T — PA

La valtur de h trouvée ci-dessus, et substituée dans cette relation, donne alors la suixante :

pyt

Cette dernière forme donnée à l'expression delà même quanlîté'de travail dépensée -donne lieu à une obser\ation très- intéressante ^ur les conditions d'un corps en mouvement. Elle apprend à évaluer :

La quantité de travail qui a du être dépemée pour communiquer à un corps, pris au repos, une vitesse déterminée, et cela, indépendamment du temps employé^ puisque le temps ou la , durée de la cHute n'entre pas dans les termes du problème.

Et réciproquement : "

La quantité de travail qu'il faudrait dépenser pour suspendre le mouvement du corps e^ le ramener de la vitesse V à zéro.

Ou encore :

La quantité de travail que le mobile P développerait, si on lui opposait une résistance vaincre, en passant de l'état de mouvement V à zéro.

Cette expression deviendra l'un des points fondamentiiux du sujet que nous nous somm< proposé de traiter, aussi doit-il être complètement développé.

Déjà on doit remarquer que cette formule peut s'écrire ainsi :

T«^— ,ou:T = -.n

Or, nous avons dit que - est aussi désigné par M; on peut donc écrire :

T»-jMV«.

On a de même appliqué une expression conventionnelle è ce produit MV de la masse corps par le carré de sa vitesse actuelle, en la nommant la farce vive du corps j dans cet de mouvement.

Alors, reprenant l'une des remarques précédentes en lui appliquant celte expression pai citlière, commode pour aider à Cxer les idées, nous disons : La quantité de travail dépens et pour amener un corps au repos à l'état de ??iouve?ncnt , et récipkoquement, est égal^ à LA MOITIÉ DE LA FORCE VIVE qu'îl possède OH tmtffiviU OÙ OU le considère.

Mais cotte admirable loi ne se borne pas à ce c.is spécial. Il n'est point nécessaire, pourtroU^

PaOI ORTIONS DES ISOLANTS. 538

Mnr aoniapplicatieii, de prendre un corps du repos à rétat de rooui^ement, et vice venâ; elle est lout aussi rigoureuse à Tégard d'un corps dont la vitesse s*accrott seulement ou se ralentit : et c*66t là on poiat sur lequel il faut insister ici, carc*est le cas présenté parles volants.

Sappesonft une masse peso nte 11^ animée d'un mouvement régulier dont la vitesse V'est uohforae, sa fonne vi%'e correspondante sera M V*. Si une force quelconque vient agir sur ce mobile*^ éB façon qu'au bout d'un certain temps si vitesse uniforme ait augmenté et soit devenue V|, sa

force vive sera alors M Y,*. Or, la quantité de travail T dépensée pour faire passer ce corps?

<l*une vitesse à Fautre est égale à la mcUié de la différence des deux forces vives,

Soit:T-i (MV,«-MV»); ou T«i HJV,» - V>).

S*il y avait eu retard^, su contraire, quo la force oùt a^ comme résistance pour diminuer la vite-^se du mobile, V| serait plus petit quo V, et on écrirait :

Dans les deux cas, la quantité de travail serait la même, mais elle aurait agi comme force accélératrice dans Pun et. comme retardatrice dans l'autre.

En général cette loi s'exprime ainsi :

Le travail d'une force, qjtii accélère ou retarde le mouvement d'un corps qui se meut ^ioHi $a direction propre, est égal à la moitié de la force vive qu'elle a communiquée ou enlevée à ce corps.

Le principe de la force vivo est donc cssentiellemeut applicable au calcul des volants régulateurs qui fonctionnent à l'état de ôorps en mouvement, soumis à l'action d'une force dont la variation en modifie la vitesse et par conséquent la force vive.

Mais déjà, si l'on examine Técju tion de la force vive, on reconnaît que, pour une même quan- ^té de travail en excès, positive ou négative, la variation de vitesse du corps en mouvement peut être très-différente, et qu'elle dépend de l'intensité de sa masse.

En effet, Téquation précédente pouvant prendre la disposition :

dans laquelle Vj* — V* exprime la variation de vitesse pour un excès de travail 2T, il est évident que la valeur de cette variation est en râi>on inverse de la masse M du corps en mouvement, c'est^-dire d'autant plus faible que cotte masse est plus grande, et vice verséL Par cooséquent, plus uu volant sora lourd pour une mômo vitesse initiale et un mémo excès de-travail variable^ et. plus la variation de sa vitesse sora faible. Ceci est le principal indice du service que le volant est appelé à rendre.

