DÉFINITION DES VALEURS MOYENNES- - ÉQUATIONS DU COURANT
182. — Les machines dites à courants alternatifs sont celles qui donnent des courants dont la valeur est variable à chaque instant, et qui sont alternativement positifs et négatifs.
Un tel courant peut donc se représenter en fonction du temps par une certaine courbe telle que celle de la figure 5.
Ces courbes peuvent s'obtenir par points successifs, ainsi que Fa fait le premier M. Joubert dans sa remarquable étude de la machine Siemens, et comme nous Texposerons plus loin.
Leur forme diffère plus ou moins de celle d'une sinusoïde, toutes les conditions de la construction intervenant pour la modifier.
Mais on sait que, d'après Fourier, une fonction périodique quelconque peut être représentée analytiquement par une série de termes contenant le sinus de la variable et ses multiples.
L^équation de la force e. m. peut donc s'écrire :
e=E, sinÇf 4- E,sin2Ç(f-9>,) + ...
Dans cette série, les termes qui suivent le premier représentent les sinusoïdes qu'il faut superposer à la première considérée
comme sinusoïde primitive^ pour obtenir la loi exacte du phénomène.
Il est facile de comprendre qu'une théorie analytique dans laquelle il faudrait faire constamment intervenir une série, ne saurait être d'une utilité pratique réelle, en raison de la longueur des calculs.
Aussi prend-on le parti de négliger les termes supérieurs au premier et d'admettre que les phénomènes suivent la loi sinusoïdale simple. Ce n'est là qu'une approximation, mais elle se justifie par quelques raisons.
M. Joubert a montré que pour la machine Siemens, la forme de la courbe diffère peu de celle d'une sinusoïde, et il en est très probablement de même de toutes les machines dont Tinduit ne contient pas de fer.
Pour d'autres types, la différence peut être plus grande, il est vrai ; mais il faut de toute nécessité ou renoncer à toute théorie analytique, ou admettre les simplifications qui la rendent possible. Or, les résultats pratiques qui ont été obtenus de la théorie simple telle qu'elle a été établie par MM. Joubert et Hopkinson ont certainement jeté un grand jour sur la question ; et si, ici encore, le calcul ne peut indiquer que le sens et Tordre de grandeur des phénomènes, ces résultats, pour ne pas comprendre leur exactitude numérique, n'en sont pas moins précieux.
Aussi trouvera-t-on peu justifiée l'opposition que quelques électriciens étrangers ont faite à cette étude analytique simplifiée des courants alternatifs.
183. — Dans ce qui suivra, nous conserverons toujours les mêmes notations, dont voici le tableau :
e force e. ra. à un instant donné i courant — — — f flux de force — —
9 \ valeurs du maximum de ces quantités
I \ leurs valeurs moyennes définies comme ci-dessous
T durée d'une période complète, ou temps périodique i le temps, variable principale
m = •=- , employé pour simplifîer les expressions, homogène à une
vitesse angulaire R une résistance L un coefficient de self-induction
184. Valeurs moyennes. — On peut définir les valeurs moyennes du courant variable de deux manières différentes : lune, en partant de la loi de Faraday, Tautre, en partant de la loi de Joule.
Considérant une demi-période
T (fig. 168) : Pendant le temps ^
correspondant, il a circulé une quantité Q d'électricité et on peut ^'«- ^^^•
prendre comme valeur moyenne du courant celle du courant constant qui aurait produit la môme circulation dans le même temps.
Soit (I) cette intensité, la définition en est exprimée algébriquement par :
Or, on a, par hypothèse ;
Idt
D'où:
et par conséquent :
i = 3 sin mt
ml=f^-
smm* dt=z —
Telle est la première forme.
Ou peut obtenir la seconde en la définissant : le courant constant qui produirait le même travail d'échauffement dans le même temps. Ce qui s'exprime algébriquement par :
RP
Rt* dt
OU en remplaçant i par sa valeur
sin' mt dt
— co8 2m< ,, M*T ai = — ; —
et, par suite,
Cette moyenne est plus élevée que la précédente. Leur rapport est^=l,H
C'est la dernière seule que nous considérerons dans la suite et c'est aux quantités définies de cette manière que se rapportent les symboles El F, de telle sorte qu'on a aussi, par définition :
yjl \/2
Ces valeurs peuvent être obtenues de suite sur la sinusoïde représentative : on voit de suite, en efTet, que la valeur instan-
tanée t prend la valeur 1 précisément au temps -g-
d'où
81D mt = "7= sm* mt = cos» mi=z -■ V2 2
La valeur moyenne est donc égale à celle que prend le courant après 1/8 de période.
