CALCUL DES INTÉRÊTS ET DES ESCOMPTES

On fait les calculs relatifs aux intérêts, aux escomptes et généralement presque tous ceux employés en banque, par l'application de la théorie des proportions, par des règles de trois. Quiconque se destine à la pratique de la banque doit posséder à fond cette partie de l'arithmétique.

§ 1. — Intérêt annuel.

Il s'agit, par exemple, de trouver l'intérêt produit par 2,480 fr. placés à 4 p. ""/^ pendant un an. On obtient cet inté* rét au moyen de la proportion suivante :

iOO : 4 :: 2450 : y

de laquelle on déduit la règle de trois :

Ce qui est vrai pour le taux de 4 p. •/o serait vrai pour tout autre taux : donc, en principe :

Pour trouver l'intérêt que produirait en un an une somme quelconque placée à un taux quelconque d'intérêt, il faut mtdtiplier cette somme par le chiffre qui exprime ce taux et diviser par 100 ; on a pour quotient le chiffre cherché.

En représentant la somme par C, le taux de l'intérêt par p. •/o et l'intérêt cherché par i, on exprime cet intérêt par la formule :

On arrive à la même conclusion par un raisonnement plus simple en employant ce qu'on appelle la méthode de réduction à l'unité, quand on travaille sur un système monétaire décimal. En effet dans ce système un centime, par exemple, ou centième est l'intérêt d'un franc pour un an à 1 p. Vo et généralement l'intérêt d'un franc pendant un an est d'autant de centimes qu'il y a d'unités dans le chiffre qui exprime le taux de l'intérêt. Ainsi toute somme placée à 6 p. 7o rapporte par an autant de fois six centimes qu'elle contient de francs. Or, on obtient ce nombre en multipliant la somme par le chiffre qui exprime le taux de l'intérêt, et, comme le produit se compose de centimes, il suffît de le diviser par cent en séparant deux chiffres à droite pour obtenir l'intérêt cherché.

§ 2. — - Intérêt d'une somme donnée à un taux et pendant un nombre de jours donnés.

Trouver l'intérêt de 2,450 fr. placés à 4 p. Vo pendant 27 jours.

L'année se compose de 365 jours : si l'on connaissait l'intérêt que produisent en un an 2,450 fr., intérêt que nous désignerons par t/, on pourrait établir la proportion suivante :

LIVEE Yl, CHAPITRE I. SOI

Mais s'il fallait d'abord chercher Tintérêt de la somme pen* dant un an, puis recourir à la règle de trois :

le calcul serait trop long. On est parvenu à le simplifier par la combinaison des deux proportions ci-dessus de la manière suivante :

En multipliant ces deux proportions terme à terme, on obtient celle-ci :

100X365 : 4Xy :: 2460X27 : yxœ.

Si Ton supprime le facteur commun et inconnu y de l'un et de l'autre conséquent de cette proportion, on ne la détruit point, puisque le produit des extrêmes reste égal à celui des moyens, et Ton a la proportion suivante :

de laquelle on déduit la règle de trois :

^ 100X365 -^fr'^*'

Mais ce mode de calculer était encore bien lent. On Ta sim* pliflé ptir l'application de ce principe que les deux rapports qui composent une proportion étant égaux, on trouve le terme inconnu en divisant le terme connu par le rapport connu en opérant la règle de trois par la division. En effet, dans la proportion :

on peut observer que le premier rapport iOO X 365 : 4, revient dans tous les calculs qui ont pour base le même taux d'intérêt, soit 4 7«* quels que soient la somme et le nombre des jours proposés* On a donc cherché, une fois pour toutes, quel tait ce rapport, soit : ni^t! ou, calcul fait, 9136. En divisant par

•01 TRAJTÉ DKI OFÉBÂTIOlfS Dl BAlfQUE.

ce nombre le terme connu du second rapport, 2450 X 27, c'est-à-dire 66160, on doit avoir pour produit Tinconnu x, rintérèt demaïidé. L^opératlon se fait donc ainsi :

L'intérêt de Î480 fr. à 4 Vo pendant Î7 jours est donc égal à 7 fr. 24 c, plus une fraction qui excède visiblement 1/2 centime. Cet intérêt peut donc être évalué à 7 fr. 25.

En général et quelle que soit la somme dont on cherche rintérêt, quel que soit le nombre de jours pendant lequel cet intérêt court, quel que soit le taux auquel la somme est placée.

On trouve l'intérêt, pendant un nombre de jours donné, en multipliant la somme par le nombre deéjtmrs et en divisant le produit par le rapport qui existe entre 36500 et k nombre qui exprime le taux de Vintérêty soit 4, 5, 6, ou plus ou moins

p. Vo.

