THÉORIE GÉNÉRALE DU RENVIDAGE D'UNE COUCHE DE CANETTE

17. Soient (fi{{. 7) Y l'axe d'une broche cylindrique, FE sa génératrice, AD la section donnée d'une couche conique d'uniforme épaisseur. Divisons cette couche en un nombre quelconque, six par exemple, de zones d'égales longueurs, 1,2, 3, A, 5, 6, par des plans perpendiculaires à l'axe Y. Par la base de cette couche, menons sur le plan de la figure un axe X perpendiculaire à l'axe Y. coupant ce dernier en G; et, à partir de ce dernier point, portons sur l'axe X une distance Gi égale à l'aiguillée et par conséquent à la longueur de fil qui constitue la couche A D. Cette longueur GI nous représente le volume de ladite couche. Divisons-la en deux portions GH, HI, représentant les longueurs de fil de la descendante et de l'ascendante. Divisons chacune de ces portions en six parties proportionnelles aux volumes des six zones : De G en H ces parties seront comme les volumes des zones 1, 2, 3, 4, 5, 6, et de H en I elles seront comme les volumes des zones 6, 5, 4, 3, 2, i. Des points de division ainsi déterminés élevons des perpendiculaires représentant les différentes distances des parties inférieures des zones de même rang à l'axe X. Par les extrémités de ces perpendiculaires traçons une courbe continue K. Cette courbe nous représente, par ses abscisses, les quantités de fil enroulées et, par ses ordonnées, les situations correspondantes des points d'enroulement. Si, pendant la quatrième période, le point d'enroulement se meut suivant la courbe K, cl si, en même temps, la loi de rotation de la bobine est toujours telle que l'espace parcouru par le chariot ou, si l'on veut, le fil parcouru, soit le fil absorbé; si, enfin, la couche se forme sur une téte dont la ligne de section est celle intérieure de la section de couche DA, la couche qui se forme est bien certainement la couche proposée D A.

Supposons actuellement que la couche se forme avec la même longueur, sur la broche elle-même; que, pendant la rentrée du chariot, la loi de déplacement du point d'enroulement reste celle représentée par la courbe K, mais que la loi de rotation soit changée de telle façon que le fil parcouru soit toujours le fil absorbé.

Les zones do même rang de l'ancienne et de la nouvelle couche se composant de la même longueur de fil, sont donc de même volume; mais le diamètre étant maintenant égal de la base au sommet, il arrive que la progression de volume des zones se traduira ici par la progression de leurs nombres de tours de fil, par la progression de leurs sections.

Soient S la section d'une zone et R le rayon du centre de gravité de cette section. SR nous représente le volume de la zone. — Dans la première couche AD, SR progresse par la progression de R, S étant constant; dans la seconde couche A R, S R progresse de même, mais par la progression de S, R étant constant.

Si actuellement nous considérons d'autres couches intermédiaires à celles que nous venons d'examiner, on voit que ces couches, suivant leurs inclinaisons de tête, présenteront des épaisseurs qui auront du sommet à la base une intensité de croissance d'autant moindre qu'elles se rapprocheront de la couche AD et que, si l'on considère une couche ayant une inclinaison de tête plus grande que celle de la couche AD, il se produira une décroissance d'épaisseur du sommet à la base.

On voit déjà comment au continu à filer il est possible de tracer l'excentrique qui commande les oscillations du chariot pour la formation des diverses couches. Cet excentrique peut être le même pour toutes les couches puisqu'il répond aux conditions que doivent remplir les couches successives du noyau. Pour le tracer cet excentrique, il suffit en effet de transformer la longueur G I de l'axe X en une circonférence, de construire sur celte dernière la courbe K, en dirigeant les ordonnées dans le sens des rayons. Avec cette courbe on peut tracer aisément l'excentrique réel cherché et propre à agir sur un galet donné.