185. Equations de courant. — Par suite de leur nature alternative, les courants produisent soit sur leur propre conducteur, soit sur les conducteurs voisins des actions d'induction très considérables. Aussi les coefficients d'induction prennent dans les formules une importance capitale.
Supposons d'abord qu'il n'y ait à considérer que l'action du conducteur sur lui-même, c'est-à-dire la self-induction.
On a, en général,
e-L^=Ri (i)
équation différentielle du premier ordre dont il faut tirer la valeur det*.
Prenons comme origine des temps le moment où la force e.m. est nulle ; nous aurons :
e z= 6 sin mt
Quant au courant, rien ne permet de supposer qu'il sera nul aux mêmes instants que la force e.m. ; nous lui supposerons un retard cp, et nous écrirons :
i =r 3 sin m (t — o)
Différencions deux fois, il vient :
j-=zm^ cosm(t — f) TTj = — m* 3 sin m (< — î>) = — mH
Cette formule jè = "~ ^*^ résultant de la propriété de la fonction de se reproduire à un coefficient près à la deuxième dérivation, sera d'un emploi continuel dans ces calculs.
L'équation (1) différenciée, donne :
Eliminant j entre ces deux équations, on arrive à : (R»+tii«L«)i=Re-.L^
' Il y a deux méthodes pour résoudre cette équation, et toutes les équations analogues. L'une, directe, par élimination de ^ à Taide de la difTérentielle seconde; c'est celle que nous développons ici. La seconde, consiste h mettre a priori l'intensité sous la forme :
i =s a »\n mt -*- b coê mt (\y
Substituant dans (1) cette valeur à t, et celle de sa dérivée à £, on obtient une équation en sin mt et cos mt qui doit être satisfaite pour toutes les valeurs de ^ car c'est une identité. Donc, en annulant séparément les coefficients, on en tire les valeurs de a et 6, qui substituées dans (1') donnent la solution.
Cette seconde méthode est plus pratique lorsque les équations sont compliquées, et permet parfois d'interpréter les résultats quand la résolution des équations es t trop laborieuse.
Remplaçant :
e par 6 sin mt
e di
-jj par m • cos mt
On a
m« 4- m* r«\ i == - l<i\n mt J
(R» + m» L») i = | /"sinnit + *^cosmt]
•ni
Posons "ô- = %• ^?> ^t développons :
(R« + m«L«)t = |5lLML:^)
R cos m r et en remplaçant cos m ppar sa valeur / ^ ^ on a finalement :
-7====== sin m (i — <p) (3)
VR* + m* L« ^ . ^ w
Cette formule montre
1*" Qu'il y a bien un retard entre la sinusoïde du courant et celle de la force e/m. et que ce retard <p, défini par tg m cp = ^ dépend de la résistance, delà self-induction et de la vitesse.
2" Que le maximum 3 du courant n'est pas tt , mais plus petit
et égal à , ^ g , c'est-à-dire dépendant encore des trois quan-
tités énoncées.
186. Représentation graphique. — On peut, àTaide de procédés simples représenter graphiquement les résultats des calculs faits sur les courants alternatifs lorsqu'on admet la loi du simple sinus (fig. 169). Soit une ligne OH : si on la fait tourner autour de 0, sa projection sur X X' représentera à chaque instant M sin a.
Si Ton prend pour M la valeur maximum S d'un courant alternatif donné et si Ton prend pour durée d'une révolution de M le temps T correspondant à une période, la projection M' de M sur X X représentera la valeur du courant pour l'instant considéré, défini par l'angle a. Une valeur quelconque de M' est donc égale à i = sr sin -;p f, le temps t étant défini par — T.
Cette remarque est le point de départ de la méthode de la repré-
Fig. 169.
soit des forces électro-
sentation graphique des phénomènes alternatifs, représentation dont le professeur Blakesley a fait le plus heureux emploi.
Ces tracés graphiques ont le double avantage d'être plus parlants que les formules algébriques, et de permettre rinterprétation de résultats obtenus à Taide du calcul intégral dont l'emploi est indispensable pour ces phénomènes, mais n*est pas à la portée de tout le monde.
