L -t: + n = B sin m (i — 'a) — A sin mt dt
= y.» . ffli L« [^ [^ sia m (< — a) — m L cos m (( — a)]
— A [r sin mt — m L cos mt] j et l'intégration
g'zz II Bsinm (( — a) dt donne pour la puissance
^ = r» + m^ L« L"^ ^{rcosma + mL sui m «)J
Si a est positif (machine menée), le travail est moindre que si a est négatif, ce qui se démontrerait comme précédemment.
Donc a tend vers zéro, et la machine peut être reliée au réseau comme à une autre machine.
On peut donc relier à un même réseau plusieurs machines ou
groupes de machines placées dans des endroits distincts, fait qui a été mis à profit dans plusieurs distributions urbaines.
Il est à remarquer que la machine reliée peut être motrice, et fonctionner comme telle, même avec une force e. m. plus élevée que celle de la génératrice.
En effet, en posant tang m» = -g- , on a, pour expression de la puissance :
^ = 2Tfi-T^-Vr4m'L«^''^"'''+'^' Cette expression est minimum pour sin m (a + o) =1, ou
a + çp = -T , et la puissance est alors :
B / Br ^ \
et cette quantité peut être négative si Ton a
ce qui n'a rien d'impossible,
212. Courants de Foucault. — La connaissance des propriétés des courants alternatifs permet de compléter ce qui a déjà été dit des courants de Foucault, à propos des machines à courants continus.
Ils ne sont, en effet, que des courants alternatifs induits dans le fer, et en supposant connus les résistances sur lesquelles ils s'exercent et les coefficients d'induction, on peut établir des équations qui, pour n'être qu'approximatives, n'en apportent pas moins d'utiles indications.
Appelons :
L la self -induction du circuit cuivre,
N celle du circuit fer,
M rinduction mutuelle de ces circuits,
I l'induction magnétique exercée par le champ sur le circuit du
cuivre, J la môme quantité pour le fer,
R et R' les résistances, dans le cuivre et le fer respectivement, a: et y les courants, dans le cuivre et le fer respectivement.
L'équation générale de la conservation de Ténergie est :
s. El d( = s ei dt + Ri« dt (\
Or, on a, pour le circuit cuivre :
^- ^ di ®^ -''- dt + dt
et pour le fer
** — "^ 5F ®^ ^^ — dt + df D'où Ton tire :
2 E i dt = — d (I . oî) et 2 ci dt = d (Lx) x + d . (My) x | cuivre 2 E' i dt = — d (J . y), et 2 e i dt = d (Ny) y + d. (Maï) y | fer
En remplaçant dans Téquation générale (1) et en intégrant, il vient :
Ix — î^ — Mxy = Trx» . dt (2)
Jy - ^ - Mxy = JrV» . dt (3)
Pour obtenir les équations générales, il faut faire une hypothèse sur la variation de I et J en fonction du temps : on admettra la loi sinusoïdale, et on écrira :
I = A sin mt J = B sin mt
Il en résulte que (2) et (3) deviennent :
Rx + L ^ + M ^ =m Acos mt (4)
R'y + N ^ + M ^ = »/iB cos mt (5)
La résolution de ces équations est assez pénible. Mais elle n'est pas nécessaire pour les conclusions que Ton veut en tirer. Les courants peuvent se mettre sous la forme.
X = a sin mt + h cos mt y = a sin mt + b* cos ml
Prenant les dérivées de ces expressions, et substituant les
valeurs ^ et ~ ainsi obtenues dans les équations précédentes, on trouve :
-fwLaj — mL6
+ m Ma' \cos mt — m M a* | sin wit = m A cos mt
+ R6 ) + Ra
+ mN6' j mN 6' j
+ mU a { cos mt — m Mb \ sin mt=: m B cos mt
+ R'fe' ) + R'«' )
Ce sont deux identités, qui doivent être satisfaites pour toutes les valeurs de /. Les coefficients sont donc tous nuls.
En exprimant cette condition, on obtient les équations de condition suivantes :
aL + a'M H- - 6 = A
6L = t'M — 5 rt = I m
a'N + aM + - fc' = B I 6'N + 6M ~ - a' =
d'oti Ton pourrait tirer «, a', b et b'.
Mais les équations générales des courants résultant de la solution du système (6) seraient trop confuses pour qu'il soit possible de les discuter utilement.
Du système (6) lui-même, on peut tirer les conclusions suivantes :
213. — 1® Supposons la machine en court-circuit, c'est-à-dire R = ou sensiblement.
« Le travail dépensé dans le fer est moindre que pour une valeur finie de R. »
Faisant R = dans les équations (4) et (5), on a :
, m A cos mt — M -^ dx dt
dt et
dy
— = m (LB — MA) cos mt
d'où
y = m* (MA — LB) cos mt
Or le terme MA — LB est toujours très petit, car on a grossièrement, k et A' étant deux coefficients et n et n! les nombres de spires des circuits cuivre et fer :
L = &n» M = *nn' k = kn B = kn'
D'où MA = LB.
Les différences ne peuvent provenir que des variations des valeurs k et kf, qui sont faibles.
Les courants de Foucault pour la machine en court-circuit, sont donc très faibles.
Leur travail a pour expression
^f =^fy m B cos mt dt
en remplaçant y par sa valeur et effectuant Tintégration, il vient :
Or de (6) on tire :
a'M = -(aL + 65)
6'M = -. fbL — a^
où, en faisant R = 0, on voit sans peine que b' diminue. Donc ^ aussi, et on peut en conclure :
« Que le courant dans le circuit utile a pour effet d'aff&iblir les « courants de Foucault.
214. — 2"* « Ces courants ont encore pour effet d'affaiblir la force c e. m. dans le circuit utile et d'augmenter sa différence de phase « avec le courant. »
Supposons d'abord que l'induction mutuelle soit faible, et
négligeons-la en première approximation. Faisant donc dans les
équations (6)
a' = 6' = d€Lns les deux premières a z= b = dans les deux autres.
il vient :
ni»L a = A
Km
Ces valeurs substituées dans les équations (6) donnent la seconde approximation :
, , , R . m BMN
,- R iwBR'M ..
^^--^m = "-tn*N« + R" ^
On voit de suite que le second membre de (7), au lieu de la valeur A qu'il aurait sans courants de Foucault, devient A moins une quantité définie. La force e. m. a donc diminué par suite de l'action des courants de Foucault.
Quant à la phase, définie comme toujours par tang. m ? = ^ ; on tire de (8):
a mL m» BR'M
La phase a donc augmenté, puisque, sans Tinduction mutuelle due aux courants de Foucault, on avait simplement :
215. — 3° « L'état de division du fer doit être assez grand, et « d'autant plus grand que la période est plus courte. » Le travail des courants de Foucault est :
en y remplaçant b' par sa valeur de première approximation, tirée de (60, on a :
La résistance du noyau est proportionnelle à Tétat de division du fer. Or, la fonction ci-dessus commence par croître avec R', et ne commence à décroître que lorsque R' a dépassé la valeur m N. 11 faut donc diviser suffisamment le fer induit.
De plus, ce travail perdu est à peu près proportionnel au carré de m qui définit la rapidité de la période : la limite R' = m L lui est elle-même proportionnelle.
La conclusion est donc que le fer doit être d'autant plus divisé que la période est plus courte ; ou, réciproquement, que pour un état de division donné, la perte sera beaucoup moindre avec une machine à longue période qu'avec une autre à courte période.
APPENDICE
