KM — — W
BM — — W,
et les valeurs sont égales à chacune de ces lignes multipliée \n\v ïi K et divisée par 2 R On a, en effet :
RK = BC cos m 9 BK^ = BC* cos=« m o = (S* + ôj? — - 2 S^i cos 2m a) cos^ m o R*
(Ô8 | ô^i 2 ÔSi cos 2m a)
et, par conséquent
Quanta BM, on a
BM xBK=:BA X BL d'où
BM X BK = fi (fi — «4 cos 2m a — H L) HL = CK sin Y = BK sin y tang o
Evaluons y •
De
CH = CBsiD ^
on tire
De on tire
, fi| sin 2m a cos 9 «u^=-i ^ ï.^
BH = BCcos Y
fi — ô cos 2m a cos 4/ = ïir|T © cos
On peut alors évaluer sin v = sin (0 + ^), et en transportant dans l'expression de BM x BK, on arrive facilement à
BMx BK=:W,
Enfin, on obtient immédiatement W, par différence.
On voit par cet exemple combien les tracés graphiques peuvent aisément figurer les résultats de calculs assez compliqués, et permettre d'apprécier les différences de résultats qui sont produits par une modification dans les données.
210. Machines en dérivation. — Examinons maintenant le cas de machines en dérivation travaillant sur une résistance extérieure R.
Soient : r la résistance intérieure et L la self-induction de chaque machine, t| et i^ les courants
Les équations sont :
L ^ + n, = ô sin wi (^ + a) - K (i\ + i,)
L ^« + n, = 6 sin t/i (i — aj — R (i, + t,)
En ajoutant et retranchant, on obtient un nouveau système d*équations, qui, résolues comme d'usage, donnent :
ïi + h
2 S cos m a //,«»• . . .A
2 fi sin m a / ^ , . \
Il — 1, = yl . yy^t J^l l T COS fîl t + TO L Sin fil ^ 1
d OÙ Ton tire de suite i^ et i,.
Le travail de la première machine est
2ir
g*! = Tfi sin m (< + a) ij o
En remplaçant t'i par sa valeur, et effectuant l'intégration, on arrive à l'expression
Wj = — L — jL— i — ! i (r H- R) cos m a — w L sin m a |
fi* cos m a L ' J
fi^ sin m a [^ sm m « + m L cos m aj
L'expression W, ne diffère de celle de W, que parle changement du signe du second terme de la première quantité entre crochets, qui devient positif.
On peut voir maintenant que Ton a Wj > W,.
Cette condition conduit en effet à Tinégalilé
r [(r + R)* + W\ sin* w a -f [(r + R)« + m* L*] m L sin a cos a > (r* + m* L") m L sin a cos a
xMACHINES A COURANTS ALTERNATIFS 291
Or, dans le second membre, si Ton remplace r par la quantité plus grande [r x R), on le rend égal au second terme du premier membre.
L'inégalité est donc toujours justifiée.
Donc la machine menante effectue plus de travail que la machine menée : par suite, elle tend à se ralentir^ l'autre tend à s'accélérer et les phases tendent à devenir complètement concordantes.
Par suite, l'accouplement en dérivation de deux machines à courants alternatifs est possible, et l'équilibre qui en résulte est stable parce que les réactions électrodynamiques qui proviennent d'une différence de phase tendent à la corriger.
211. Machine reliée à un réseau. — Supposons qu'on relie une machine à un réseau déjà parcouru par des courants alternatifs.
Soit A sin mt la différence de potentiels des points du réseau auxquels on rattache la machine et B sin m [t — a) celle de cette dernière.
L'équation du courant
donne