Pour les employer logiquement et utilement, il faut que toutes les lignes analogues d'un diagramme représentent des quantités homogènes, c'est-
^ >. à-dire, soit des courants,
motrices.
Cependant, on pourra sur un même tracé avoir une ligne représentant le courant, et une autre qui représentera, par exemple, non pas la force e. m., mais le courant fictif qui serait dû à cette force e. m. agissant sur une résistance égale à celle qui est en circuit, mais dépourvue de self-induction. C'est une manière indirecte, mais très exacte, de la représenter. Ainsi, pour le cas que nous venons de traiter : soit A la valeur de | (fig. 170).
De menons, en arrière par rapport au sens supposé de rotation une droite B faisant avec A Tangle mp défini par
tg. Wî^ = -^
et menons AB perpendiculaire sur OB.
La ligne B représente, en grandeur et position, la valeur du courant t.
Elle est bien, en effet, en retard sur A qui représente 6, de la
valeur mcp, et l'on a
OB = OA cos m y
% ^ ^ cos m f»
or Texpression
& i =r . === sin m (/ — ©)
VR« + m» L* ^ ^^
donne pour valeur du maximum S^, qui se produit pour
sin m (/— ç) = 1.
\/R* + wi* L> or comme on a, par définition
il en résulte
. mL
ig m y = —
cos m 9 = j
^ VR* + m- L»
d'où Ton conclut, en remplaçant \/r« -f tw« l* par l'expression que Ton tire de cette dernière formule :
t = -^ cos m o sm m (f — <p)
I = •=• cos m f
Les expressions (3) et (4) sont identiques. Pour les tracés gra- ^ ^ phiques, il est toujours plus aisé de mettre en évidence les lignes trigonométriques.
Enfin, on peut aussi (fig. 171) représenter par OM le courant réel maximum, et chercher à représenter le courant fictif maximum - qui définirait la force e. m.
Le tracé consiste alors à mener par M la ligne faisant l'angle m^ avec MO, et de mener OP perpendiculaire à OM (fig. 171).
La ligne MP représente alors la force e. m. Elle Fig. 171. ne passe plus en 0, mais cela ne change rien à la
valeur de sa projection sur un axe vertical quelconque. On voit que cette projection est passée par le maximum de sa valeur avant celle de OM, et le temps qui sépare ces deux phénomènes est bien défini par l'angle m^.
Ces quelques mots de développement sur le tracé graphique le plus simple suffisent pour indiquer l'utilité des diagrammes et
dispenseront de plus amples explications pour les cas plus compliqués qui se présenteront par la suite.
187. Courant dans un circuit présentant deux parties douées de self-induction.
Dans les formules précédentes, L peut être le coefficient de self-induction de la machine, qui est toujours très notable. Le reste du circuit est alors implicitement supposé formé de résistances simples, à self-induction négligeable telles que des fils rectilignes ou des lampes à incandescence.
Mais le cas peut être tout autre, et on peut avoir en circuit un organe récepteur comportant une self-induction N.
Soit R la résistance de la première partie et ?• celle de la seconde.
L'équation générale est alors.
On reconnaît, à première vue, que tout se passe comme si Ton n'avait en circuit qu'une seule self-induction égale à L -f N égale à la somme des deux autres. En d'autres termes, l'effet des self-inductions s'ajoute de même que celui des résistances.
Mais le diagramme représentatif peut se tracer en considérant les deux séparément, et permet de voir comment varie la force e. m. ô nécessaire pour obtenir un certain courant quand on fait varier l'un des deux éléments, N par exemple.
Soit (fig. 172) A le courant : on la divise par le point B en deux parties proportionnelles à R et r.
Du point B menons les droites faisant les angles m a et m ^ définis par ^
m L tg m a = -—
tg m p = — -
Menons OC et AD perpendiculaires à A, et joignons CD.
La ligne CD représente, en grandeur et en phase, la ligne de force électro-motrice (c'est-à-dire le courant fictif g-^^j on a, en effet :
__ C O + AD r tgm p + Rmtg a ig»»? — ÔB + AB"" R-fr
fwN wL
r "^^ R to(L + N) ~ R +r "" R+ r
La phase est donc bien celle qu'indique la solution de Téquation (5).
