rend des services dont la statistique ne peut pas se passer. C*est un de ses instruments les plus importants.

Un autre instrument, d*un emploi tout aussi fréquent, prend la forme d'un rapport. Un nombre quelconque, par exemple celui des naissances dans un pays, mettons 253,448 enfants, est à lui seul, un renseignement d*une faible portée; mais il gagne beaucoup en importance si Ton ajoute: sur 1,000 enfants il y avait 513 garçons et 487 fillos, du si on lui donne cette forme : contre 100 filles on comptait 105 garçons. Les lois statistiques c'est-à-dire les résultantes douées de constance comme : sur 6 criminels il y a 5 hommes et 1 femme, s'offrent à nous ^ous la forme de rapports.

La manière de présenter les rapports n'est pas sans importance. Autrefois, la forme habituelle, ou du moins de beaucoup la plus fréquemment employée, était celle-ci : 1 à.... ou 1 sur... ; par exemple, dans tel pays il y al naissance sur 28 habitants, 1 décès sur 36, un mariage sur 120. Nous avons lutté contre cet usage, et non sans succès. Nous avons démontré que ce mode de notation était peu logique et peu commode, qu'il exigeait l'emploi de petits chiffres pour exprimer de grandes proportions et de grands chiffres pour de petites proportions. Si 28 est plus petit que

36, 1 sur 28 est une proportion plus forte que 1 sur 36; on ne saisit bien ces rapports qu'après un moment de réflexion, tandis que 4 ^'/o comparé à 3 •/« est une relation comprise au premier coup d'œil. Quatre est toujours plus que 3, même pour le plus ignorant, tandis que 1 sur 25 ne parait plus grand que 1 sur 33 qu*aux personnes habituées à ce genre de calcul. De plus, quel est le rapport entre ^ et ^,? Le calcul, certes, n'est pas bien difficile, mais, en tout cas, il est superflu pour saisir le rapport entre 4 ®/o et 3 ®/o.

Cette forme est aussi préférable dans les cas fréquents où Ton éprouve le besoin de mettre le maximum et le minimum en regard de la moyenne. Ce rapprochement est nécessaire lorsque l'amplitude des oscillations est grande. Selon la dimension de Téoart, on attribuera plus ou moins de valeur à la moyenne. On ne peut pas prendre la moyenne lorsqu'on a, d'un côté, l'âge de 70 à 80 ans et, de l'autre, Tàge d'un jour ou d'une semaine, si ce n'est sur l'ensemble d'une nombreuse population et pour un but dont il sera question ailleurs; encore tend-on de plus en plus à restreindre cette forme de moyenne (la moyenne indice). Lorsque les prix d'une denrée s'élèvent ou s'abaissent brusquement de quantités considérables, la moyenne ne donnerait pas une idée nette de l'état de choses, le maximum ou le minimum sont des compléments indispensables. Mais la constatation de la grandeur des écarts trouve encore une autre application. La différence entre la moyenne et les extrêmes peut être faible ; H. le professeur d*C£ttingen ditalors {Moralstatistik, §61) que le « mouvement» a de la ténacité',

* La ténacité indique que les populations ne sont pas, ou sont peu influencées par les faits ou événements (cherté, guerre, etc.) dont on étudie TefTet sur eux. Le choix du mot n'est pas heureux, car il suppose que les populations ont réagi, qu'il y a eu de leur part acte de

c'est-à-dire que la force d'inertie, ou une moralité supCrieure, ou seulement la force de l'habitude, se manifestent sous une forme qui permet de la mesurer; si l'amplitude est grande, le savant professeur lui attribue de la sensibiliUy c'est-à-dire que le mouvement dénote la sensibilité morale de l'organisme social. Par exemple, prenez la criminalité dans une série d'années; constatez les oscillations autour de la moyenne; mettez en regard du montant des oscillations le prix du blé (ou la guerre, les révolutions, etc.); si, sous cette influence, l'oscillation est faible, il y a de la ténacité; si elle est grande il y a de la sensibilité. C'est au statisticien (au moraliste, à l'économiste, etc.) à tirer de ces rapprochements l'enseignement qu'ils comportent.

Quelle que soit l'amplitude des oscillations, que les écarts soient grands ou petits, on est d'autant plus prés de la réalité que le nombre des observations est plus considérable; c'est ce qu'on a nommé, d'après Poisson, la loi du grand nombre, ce qui ne veut pas dire qu'il ait inventé cette loi, car elle était déjà connue de Bernouilli*. Dans la nature, chaque objet étant un type, il est l'expression exacte des lois qui se manifestent en ou par lui ; dans les matières qui sont du domaine de la statistique, c'est à l'aide des grands nombres, ou des nombres plus ou moins grands, qu'on distingue ce qui est constant de ce qui est Vkriable ou accidentel, en d'autres termes, qu'on établit des lois ou du moins une règle qui, dans la pratique, peut en tenir lieu.

volonté; or, il peut y avoir absence d*effet par suite de la faiblesse de Taction exercée, ou parce que le physique ou le moral des populations n'est pas affecté par ce genre d'action. Le mot sensibilité est mieux choisi et n'a pas besoin d'être explique.