18. Actuellement, comment se présenteraient les courbes construites sur l'axe X et représentant par leurs ordonnées les lois de rotation de la bobine aux différentes couchesî

On sait que le volume v d'un corps de révolution est égal au produit de sa section S (section par un plan passant par l'axe) et de la circonférence g décrite autour de l'axe par le centre de gravité de cette section ; c'est-à-dire qu'on a v = S r/. Dans le cas présent, nous pouvons remplacer v par li, l représentant la longueur du fil d'une couche et s la section de ce fil, car le volume de cette longueur de fil est égal au volume de la couche. Nous pouvons aussi substituer N * à la section S, N représentant le nombre de fils coupés dans une section. En sorte que l'équation précédente devient h = N*y ou plus simplement i = Nj. On en conclut la règle de calcul du nombre de tours N, et on en conclut encore

que pour une même longueur / de fi), c'est-à-dire pour une même aiguillée, les nombres de tours et les rayons ou circonférences des centres de gravité de section sont en raison inverse l'un de l'autre. On voit qu'il faut faire ici la supposition que les lils d'une couche n'ont entre eux aucun espace vide, que de plus lcscouchessont constituées par de véritables anneaux de fil. — Nous voyons parla ce qu'il était aisé de pressentir; c'est que les centres de gravité des sections de couche AB... AC... AD s'écartant de l'axe et les longueurs l de fil de chaque couche étant constantes, les nombres i\ de tours de til ou de bobine, à chaque aiguillée décroissent (ainsi que les sections de couche).

Nous pouvons considérer, pour le moment, que le nombre des tours de la descendante et de l'ascendante sont entre eux comme les longueurs de fil de ces couches partielles. Portons sur l'ordonnée I une longueur I M représentant le nombre de tours N de l'une des couches, de la couche A C par exemple. Nous divisons cette longueur en parties proportionnelles I N, NM, aux longueurs de fil des couches partielles, et nous portons sur l'ordonnée en H celle 1 N de ces parlies qui correspond à la descendante. Nous supposons ici que la proportion entre les couches partielles est constante dans toutes les couches.

Le nombre de tours de fil de chaque zone est proportionnel à la section de cette zone. Divisons les longueurs 11 L, NM, en six parties proportionnelles aux sections des zones 1, 2, 3, 4, S, G pour HL à partir de H, et 6, 5, 4, 3, 2, 1 pour NM à partir de N. Menons de ces points des parallèles à l'axe X et par les points d'intersection des ordonnées et abscisses de même rang, menons une courbe continue 0.

Cette courbe nous représente pour la couche AC, par ses abscisses, les chemins parcourus par le chariot pendant sa rentrée, et par ses ordonnées, les nombres de tours correspondants de renvidage de la broche. — Combinée avec la loi K des points d'enroulement, elle donne lieu à la formation de la couche AC en maintenant l'égalité entre le (il parcouru et le lîl absorbé et en n'utilisant pas, par suite, la réserve.

On voit que cette courbe a un point d'inflexion au passage de la descendante à l'ascendante , ce qu'on pouvait prévoir, attendu que pour que le fil soit absorbé avec une vitesse uniforme, il faut que la vitesse de rotation de la broche décroisse quand le diamètre aù point d'enroulement croit, ce qui arrive dans la formation de la descendante; et que cette vitesse croisse quand le diamètre au point d'enroulement décroit, ce qui arrive pendant la formation de l'ascendante.

Si la courbe 0 est construite pour la couche AD, il arrive que dans HL comme dans N M, les parties proportionnelles sont égales. Si le courbe 0 est faite pour

la couche AB, il arrive que ces parties suivent exactement la progression des divisions de (îll et HI (puisque les sections de AB suivent la progression des rayons ou des volumes des zones de A D), et de ces lignes proportionnelles il résulte alors que la courbe 0 est une ligne droite telle que P.