Enfin CD est bien la grandeur exacte, car on a :
CD=-2^=-? = « COS 971 ^ cos m (p
188. Courant sur un circuit présentant une self-induction et une induction mutuelle. — On suppose maintenant un cas plus général encore : celui où le circuit parcouru par le courant alternatif agit aussi par induction sur un circuit secondaire. Les courants dans les deux circuits sont alors liés entre eux par une certaine relation.
En supposant encore, pour plus de généralité, que dans le circuit secondaire, il existe aussi un force e. m. périodique, indépendante de celle qui est due à Tinduction mutuelle^ on a les équations suivantes, où M est le coefficient d'induction mutuelle.
En différenciant l'équation (7), et en y remplaçant -j^ par — m% et -^ par ~ m\
on a :
de,
^^--fL,m»î, + Mm«i, = R,^ (8)
Et, en éliminant -^ entre les équations (7) et (8), et en différenciant l'équation résultante, on arrive a :
et de cette expression, on tire aisément Texpression de la force e. m. d'induction — M-^ , qui agit du second circuit sur le premier. C'est, en effet :
Cette expression peut s'écrire en posant :
-M§ = e + pi:+X§ (9)
X=VLt
L'expression (9) montre que tout se passe dans le circuit primaire, comme si, le secondaire étant supprimé, on ajoutait une résistance + p une self-induction — X et une force e. m. s qui présente un certain retard (p» sur e,.
La considération des quantités p, X et e permet de mettre l'équation générale du courant U sous la forme
et d'en obtenir immédiatement l'expression.
Elle montre de plus, que les constructions graphiques construites avec les formules où ne figure pas l'induction mutuelle M, subsistent encore pour les cas où elle intervient pourvu qu'on donne aux symboles les valeurs convenables, telles qu'elles sont définies par les équations qui viennent d'être développées.
189. Courant sur une ligne contenant un condensateur. — Soiten une source à courants alternatifs (fîg. 173), soit AMBO un circuit
supposé pour le moment dépourvu de self-induction. En A et B, on relie les armatures d'un condensateur.
Comme la différence de potentiels en ces points est constamment variable, le condensateur se I ^ charge et se décharge alternative-
^ ment. Les courants ne peuvent donc plus être les mêmes dans les deux
Fif?. 173. ^^ A • •*
parties du circuit Soient r et t les résistance et intensité en AOB et R et i' les mêmes quantités en BMA.
Soit V la différence de potentiel* entre A et B G la capacité du condensateur.
L'application des lois de Kirchoff ou circuits ACB puis AMBC donnent :
ri = ô sin mt — V (10)
Ri' = V ^11)
enfin on a aussi
La résolution de ces équations est facile.
De (H) on tire
Rdr=:dV
De (H) et (12)
t = r + CR§ De (10)
(R + r) 1* + CRr ~ = fi sin mt
Eliminant maintenant -r- entre cette équation et sa dérivée, on obtient rapidement la solution donnée par les équations suivantes :
^ « (R + r) sin mt — CR rm coswit
V = Rr = R... etc
^ fi . , R (R + r) sinme — CR rm cos mt\
i = ô 1^. sinm/- (R-f-r)«+CWrîlï? )
CRn»
En posant tang. m i( = ^ , il vient
sin m[t —^)
• — ô / sin mi ___ R sin m (< — ^) \
* "" V r r v^(R + r)* + C*R» r* mV
Représentation graphique. — On transforme d'abord les formules. Le courant i' peut s'écrire de suite
fi
cos m ({/ sin m (i — ^)
•-R + r Le courant i se met aisément sous la forme
i = ^ V^(R sin» m^-^r rf -f R* sin» m tV cos' m^ ^j^ ^ ,^ __-^^ r (R + r) ' •
avec
tang. m « =
R sin m <|; cos m <{/
V^{R sin» m 4^ + *•)•+ R' sin» m ^ cos» m <}/
Cela posé : soit OC (fig. 174) la ligne qui représente 6, force e. m. maxima de la source. On la divise par le point D proportionnellement à Retr.
Menons CE sous Tangle ^, et pour D menonslui la perpendiulaire DE. Enfin joignons OE.
Dans ce tracé :
CE est le maximum de Yongrandeuret en phase
EO est celui de ri en grandeur et en phase DOE est Tangle ma défini plus haut
En effet
Fig. 174.