D'autre part,. comme la force vive du volant est le produit de la masse par le carré de sa vitesse, et que les deux facteurs du même produit peuvent varier inversement, il s'ensuit que sa masse peut être diminuée, pourvu que le carré de sa vitesse soit augnfienlé dans le même rapport inverse.

Hais comme la vitesse du volant, prise sur le contre de. gravité de la jante, c'est-^-dîre près de 88 circonférence moyenne^ dépend de la vitesse angulaire de l'axe et du diamètre de cette jante, il en advient, en résumé, que la réduction de la masse par TaugmenUttion de la vitesse' peut être obtenue, soit par l'accélération du mouvement rotatif, soit par l'augmentation du diamètre. Cea divers points recevront plus loin tous les éclaircissements nécessaires.

536 MOTEURS A VAFEUK.

Terminons cet exposé de principes fondamentaux par un exemple qui aide à Gxf^r les idées sur remploi de la formule des forces vives.

Exemple. — Un volant est formé d'une jante circulaire dont le poids est de ÎOOO kilo^nimes (on néglige celui des bras en considérant l'action unique de la jante) et la vitesse égnle à 8 mètres par seconde; quelle diminution de vitesse subira-t-il par Taction momentanée d*une résistance qui a développé, on sens contraire delà force motrice, un travail négatif ég.il à 4 00 kilogrammètres?

On a :

p es SOOO kilogrammes;

V ^ 8 mètres;

T =» 100 kilogram nôtres;

V, es la vitesse cherchée et acquise après la réduction ;

M es P divisé par g qui est égal à 9,8u88.

' Ordonnant la formule ci-dessus par rapport à Vj, on trouve :

V*- V.» = iî; d'où : - V.« V» + ^ V» + ^.

Changeant tous les signes, ot introduisant les données numériques, il vient :

Par conséquent la vitesse serait réduite de 61 millimètres seulement par 4", soit environ 4/4 ÎO de celle primitive.

Si le poids du vulant n'était que de 4000 kilogrammes', on trouverait :

1^ diminution de vitesse eût alors été de 4 23 millimètres par 4"; soit environ. 1/65 de celle^^ -Mie primitive.

BÉTEHMINATION DS JJL roaMUIiV DU POXDg BSl ▼O&AVTtI

Une masse destinée h former le volant régulateur de vitesse doit être éyidcmmen montée sur son centre de «gravité, et d*une forme symétrique d'après ce cent afin que la pièce soit parCaiteinent équilibrée dans toutes les |H)silions qu'cHe cupe en se niouvanl sur son point de suspension. Comine nous Tavons dM, u' vol.int ne produit pas de furœ, m lis n'en absorbe aussi que pour vaincre son inertf au moment de la mise en Inin, après quoi le moteur auquel il est appliqué ne d» pcnse.de force que pour vaincre le frottement sur ses supports, celle de Tair, et enfin toutes les résistances passives qui s'opposent à la perpétuité du mouveme de la part d*un corps qui si^ait libre autrement d*y persister; ^1, par exempE le pendule, qui est en quelque sorte le volant d'une horloge.

Le système de volant que Ton applique aux machines à vapeur et aux outils dont il s'agit d(; régulariser la marche, consiste en un anneau de foale réuni psi — '

des brM au moyen duquel il est fixé sur Taxe de rotation. D'après les considérations préoédentety il doit former un cercle parfoit, rigoureusement centré et exempt de ^oucAd, condition qui est cependant rarement remplie, en pratique, peut-être à canse de sa difficulté même. Un volant doit être aussi composé de façon que sa janle et ses bras présentent h l'air le minimum de surface résistante.

Bien que le poids total de l'anneau et des bras agisse.comme masse régulatrice, on néglige celui des bras pour ne tenir compte que de Tanneau. On fait alors les bras aussi légers que possible en concentrant la plus grande partie de la matière pesante dans l'anneau, dont la situation correspond h la force vive maximum, pour un même poids de métal. Nous avons fait remarquer qu'en eflet la force vive aug* mente proportionnellement au carré de la vitesse et en raison simple de la masse; par conséquent la jante du volant, qui possède la plus grande vitesse linéaire, pour nne même vitesse angulaire de l'ensemble, est nécessairement celle où la masse pesante a le plus d'action. Si l'on voulait généraliser ce principe, on dirait que, toutes choses égales d'ailleurs, on obtiendrait le maximum d'énergie, pour un même poids total de fonte, si celui des bras et du moyeu était nul.