On reconnaît donc, de la première couche en formation AB à la dernière AD, i" que les nombres totaux de tours vont bien en décroissant; 2° que les vitesses rotatoires sont d'abord uniformes, qu'ensuite elles se ralentissent vers l'extrême point et que ce ralentissement grandit jusqu'à la dernière couche A D. — Les lois de rotation de renvidage se modifient comme on voit, insensiblement d'une couche à l'autre dans la canette, comme se modifieraient des courbes représentatives passant successivement par de nombreux états intermédiaires depuis la ligne P jusqu'à la ligne 0 et au delà. Quant à la loi des points d'enroulement, elle reste constante.

Ces résultats étaient à prévoir, car on reconnaît que la première couche qui se forme dans la canette se formant sur un cylindre, la vitesse de rotation pour elle doit être uniforme, afin que celle d'absorption le soit. Il n'y avait donc qu'à organiser la loi des points d'enroulement de manière que l'épaisseur île couche croisse du sommet à la base. Pour les couches successives, il fallait ralentir les vitesses de rotation vers le passage de la descendante à l'ascendante pour avoir uneabsorption uniforme, puisque le diamètre croît vers la basedcplusen plusavec les couches successives. Quant à la loi des points d'enroulement, qui a été tracée pour la première couche avec un ralentissement dans le déplacement de ce point vers la base pour accroître l'épaisseur du sommet à la base; quant à cette loi, si elle ne doit plus être maintenue pour l'épaisseur, elle doit l'être à cause de l'augmentation du diamètre qui, absorbant plus de fil, nécessite plus de lenteur dans le déplacement du point d'enroulement. Voilà, pour la question qui nous occupe, le raisonnement tel qu'il s'est présenté et développé à ceux qui ont créé le métier automate, dans le cours de leurs nombreuses expérimentations.

Les lois de mouvement dont nous venons de nous occuper ne correspondent pas rigoureusement avec celles de la réalité, avec celles fournies par le secteur (10 et 1 1). D'ailleurs, comme on le sait déjà (13), les mécanismes que Pou trouve ne donnent pas non plus les lois que l'on se donne, mais celles qu'ils fournissent s'en rapprochent.

19. Supposons que l'on porte en ordonnée sur l'axe X la quantité de fil ab- 1 sorbéo par la bobine à chaque instant de la rentrée du chariot. Evidemment, si le fil absorbé est toujours égal au fil-fait, cette loi d'abiorption est représentée par une droite Q, dont l'ordonnée maximum IB, est égale à l'aiguillée CI.

Ajoutons aux ordonnées de lu droite Q, une longueur égale à la réserve ; nous trouvons ainsi une ligne T. La quantité de fil absorbable est représentée pour chaque instant de la quatrième période, par les ordonnées de la ligne T.

Si, comme cela arrive, les mécanismes réalisés, au lieu de donner exactement les lois rigoureuses, en donnaient d'autres; et, en général, si la tète sur laquelle on forme une couche est bossue et jette la forme de la couche nouvelle hors de toute prévision, la loi d'absorption peut, au lieu d'être représentée par la droite Q, qui représente la loi parfaite tf absorption, être représentée par une ligue U. On voit, sans s'occuper de la forme que prend alors la nouvelle tête, que la réserve varie suivant les différences des ordonnées simultanées de la ligue T et de la courbe lî. — Ainsi en a, quand le chariot a parcouru l'espace (ia, quand le lil parcouru {qui était supposé seul absorbé dans nos abstractions précédentes) est représenté par ac et le lil absorbable par ad, on voit que la longueur ce représente le lil de réserve qui est subvenu à un excès d'absorption et que la longueur ed représente la réserve restante. Quand le chariot est arrivé en b, on voit que l'absorption n'est plus complète, qu'une partie gf du lil parcouru s'est ajoutée à la réserve qui est représentée parla longueur {h. Cette longueur gf doit être absorbée avant la lin de l'aiguillée, pour ne pas luisseï trop de lil empointeur et causer des vrilles. — C'est, comme nous l'avons déjà dit, par la variabilité des nombres de tours de renvidage au secteur qu'on arrive à faire enrouler asser exactement le fil d'une aiguillée, quelles que soient les formes des têtes sur lesquelles se superposent les couches.