* M. W. Lexis a publié un excellent travail sur le Théorie der Massenertcheinungen (Fribourg i. B., 18'i7j.

Elle admet donc de légères infractions, et Poisson a cherché à calculer la grandeur de l'erreur admissible. Nous donnons la formule de Poisson, simplifiée par OEsterlen.

En 1825, il est né en France 904,494 enfants légitimes, dont 468,151 garçons et 436,443 filles; cela fait, sur 10,000 naissances, 5,175 garçons : de sorte que, lors de chaque naissance, la probabilité en faveur d'un enfant mâle est de 0.5175. 11 s'agit de déterminer de combien ce nombre peut dépasser la moyenne réelle , ou de combien il peut rester au-dessous. Calculons d'abord la probabilité. Soit m = au nombre des cas où le fait s'accomplit, c'est-à-dire où un garçon est né, ici = 468,151 garçons; n = le nombre des cas où il ne s'accomplit pas, soit = 436,443 naissances de filles ; fA = le total de ces deux groupes de cas, ou 904,594 enfants. Il en résulterait que la probabilité de

la naissance d un garçon serait égale à — = ^rrn-Trrr =

0,5157; celle de la naissance d'une fille serait de ~ =

^^'^, = 0.4823. La formule de Poisson destinée à cal-

, . ., . , . 2 V/2. m. n culer 1 écart admissible est la suivante : = qui,

avec les chiffres ci-dessus, produirait 0,0015.

L'écart peut donc être de 0.0015 en plus ou en moins, et cette fraction s'ajoute à 5,175 (à 4,823) ou s'en défalque. Nous préférons à cette formule l'emploi d'un critérium dont la statistique se sert souvent pour apprécier si un chiffre est ou non un grand nombre. On opère d'abord sur le total d'une série d'années, puis sur une série partielle d'années, par exemple : sur 20 ans et sur 4 séries de 5 ans, ou sur 5 ans et sur chaque année isolément; si les résultats sont

très différents, les nombres n'étaient pas assez grands. Il Tant que le nombre ait assez d*unités pour que les qualités communes, durables, caractéristiques, remportent visiblement sur les phénomènes accidentels, contingents; il faut qu*il se forme, pour ainsi dire, un noyau permanent, pouvant servir de type.

Écoutons Laplace (Essai, p. 76) : « Il suit encore de ce théorème (de l'influence de la multiplicité des événements) que, dans une série d*événements indéfiniment prolongés, Yaclion des causes régulières et constantes doit remporter, à la longue, sur celle des causes irrégulières. C'est ce qui rend les gains des loteries aussi certains que les produits de Tagriculture ; les chances qu'elles se réservent leur assurent un bénéfice dans Tensemble d*un grand nombre de mises. »

Quetelet a même vérifié, par une expérience directe, ce principe admis par les hommes spéciaux : que « la précision des résultats croit comme la racine carrée du nombre des observations. » Ainsi, toutes choses égales d'ailleurs, les degrés de précision sont comme les nombres 1, 2, 3, 4, etc. , quand lesobservationssontcomme les nombresl, 4,9,16, etc. Voici comment il raconte cette vérification. « J'ai été curieux de soumettre ce principe à l'expérience. J'ai fait jeter, dans une urne, 20 boules blanches et un égal nombre de boules noires, de sorte que la probabilité était la même, et égale à^, pour prendre soit une boule blanche, soit une boule noire. Après un certain nombre de tirages, le nombre des boules blanches sorties devait être égal au nombre des boules noires; on pourra voir, dans le petit tableau suivant, les résultats successivement obtenus après 4, 16, 64, etc., tirages. Je dois prévenir qu'après chaque tirage, la boule tirée était remise dans l'urne, pour que toutes les circonstances

134 LIVRE II. — PARTIE THéORIQlE.

de Texpérience restassent les mêmes. » Voici le tableau

Nombre

des

booles tirées.

Degré

de

préeUioo.

Nombre des booles bUoehes. noires.

Rapport

des

nombres d-eoolre.

