PHÉNOMÈNES D'INDUCTION
H. Conservation de l'énergie. — On doit à Helmholtz et à sir Thomson les démonstrations de ce fait que les phénomènes d'induction sont une conséquence nécessaire du principe de la conservation de Ténergie.
Considérons un système formé d'une pile dont le courant traverse un conducteur maintenu fixe, dans le voisinage d'un aimant, également maintenu fixe. Le courant est constant et simplement régi par la loi d'Ohm. On a donc :
E= Rio
et l'expression de la conservation de l'énergie est :
Elo dt = RVodt 0)
exprimant que pour chaque instant très court dt, le travail fourni par la pile sous forme électrique est totalement dépensé en chaleur dans le circuit.
Abandonnons maintenant le conducteur et l'aimant à euxmêmes. Il se produit un mouvement relatif de l'un vers l'autre, résultant du travail des forces magnéto-électriques, devenues libres d'agir.
Ce travail ne peut pas être emprunté à une autre source que la pile qui est la seule source d'énergie en jeu dans l'expérience. Le courant ne peut donc pas rester !« tant que le mouvement se produit. Il prend à chaque instant une nouvelle valeur I déterminée par l'équation.
Eldf =:RI« dt + dT
8 MACHINES DYNAMO-iÉLECTRIQUES
Or, on démontre que le travail rfT des forces électro-magnétiques est égal au produit du courant par la variation du flux de force qui traverse le circuit électrique.
On a donc :
dT=ldf
et l'équation (2) devient :
Edt= RI dt + dr ou bien :
12. Force électromotrice d'induction. — L'intensité à chaque instant est donc celle qui existerait si à la force e. m. E de la pile il venait s'ajouter une force électromotrice nouvelle égale à — -^ . Cette force est négative dans le cas considéré où le système est abandonné aux forces électro-magnétiques, et df est positif. Si le mouvement avait eu lieu en sens inverse de TeiTort des forces électromagnétiques, la force électromolrice d'induction serait positive, df étant négatif. Dans ce dernier cas, il aurait fallu, bien entendu, faire intervenir une énergie étrangère au système, telle que la force musculaire de l'expérimentateur.
La force électromotrice d'induction a donc pour expression générale :
""-dt
Sous cette forme, on voit qu'elle est indépendante de E, R et L et n'est fonction que du déplacement plus ou moins rapide du conducteur dans le champ de l'aimant. Elle donne naissance à un courant i, variable avec elle à chaque instant, et qui s'ajoute algébriquement à celui que produit la source. Mais, comme il est indépendant de ce dernier, il doit aussi se produire dans un circuit fermé ne renfermant au préalable aucune source et, par suite, aucun courant. C'est, en effet, ce que prouve l'expérience : mais, dans ce cas, l'énergie électrique qui apparaît est évidemment toujours empruntée à la source d'énergie mécanique qui déplace le système. Quel que soit le sens du mouvement, il y a une
résistance éprouvée, et le travail dépensé se retrouve sous forme électrique dans le circuit.
13. Induction en circuit ouvert. — La variation de flux df dans l'intérieur du circuit fermé exige que ce flux ait été coupé par les côtés du circuit. Chaque élément mobile en coupe donc une partie. D'autre part laforce e. m. totale peut être considérée comme la somme algébrique des forces e. m. élémentaires qui se développeraient dans chacun des éléments. On peut donc dire que chaque élément de circuit est le siège d'une forcée, m. proportionnelle au flux coupé par lui à cet instant, ou, en d'autres termes, proportionnelle à l'intensité du champ magnétique au point oîi il se trouve.
Cette manière de voir, plus générale, permet de prévoir qu'un conducteur formant un circuit ouvert sera encore le siège d'une force e.m. et qu'une différence de potentiels s'établira entre ses extrémités. L'expérience justifie encore cette manière de voir. On dit donc : que « la forcée, m. est numériquement égale au nombre de lignes de forces coupées dans l'unité de temps », ou bien « qu'elle égale la dérivée par rapport au temps du flux de force embrassé par le circuit ».
Un cas particulier remarquable est celui dans lequel un circuit fermé, fixe, se trouve dans un champ variable, mais dont la distribution ne varie pas. Il y a courant induit, mais tous les points du circuit restent au même potentiel. Ceci n'a rien de paradoxal, car chaque élément du circuit participe à part égale à la force électromotrice et à la résistance.
Une force électromotrice n'est donc pas toujours nécessairement accusée par une difl'érence de potentiel, lorsque le circuit est fermé. Mais si Ton coupe ce dernier, ses diflërents points se trouvent à des potentiels qui vont en augmentant d'un bout à l'autre, et la différence entre les extrémités est égale à la force électromotrice définie comme ci-dessus.
14. Conservation de l'énergie dans rinduction. — Appelant e la force électromotrice d'induction, l'équation conservation de l'énergie est :
EI(i( = e Idt + RPrft
L'intégrale de la quantité RP dt est une quantité de chaleur développée dans le fil, mesurable en calories. Celle ^^ e\dt est
une certaine quantité de travail qui est apparente et mesurable dans Texpérience fondamentale qui nous a servi à établir la formule de la force e. m. d'induction.
Avant le mouvement, le courant avait pour expression I. = g.
Pendant le mouvement, le courant est variable à chaque instant et a pour valeur :
On peut donc considérer le courant I comme étant la somme algébrique due à la superposition du courant primitif L et d'un autre courant g , positif ou négatif, suivant les circonstances, et qui est le courant d'induction.