Nous avons également démontré que la régularité se rapproche d'autant plus d*ètre parfaite que Ténergio du volant est pliis considérable pour un même excès de travail variable; et comme il est également vrai de dire que le volant n'exige théoriquement pour lui-même aucune force motrice pour l'entretien de son mouvement, on pourrait être conduit à adopter des volants d'une énergie infinie. Mais le Tolant absorbe réellement de la force motrice par le frottement qui résulte de son poids sur les supports de l'axe qui le porte, ce qui peut être déjà un motif de ne pas exagérer ses proportions. D'autre part, un volant dont l'énergie surpasserait de beaucoup la puissance 'de la machine motrice et la résistance relative des organes de transmission pourrait, par suite d^un arrêt brusque, développer un effort réactif (en rapport avec la puissance absorbée lors de sa mise en train) capable de les rompre et de causer les accidents les plus graves.

n convient donc de régler assez exactement l'énergie d'un volant par rapport à la

Yulssance des organes avec lesquels il se trouve en rapport, bien que celte régle-

ncniation subisse de notables écarts dans les applications.

Puisqne, à poids égal, on augmente considérablement l'énergie en augmentant

TÎtesse, il y a avantage à adopter de grands diamètres ou à placer le volant sur

1 axe animé de la plus grande vitesse de rotation. Hais, sous cet autre point de

e, il faut tenir compte de la force centrifuge qui tend à séparer les parties qui

tnposent le volant, et serait capable, sans ce cas, de produire des effets analogues

i projectiles lancés par des pièces d'artillerie.

\es préliminaires nous ont semblé indispensables pour engager le lecteur à bien

adre en considéi*ation les données suivantes, assez minutieuses néanmoins, de

éteirmination de la formule du poids des volants. Nous basons ce travail sur

développements exposés par H. le général Morin dans ses Leçons de mécanique

que.

is entrer dans les considérations particulières relatives aux conditions de II. 68

rinertic d'on corps aâîmé d*un mouYemenl de rotation, on regarde l'anneau du volant, h l'état de mouyement circulaire uniforme, comme une masse M animée d'une vitesse V prise h sa circonférence moyenne, et calculée à l'unité de temps qui est la seconde.

Conformément à tout ce qui précède, on dit que la quantité de travail T» qui a été dépensée pour lui communiquer cette vitesse, est égale :

A ia moitié de la force vive qu*il possède à V instant oii on le considère.

On a donc, comme nous l'avons montré plus haut :

T = s MV*;ouT=. V, dans laquelle formule :

T représente cette quantité de travail initial en kilogrammètres ;

P » le poids de Tanncau en kilogrammes;

V » sa vitesse en mètres, par 1'^ à sa circonférence moyenne.

Cette quantité de travail T, prise pour celle qui occasionne l'état de mouvement actuel, varie, et constitue cette action d'une intensité inégale que le volant est appelé à régulariser.

Par conséquent, si, sous cette variation de travail, le volant que nous considérons, au lieu de conserver cette vitesse moyenne V, qui résulterait d'une action invariable, est susceptible d'atteindre des vitesses difiTérentes maximum t?, et minimum v, il est évident que, dans chacune de ces circonstances différentes, sa force vive aura pour valeui*s correspondantes :

Pv« , Pr»

— - et .

La force vive gagnée ou perdue d'une phase à l'autre sera donc :

Pi,* Pr* P, ,

; OU- (t? *. — v^).

Par conséquent, la quantité de travail ayant occasionné cette différence, par so^mzzzDn excès en plus ou en moins, aura pour valeur :

en vertu du principe énoncé précédemment (p. 538).

Pour introduire dans cette relation l'expression de la vitesse moyenne V, et là

limite hors de laquelle le volant ne doit pas s'écarter, on a recours à une transf ^ — ^^' mation que nous allons indiquer.

On remarquera que le fadeur complexe v,^ — v*, de la dernière équation, p ^ ^^ être décom|)osé lui-même ainsi :

(en vertu d^ ce Ihéorëme d*algèbre : Le produit de la somme de deux nombres par lêwr différence est égale à la différence de leurs carrés.)

D'autre part, v^ et v étant les vitesses extrômes, et V la vitesse moyenne, on peut écrire, sans erreur sensible :

iL^^Y; d'où:t;, +u,= 2V.

Cest-à-dire que V peut être considéré comme ta moyenne arithmétique entre les vitesses extrêmes.