Ces rapports, relevés une fois pour toutes, et gravés dans la mémoire de tous les praticiens, ont pris le nom de diviemirs fixes^ parce qu'en effet ils ne changent pas et sont employés^ toutes les fois qu'il s'agit de faire des calculs sur le même taux d'intérêU

La multiplication de la somme parle nombre des jours pendant lesquels l'intérêt a couru donne un produit qui repré* sente la somme dont l'intérêt pendant un jour serait é^ à celui de la somme proposée pendant le nombre de jours qui a couru. Ainsi, dans l'exemple ci-dessus, l'intérêt pendant un jour^ de 66180, qui contient 27 fois 2480, est égal à l'intérêl de 2460 pendant 27 jours. Il s'agit donc toujoui^, en défini'^ tive, de chercher l'intérêt d'une somme donnée et désormaii eoBinue ou du moiod facile à obtenir, pendant un jour.

LIVBS TI, OIÀPITBI I. 8M

Panai cm% qui s'occupent de calculs d'kitérAts, ce pro* duit de la somme par le nombre des jours s'appelle le nomirê par excellence, parce qu'il est en quelque sorte le po<Qt de départ des opérations et qu'on en fait un très^grand usag« dans l'établissement des comptes courants.

Dans la pratique, on abrège les calculs employée plus haut, lesquels seraient encore fort longs, 1^ en supposât que Tannée n'a que 860 jours, ce qui arrondit le rapport du pre«mier terme de la proportion, c'est-ànlire le diviseur fite; fi* en retranchant les deux derniers ehlffires à droite du noml>fe qui ne donnent au quotient que des fractions de centime et les deux derniers chif&es à droite du diviseur*

Ceci posé, on sait que le diviseur fixe pour 8 p* V« ^st 13,000 ; pour 4 p. 7o9 d^OOO ; pour 4 1/2 p. •/.^ 8,000 ; pour S p. 7„ 7,200 ; pour 6 p* V*. 6»0W) ; pour 7 1/t p» Vé 4,800; pour 8 p. 7o, 4,800; pour 9 p. V^, 4,000, etc.

Si l'on applique ces deux moyens de simplification à Texemple ci^Klessus, (m aura pour diviseur du produit de la multiplication de la somme par le nombre des jours, le rap^ port ^^^4^^^ ±«9,000. Alors l'opération se posera aind qu'il suit : ^Vn^ ou, en retranchant les deux derniers chiAres à droite des deux termes»

On remarquera que le quotient ainsi obtenu est un peu plus élevé que celui qui résulterait d'un calcul rigoureux» Gela tient à ce qu'en banque on compte 360 jours dans l'année au lieu de 868 ou 366. Le jour d'intérêt, au lieu de représenter 1/365 ou 1/366 de l'intérêt annuel, est compté pour i/âôO- — Souvent, pour compenser cette différence, on porte tous les mois à 30 jours, douzième de 860,

Dans l'exemple ci-dessus, le dernier chiffre retranché à droite du produit de la somme par le nombre des joors, 66,150, était un 6. Afin de réduire l'erreur volontaire que l'on commet par le retranchement des chiffifos qui expriment

604 TRAITÉ DKB OPiftiLTlOllS DB BANQUE.

des fraotions de centime, on aurait pu ajouter uneîunité au dernier chiffi*e conservé et prendre pour dividende 66S : on aurait dû ajouter cette unité, si le chi£fire retrandié avait été supérieur à 8 : on ne Tajoute jamais, s'il est inférieur à ce nombre.

Mais comme les diviseurs que donnent les divers taux d'intérêt ne sont pas tous des nombres aussi commodes dans le calcul que 9,000, on a pris le parti de calculer toujours l'intérêt par 6,000, diviseur fixe pour le taux de 6 p. •/•. et de défalquer du produit 1/6, s'il s'agit de 5 p. V« ; i/3, s'il s'agit de 4 p. Vo; i/12> s'il s'agit de 5 i/2» et ainsi de suite. Enfin, au lieu de diviser le nombre par 6,000, on retranche deux chiffres à droite du dividende et on divise par 60.

Cette manière de calculer l'intérêt d'une somme donnée pendant un certain nombre de jours est connue sous le nom de méthode des diviseurs fixes, parce que, pour toutes les sommes prêtées à un taux d'intérêt, le diviseur est le même et il suffit de le placer une fois pour toutes dans sa mémoire pour être dispensé de le rechercher ensuite. Cette méthode a été longtemps seule employée en banque, et c'est par elle que l'on obtient la démonstration de toutes les autres méthodes relatives au calcul des intérêts.

La méthode des diviseurs fixes et la proportion fondamentale sur laquelle elle est établie, ont conduit à la découverte de deux autres méthodes, celle par les multiplicateurs et celle par les parties aliquotes. La première, qui a servi à la formation de la plupart des livres d'intérêt ou comptes faits, consiste à multiplier le nombre^ ou produit de la multiplication de la somme par le chiffre des jours où l'intérêt court, par une fraction dont le numérateur est le chi&e qui exprime le taux de l'intérêt et le dénominateur 36,000. Ainsi avec les données de l'exemple employé ci-dessus, l'intérêt de 2,460 francs peu* dant 27 jours est égal à

A proprement parler, l'opération est la même que par les diviseurs fixes : il n'y a de différence que dans l'ordre des calculs et la disposition des chiffres.