V« = RI'=Ô
Or
D'autre part
cos m 6
CE = CDcosmil; = ô
cos m ^
- « >J(r + R sin» m <|/)» + R» sin» m ^ cos» m <}/ *" R-l-r
Or on a bien :
HD = ED sin m il = CD sin» mi> = 6 -— ; — sin* m ^
EH = CD sin m 6 = 6 rp- — sin m 6 cos m ^ et par suite OE = V^ÔH* + ËIT = if-Z7 vV + R sin» m ^) + R^ sin> m ^; « cos m 6
. Enfin il est bien évident que DOE n'est autre que l'angle m*. On voit par cette construction, que quelle que soit la capacité du condensateur, on aura toujours OE > OD et CE < CD. En d'autres termes, la force e. m. dépensée en avant du condensateur est plus grande, et celle dépensée en arrière est plus petite que s'il n'y avait pas de condensateur.
190. — Un cas particulier intéressant du problème ci-dessus est celui où la partie AMB n'existe pas, et où Ton a simplement une capacité C où l'extrémité d'une ligne r.
On trouve alors facilement le courant :
* ~ \/T+W^^^^^^^^ - p) =-sin w p cosm{t - p) (13)
avec :
tang m p = C m r
La différence de potentiels aux bornes du condensateur est alors : V = S sin m« — ri
en remplaçant i par sa valeur, et développant on trouve finalement :
y^gSiDm(t-p)
cos m p ^ '
dont le maximum est
cosmp *
On tire des équations (13) et (14) ces conséquences intéressantes, que :
1* La phase du courant est en avance de ( | — p j sur celle de la force e. m.
2* La différence de potentiels V est en retard de p sur la force e. m., mais ses valeurs sont plus élevées que celles de cette dernière.
La représentation graphiaue est celle de la figure 175, où A étant - , OB représente le courant réel en grandeur et en phase et OC représente- , c'est-à-dire le courant fictif qui serait dû à la différence de potentiel Y.
On voit donc que le fait de relier un condensateur aux bornes d'une source à courants alternatifs a pour effet d augmenter la Fig. 175. différence de potentiel à ses bornes, la ma-
chine étant supposée dénuée de self-induction.
191. Courant sur un circuit ayant une self-induction et une capacité. — Ce problème est évidemment le vrai problème général : mais nous avons exposé d'abord le précédent parce qu'il est plus simple, et encore aisé à traiter analytiquement.
11 n'en est plus de même de celui-ci, pour lequel la résolution des équations différentielles, quoique simple est extrêmement laborieuse.
Elle est du reste inutile, car les tracés graphiques précédemment établis permettent de compléter le diagramme en tenant compte de l'effet de la selfinduction.
Soient en effet les valeurs L et N dans R et r respectivement, et soient m^ et my les angles correspondants définis comme d'habitude (fig. 176).
On sait que pour en tenir compte, il faut pour chacune des
Fig. 176.
parties R et r augmenter les forces e. ni. dans le rapport
cosmp
et
cosmY
Par suite, de Ë nous menons, dans le sens du mouvement EM
faisant tn^ avec EC et EN faisant ;/îy avec EO. Ensuite, nous menons CM et ON perpendiculaires surCEet OE, et nous joignons les points M et N ainsi obtenus.
La ligne MN représente alors, en grandeur et en phase, la force e. m. nécessaire pour produire le courant observé, comparativement à celle mesurée par OC, qui donnerait le même courant en Fabsence de capacité et de self-induction.
En d'autres termes, Teffet de ces quantités est de réduire le ^ courant dans le rapport de OC à MN, et
les grandeurs EM et EN donnent en grandeur et en phases les forces e. m.
absorbées dans chacune des parties du circuit.
Ce diagramme permet de mettre en évidence un cas particulier simple. Pour une certaine valeur de L supposé varier pendant que N reste fixe, la ligne MN tombe perpendiculairement sur ON, et prend une valeur minimum. Donc si L ^'^^' ^"- est petit, on a intérêt à l'augmenter jus-
qu'à la valeur convenable, et Ton se trouve ainsi en présence d'un cas remarquable où une self-induction qui augmente a pour résultat d'augmenter aussi le courant.
Enfin, si le circuit ne se prolonge pas au delà du conducteur, (R = c»), la valeur de tang mi( des formules précédentes devient simplement Cw/*, et la construction est la suivante (fig. 177) :
Sur OC, menons CE sous l'angle mi^ et OE perpendiculaire à CE. Puis menons EP sous l'angle my et menons OP perpendiculaire à OE.
La ligne CP est alors la force e. m. nécessaire à produire le courant observé. Or, on remarque que, suivant la valeur de wy, le point P peut être amené à tomber en un point quelconque de la ligne OP'. En particulier, on peut l'amener, en faisant varier my
c'est-à-dire C, a tomber en P', perpendiculairement sur cette ligne, ce qui correspond au minimum de sa valeur. Si cela est, les angles wy et mi/ sont égaux et Ton a (^ — = ~) ^'^^ Cm' L = 1.