Or, lorsqu'on lance le courant dans un solénoïde, contenant ou non un noyau de fer, on observe que l'intensité n'atteint pas immédiatement sa valeur de régime, mais passe par la série des valeurs intermédiaires. A la rupture, on observe aussi une prolongation du courant, qui se manifeste par une étincelle.
Il y a donc encore des courants induits, ou plus exactement, des forces e. m. d'induction. Celle qui se produit lors de la fermeture du circuit est inverse de celle de la source. Elle affaiblit le courant pendant les premiers instants, et tend à retarder l'établissement du régime permanent. Celle de la rupture est directe : elle tend à
Fig. 1.
prolonger le courant et à retarder encore le régime définitif qui correspond au courant nul.
Si Ton porte le courant en ordonnée, et le temps en abscisses, l'on obtiendra une courbe analogue à celle de la figure.
S'il n'y avait aucune force e. m. d'induction, le courant de régime, égal à B s'établirait immédiatement ; et, lors de la rupture, il retomberait brusquement à zéro, en G A.
Mais la courbe réelle est M C D.
La surface B M représente la valeur de Fintégrale :
lo
f(lo - 1) dt o ou d'après ce qui précède :
C'est donc la quantité d'électricité qui résulte de Textracourant de fermeture.
La surface C AD a pour valeur :
flodt=p^dt lo
C'est la quantité d'électricité qui circule après le commencement de la rupture du circuit, grâce à la force e. m. induite à la rupture.
Ces deux quantités sont égales. En effet, les forces e. m. d'induction, à la rupture et à la fermeture, sont dues à une même variation du flux de force, qui passe d'abord de zéro à une certaine valeur LI^ proportionnelle à lo, puis de LIo à zéro.
Dans cette expérience, on reconnaît qu'une certaine quantité d'énergie égale à
Celdt =Çd{Ll)l, dt = ^
a été emmagasinée quelque part, sous une forme inconnue, lors de l'établissement du courant. A la rupture elle est restituée, et se manifeste par l'étincelle. Elle arrache les particules de matière des électrodes, les échauffe et les enflamme.
La forme sous laquelle s'emmagasine cette énergie est inconnue, ainsi que l'endroit môme de la matière où elle se trouve. Il y a, cependant, de fortes raisons de croire qu'elle produit une certaine tension moléculaire de la substance aimantée, que ce soit de l'air ou du fer, tension qui réagit élastiquemenl lors de la rupture du circuit.
L'établissement d'un champ magnétique serait donc analogue, dans une certaine mesure, à l'opération qui consisterait à tendre un ressort. Celui-ci, une fois tendu, conserve emmagasinée une quantité déterminée d'énergie qui peut redevenir apparente par sa détente.
Toutefois, le ressort tendu ne demande plus aucun travail pour être maintenu dans cet état. Le champ magnétique ne pourra être maintenu dans un circuit ne comprenant pas de pièces d'acier dur, que par une dépense continue. L'acier trempé seul conserve à un haut degré la force magnétique. L'air n'en conserve aucune trace; et les différentes espèces de fer en conservent d'autant moins qu'elles s'approchent davantage de la constitution chimique du fer pur.
15. Coefficients d'induction. — Dans les formules ci-dessus L est le coefficient de self-induction du fil. Ce coefficient dépend non seulement de sa longueur, mais aussi de sa forme. Ainsi un certain fil peut circonscrire un cercle de diamètre rf. Mais il peut être enroulé de manière à circonscrire deux cercles de diamètre -5- ou n de diamètre — ; et la self-induction peut être différente dans chaque cas.
Si deux circuits sont juxtaposés, et qu'on fasse varier le courant dans Tun d'eux, une variation de flux se produira à travers l'autre en même temps qu'à travers le premier. Le second circuit sera donc aussi le siège de forces e. m. d'induction, et on dit qu'il y a induction mutuelle entre eux.
Toutes ces forces e. m. d'induction sont proportionnelles, à un moment quelconque, à la vitesse de variation du flux à ce moment. On peut donc écrire en général :
Comme, d'autre part, on à aussi:
dl On en conclut de suite :
df=U di
Le coefficient K, qui reçoit le nom de coefficient dlnduction, est donc numériquement égal au flux qui traverse le circuit, induit lorsque le courant inducteur est égal à Tunité.
S'il s'agit d'un seul circuit, il est son propre circuit induit. Le coefficient prend le nom de c. de self-induction^ et se désigne généralement par L.
S'il y a, au contraire, deux circuits en présence, chacun d'eux réagit sur lui-même, et il y a de plus une action mutuelle. Il y a donc à considérer non seulement les coefficients de self-induction L et L', mais aussi le coefficient d'induction mutuelle M.
16. Calculs de coefficients d'induction. — Les valeurs de ces quantités peuvent être parfois calculées, dans le cas de bobines de formes simples.
Lorsqu'il s'agit, par exemple, d'un solénoïde de gi'ande longueur, ou bien fermé sur lui-même de manière à ne présenter aucun pôle magnétique et ayant n^ spires par centimètre de longueur, le flux, pour le courant 1 est égal à
47t Tîj s
S étant la section du solénoïde.
Comme il y a aussi m, spires induites, le coefficient de self-induction sera
L = 4:: ni S
Si un second solénoïde est superposé au premier, assez intimement pour qu'on puisse considérer qu'ils ont même section S;. et s'il possède n^ spires par centimètre de longueur, le coefficient d'induction mutuelle sera évidemment le même, quel que soit celui des deux qui soit inducteur par rapport à l'autre. La valeur en sera
M = iir Wj w, S
Enfin, ce second solénoïde aura aussi sa self-induction
L' = 4ir «a* s
et on voit de suite qu'on aura nécessairement la relation