Reproduisons encoro le commentaire de Quetelet, il est' très utile: « La première colonne indique les nombres des boules tirées, et la seconde, les racines carrées de ces mêmes nombres. D*après le principe énoncé plus haut, ces racines expriment les degrés relatifs à la précision des résultats. Dans les deux colonnes suivantes se trouve l'indication des boules blanches et noires qui sont sorties de Turne; ces nombrf»s devraient être égaux entre eux, si la théorie et l'expérience marchaient rigoureusement d'accord. Or, la dernière colonne nous fait connaître le rapport des boules blanches aux boules noires tirées: ce rapport devrait être 1. Mais un pareil résultat n'a été obtenu qu'une seule fois, et seulement après 16 tirages. Cetaccord n'était qu'accidentel, tandis que nous remarquons, au millieudes oscillations des nombres, qu'il y a bien évidemment une tendance à se rapprocher de l'unité par la multiplicaiion des tirages, » L'auteur pense aux rapports : 0.33, 0.78, 0.95, 1 .06, 1 .02. Néanmoins, malgré le passage que nous venons de souligner, car nous croyons à cette « tendance, » il ne faut pas que le statisticien use par trop du calcul des probabilités. Qu'il abandonne aux mathématiciens purs la gloire de faire des tours do force chiffrés, qu'il se tienne plus près de l'expérience, et qu'il ne voie pas dans les chiffres que des nombres, et

LBS LOIS STATISTIQUES. 135

rien que des nombres; que les chiffres lui représentent des choses avec leurs particularités bonnes ou mauvaises, avec leurs qualités constantes ou variables; par conséquent, quel que soit le soin et l'exactitude avec lesquels il a réuni ses éléments, qu'il ne poussse pas trop loin ses déductions, et qu*il n'oublie pas qu*en formulant cette réserve : < toutes choses égales d*ailleurs, » il s'expose à présenter une hypothèse, et que l'hypothèse est à peu près le contraire del'ex* périence.

On comprend que sans vouloir en rien diminuer le mérite de Quetelet, qui a incontestablement fait avancer la science, nous ne saurions le suivre jusqu'au bout; en établissant la théorie de l'homme moyen, il a trop abondé dans son propre sens. Sans doute, nous avons besoin de grands nombres pour établir une bonne moyenne, et la moyenne nous sert de type collectif; mais d'abord un type est une abstraction, ou, si l'on veut, l'image idéalisée delà réalité * ; puis, une moyenne n'est bonne comme nous avons déjà eu Toccasion de le dire , qu'à raison de l'homogénéité de ses éléments. On ne saurait donc faire des moyennes trop compréhensives sans sortir de toute réalité. Ces moyennes rappellent la définition d'un corps réduite à celle d'un solide (les trois dimensions) ou font penser à celle de l'homme (un animal à deux pattes sans plume) que Diogène a ridiculisée en prés^tant un coq plumé. L'homme moyen universel ne représenterait rien à l'esprit et n'aurait aucune utilité pratique. Pour satisfaire celle-ci, et en même temps une théorie raisonnable, au lieu d'une moyenne universelle, il

* Les iH)maDCier8 ont fait d'un type le synonyme d'un caractère et plus souvent d'un ori<?inal. Pour nous, le type, c'est l'ensemble des caractères distinctifs d'un groupe réuni dans un être.

faut des moyennes par groupes ^ Ces groupes peuvent être tantôt un peu plus larges^ tantôt plus étroits; il y aura des groupes par sexe, par âge, par profession, ou aussi à la fois par âge et par sexe, etc., selon les nombreux exemples qu'on trouvera plus loin et dans n'importe quelle bonne statistique. Il ne faut pas, nous ne saurions trop le répéter, que le nombre fasse oublier la chose, la statistique deviendrait ainsi une sorte de rhétorique où les chiffres remplaceraient les mots.

Nous ne pouvons terminer ce paragraphe sans insister sur un point qui a été touché plusieurs fois en passant, mais sur lequel il importe d^arrêter Tattention. La loi, ou mieux, TeiTet d*un grand nombre, n'est pas absolue ; quelque grand que soit le nombre des faits qui se présentent a la fois ou successivement, s'ils sont influencés par des causes variables d'une égale force, peut-être contradictoires, il ne pourra jamais se dégager de loi ni de règle. Celle-ci, loi ou règle, ne se manifeste que s'il y a, dans le nombre, une cause dominante ou constante, accompagnée de causes plus faibles agissant en sens divers, se contrariant et se compensant parfois. Si, calculant un grand nombre de cas, on trouve que la vie moyenne dans un pays est de trente-cinq ans, cela ne voudrait pas dire autre chose que la cause dominante qui empêche l'homme d'être physiquement immortel est secondée d'une part, contrecarrée de l'autre, par une série de causes secondaires qui, abrégeant la vie de l'un, prolongeant celle de l'autre, portent la moyenne à trente-

* Poisson, qui a pourtant fait un gros livre pour démontrer l'influence des grands nombres, demande également le groupement. Ainsi, p. 159 de ses Recherches ^ il veut que la vie moyenne soit établie (( séparément pour les hommes et les femmes , pour les différents États et pour les diverses parties du royaume. »

LES LOIS STATISTIQUSS. 137

cinq ans. Et si les matériaux permettaient d'établir ce calcul par sexe, par profession et d*après d'autres catégories, on trouverait pour les uns peut être trente-quatre ans, pour les autres trente-six ans, ou tout autre chiffre supérieur, inférieur ou intermédiaire.