Ce problème est d'ailleurs facile, ainsi réduit au cas particulier, à traiter analytiquement. En partant des formules :
td* = CdV
6 sin nit — L -n^ — V = ri
On obtient facilement :
. g Cm (1 — Cm' L) cos mi 4- C* m* r sin mi
* " (1 — Cm* Lj« + C« m» r*
Si Ton a la relation indiquée 1 — Cm* L = 0, on en tire.
E sin mt
De cette expression, on conclut que le courant i est exactement en grandeur et en phase, ce qu'il serait s'il n'y avait ni capacité ni self-induction. Le diagramme indique le même résultat; la force e. m. CP' qui produit le courant observé est exactement égale en grandeur et en phase à EO, force e.m. réelle.
On peut donc tirer des formules précédentes les conclusions suivantes :
1° L'introduction d'une self-induction dans un circuit alternatif retarde la phase du courant et exige qu'on augmente la force e.m. nécessaire pour obtenir le même courant que précédemment.
2* L'introduction d'une capacité dans un circuit alternatif avance la phase du courant et permet qu'on réduise la force e.m. nécessaire pour obtenir le même courant que précédemment.
3" Pour des valeurs convenables des deux quantités, il peut y avoir compensation des effets, ou bien l'un ou l'autre peuvent prédominer.
On comprend donc que l'on pourra avoir intérêt à donner de la self-induction à un câble, si Ton veut compenser Teffet de sa capacité. Le cas peut se présenter pour la téléphonie à longue distance par exemple.
De même, on peut corriger l'effet de la self-induction de cer^
MACUINES DY.NAMO. 17
tains appareils télégraphiques par un emploi judicieux des condensateurs, et augmenter ainsi beaucoup la puissance de transmission sur une ligne donnée.
La compensation n'est jamais absolue; car L est toujours en réalité fonction de z, tandis que G ne Test pas. Elle n'est donc qu'approximative, mais les résultats n'en sont pas moins importants.
Nous avons donc ici un exemple de l'utilité de la théorie même simplifiée par des hypothèses nombreuses. L'analyse a indiqué la voie à suivre, et l'expérience, en -télégraphie au moins, a pleinement justifié les indications du calcul.
192. Résistance d'un fil au courant alternatif. — Lorsqu'un fi] est parcouru par un courant alternatif, sa résistance n'est pas égale en général à celle que l'on peut déduire des procédés électrométriques dans lesquels on emploie le courant continu d'une pile ou d'une machine.
On sait en effet que la répartition du courant dans la section transversale du fil y est homogène lorsque le courant est continu et uniforme; mais il n'en est plus de même lorsque le courant est alternatif et à courte période.
Dans ce cas, le courant se localise plus spécialement dans les couches extérieures, où la densité devient plus forte que la densité moyenne. Dans les couches centrales, la densité est moindre.
Cet effet est d'autant plus sensible que la rapidité des renversements est plus grande et que le fll est plus gros.
Sir W. Thomson a analysé cet effet, et indiqué une analogie mécanique de ce phénomène. Si l'on suppose un tube indéfini plein d'un liquide visqueux et si l'on imagine que l'on fasse glisser le tube d'un mouvement continu et uniforme dans sa propre enveloppe, c'est-à-dire en conservant la direction de son axe, le mouvement se transmet peu à peu au liquide et un régime permanent finit par s'établir tel que le liquide est entraîné uniformément.
Mais si le mouvement est alternatifs il ne se transmet plus au liquide de manière à l'entraîner uniformément avec lui. Les couches extérieures en contact avec le tube, y participent presque
complètement : mais les couches plus profondes y participent de moins en moins jusqu'au centre, où l'action est la plus faible.
Plus le mouvement sera rapide, et moins il aura le temps de se propager profondément.
Un effet analogue se produit dans un fil homogène parcouru par un courant alternatif. Sa résistance sera donc accrue en apparence, et sir Thomson a donné les formules qui permettent de la calculer.
Appelant
p La résistance spécifique du métal.
Rc La résistance à un courant continu.
a Le rayon du conducteur.
Ra La résistance au courant alternatif.
8a La densité à une distance r de Taxe.
Aa La densité dans Taxe.
N =: Y Le nombre de périodes par seconde.
on a
Oa = Aa ( o (q) cos mt ^ ^ (g) sin mtj OÙ
et où les fonctions © (q) et ^ {g) sont définies par les séries.
On en déduit :
Ra i ^ ? (7) f (p) - ^ {p) ?• I R,-2P ?'(p)»+f (P)«
où p est la valeur de q pour r = a.
La valeur de ce rapport a été calculée pour le cas particulier où N= 80, c'est-à-dire, où Ton a 160 renversements par seconde nombre adopté dans les machines Ferranti par exemple.
Comme p, pour le cuivre, est d'environ 1,61 x 10* cgs. on a q = 1,98 r soit 2 r environ. On a alors le tableau suivant, dans lequel les chiffres de la première colonne sont approximativement égaux au diamètre du conducteur.