Par conséquent, revenant à l*équalion précédente, et en profitant de l'égalité f), + » «= 2 V, on a :

Enfin, introduisant dans l*équation des forces vives diiïérenticlles le deuxième membre de cette égalité^ on obtient :

8T= -2V(i?, — u);d'où:T= ?V(y, — p), 0 * Q

qui peut encore s'écrire ainsi :

(^i - ^) = pv'

Pour établir maintenant la limite de variation entre les vitesses extrêmes que le

volant est susceptible d'atteindre sous l'influence du travail excédant, on se donne

que cette limite de variation ne dépasse pas une certaine fraction - de celle

moyenne V, de façon que l'on ait :

Remplaçant alors, dans la dernière équation, v^ — t; par la nouvelle expression qui vient de lui être donnée, on trouve :

J = |I;d'où:PV« = n<;T.

Enfin celte dernière fournit directement pour le poids P cherché {

ngT

yt •

Cette formule définitive est donc l'expression fondamentale du poids des volants; mais il reste à déterminer la valeur de T pour chaque cas particulier, c'est-àrdire l'excès de travail qui cause l'irrégularité, suivant la disposition ou la nature de la macliine ou des opérations h effectuer, et celle du coefflcient n, qui indique le degré de régularité que l'on désire atteindre.

540 MOTEURSA VAPEUR.

A regard de ce cocrflcienl, lorsqu'on applique la formule; pour en tirer la valeur, aux volants exécutés par Walt et qu'il appliquait à ses machines à balancier et à basse pression, on trouve pouf n à peu près 32, ce <|ui signifié que la iritesse de rotation de la machine ne devait pas varier, du plus au moins, dé 1/32 de la vitesse moyenne calculée sur le nombre de tours total, dans une minute, auquel la machine est réglée. Mais nous verrons plus loin que dans bien des circonstances, pour commander des filatures, par exemple, une régularité plus grande est indispensable, et que le coefficient n s*élèvc de 32 à 50 et plus. '

Nous allons maintenant chercher la valeur du travail variable T dans les machines à vapeur, par le fait de la transformation du mouvement et suivant le mode d'emploi de la vapeur à pleine pression ou h détente. Dans cet examen nous devons donc supposer la résistance constante, car la combinaison des effets qui seraient dus aux inégalités de la part du moteur et des machines qu'il actionne rendrait toute hypothèse impossible, l'inégalité de résistance due à un travail ne pouvant ôlre assimilée, à priori^ à aucune règle fixe.

D'ailleurs, la variation des efforts qui peut se produire entre une* machine motrice etren^emble des appareils qui composent une usine suit un tout autre mode; elle dépend des outils que l'on embraye et que l'on débraye successivement, ce qui n'a aucun motif d'être régulier. En admettant que de cette façon la résistance moyenne ne soit pas constante, la machine possède alors le régulateur qui agit sur la valve d'introduction de la vapeur pour changer complètement son étal de marche.

Pour qu'un volant rende l'effet que l'on en attend, il faut que les variations de résistance soient périodiques, et qu'après un certain temps d'action la sommé des efforts moteurs soit égale à celle des résistances, sans quoi la moyenne serait impossible à établir, et il ne pourrait exister aucun motif pour que le volant prit une vitesse moyenne régulière.

SÉTXaMXVATZOV BXS XXOàS BX TRATAIIi MOVSVa

HT aÈftXSTAVT

La recherche à laquelle nous désirons nous livrer pour déterminer la valeur T qui figure dans la formule précédente, et qui exprime l'excès de travail sur lequel le poids d'un volant est basé, exige , pour être comprise , que l'on se reporte aux notions développées dans le i^ vol., p. 341 à 346 et 354, qui sont relatives à la loi suivie par la transformation de mouvement du piston à la manivellCi et qui permet d'apprécier la nature des efforts variables qui en sont la conséquence.

<^ette étude fournit principalement un tracé (fig. 54), lequel est la représentafion graphique des efforts successifs transmis à la manivelle, la bielle su fkposée infinicf. C'est an moyen de tracés basés sur le méiiie principe )q[u'it estpossible de trouver les excès de travail cherchés, ainsi qu'on va pouvoir s'en rendi-e compte.

Déjà l'on a pu remarquer que, d'une part, la bielle supposée infinie,* et la vapeur travaillant à pleine pression pendant toute la course du piston, ^e li^avail tholeur

PROPdRTIONSDES VOLANTS. 641

aiosi trumnifl donne lieu tnr le bouton de la maniYeUe à des efforts qui variant de ftà Tanité des points morts au milieu de la course ; d'autre part, le travail résis» tant» qui doit être égal au travail moteur, mais qui est supposé ramené à une résistance constante^ oppose au bouton de la manivelle un eflbrt tangentiel constant Avec lequel celui moteur maximum est dans le rapport suivant (i. i^» p. 345) :