SUR LE FIGURÉ DU TERRAIN

U ne figure semblable à une surface courbe , comme l’est presque partout celle de la terre, doit être elle-même une surface courbe. La comparaison d’une surface courbe à une surface plane ne peut avoir lieu qu’en vertu d’une abstraction. Ainsi , lorsqu’en topographie on vput faire cette comparaison, on suppose qu’un certain nombre des points de la surface du terrain se projette sur un plan horizontal ; la projection obtenue se nomme projection naturelle. La carte d’un lever faite à la planchette, à la boussole, ou à vue, est une figure semblable à la projection naturelle du terrain levé. Le but que l’on se propose en topographie serait complètement atteint, si la carte présentait , outre une figure semblable à la projection naturelle , la hauteur de tous les points remarquables du terrain au-dessus d’un plan horizontal donné , et que l’on pût construire , sur une surface plane , le développement de l’intersection du terrain et d’un cylindre vertical quelconque. Cette intersection se nomme profil : elle est la plus simple possible , lorsque la base du cylindre se réduit à une ligne droite.

• Soient {PI. C, Fig. F) A, B, C, D, etc. les projections sur un plan horizontal donné de plusieurs points appartenant à une surface courbe. On connaît la hauteur de ces points au-dessusdu même plan. Enfin , la courbe C , D, E, F, etc. est la base d’un cylindre vertical passant par les points projetés en C, D, E , F, etc. La hauteur de ccs points étant connue, il est évident que l’on peut développer, sur un plan vertical, l’intersection de la surface du cylindre et de celle du levain. La base se développe suivant une droite horizontale C'X. L’origine de cette droite étant supposée correspondre au point

aG INSTRUCTION

C' (le la base, on portera sur C' X., à partir de ce point, les lignes C ' D', C E', C F , etc. , égales aux arcs développés C D , D E , E F, etc. Ces lignes seront considérées comme abeisses. Les hauteurs audessus du plan horizontal des points projetés en C D E , etc. , seront les ordonnées correspondantes, et on aura le développement cherché dans la ligne qui joint les extrémités des ordonnées.

On pourrait écrire , près de la projection de chacun des points, une cote exprimant la hauteur de ce point au-dessus d’un plan de comparaison ; mais des cotes trop multipliées produiraient sur la carte de la confusion. Cette carte n’aurait pas d’ailleurs l’avantage de faire apprécier simultanément la hauteur relative d’un grand nombre de points , et par conséquent la forme générale du terrain. Pour faire disparaître en partie cet inconvénient, on peut supposer tous les points d’égale hauteur, liés par des courbes. Ces courbes conserveront , sur la projection naturelle , leur véritable grandeur. Sur la carte , elles devront être exprimées par des courbes, qui leur seront semblables , et qui auront avec elles un rapport de grandeur déterminée par l’échelle. Plus les courbes seront multipliées , plus la forme du terrain sera rigoureusement déterminée. Le nombre des cotes n’excédera pas celui des courbes : on peut le réduire encore , en supposant les courbes horizontales comprises dans des plans également espacés. La distance verticale de deux plans horizontaux consécutifs se nomme équidistance. Cette hypothèse établie, on pourra presque toujours, du niveau de l’une des courbes, conclure celui de toutes les autres.

Soient ( PL C, Fig. IF) les courbes fermées ABC, A B C , A B" C , A B C , les projections des intersections de la surface du terrain par des plans horizontaux, l’équidistance étant de 10 mètres. La courbe projetée en ABC I) est élevée de jo mètres au-dessus d’un plan donné de la surface de la mer , par exemple. On en conclura que les cotes des courbes projetées en A' B’ C D', A B C D , A'B'C'D", sont Go mètres, 5o mètres, 4° mètres, etc.

Ce qui vient d’être dilsuppose que, si une courbe fermée AJ1CD, est la projection d’une courbe horizontale , le niveau de cette der-

SUB LE FIGURÉ DU TERRAIN. a 7

nière est plus élevé que celui dune autre courbe horizontale, dont la projection A'B'C'D' enveloppe A B CD.

La forme de la surface des continens permet de faire cette supposition. Les mamelons y sont fréquens; il est rare au contraire d’y rencontrer des profondeurs isolées. Ces profondeurs n’existent guère que dans des contrées volcaniques , ou lorsqu’elles ont été creusées par la maip des hommes. Ainsi on peut dire , en général , que les points de la surface de la terre auxquels correspondent des plans tangens horizontaux , appartiennent à des surfaces convexes. C’est à cette particularité que sont dus le facile écoulement des eaux vers les bassins des mers , et la rareté des lacs surtout de ceux qui n’ont pas d’issue: Dans le cas où la surface à laquelle appartiennent les courbes projetées , A B C D , A B C D serait concave, on pourrait l’indiquer par des cotes , on égalerait le nombre des cotes à celui des courbes. Il pourrait même suffire de coter les courbes extrêmes.

Si les courbes projetées comme celles ABCD, A B C D', A' B” C D' , A B ’ C' D " (P/. C, Fig. Tir), n’étaient pas fermées, il serait plus difficile que dans le cas précédent de distinguer dans quel sens la pente existe ; mais presque toujours , pour pen que le terrain levé ait d’étendue , la question est résolue par le tracé des cours d’eau.

Ainsi la ligne EFG, représentant un ruisseau , elle indiquerait que le terrain auquel correspond l’espace circonscrit par ABCD, appartient à une vallée.

11 appartiendrai t à un plateau, si le ruisseau était guré par H I L. Dans le cas où la carte ne présenterait point de cours d’eau , on pourrait y suppléer par des lignes qui feraient connaître la direction des eaux pluviales. A défaut de ce moyen, on coterait les courbes extrêmes , A B C D , A" B'"C" D"'.

On a fait voir que la configuration du terrain était déterminée par les projections des courbes horizontales. On va démontrer quelle pourrait l’être aussi par celle des courbes de plus grande pente. La définition de ces courbes doit précéder la démonstration.

a* instruction

Par un point quelconque, pris sur une surface courbe, imaginons un plan tangent à celte surface. Soit mené par le même point, la ligne de plus grande pente de ce plan , c’est-à-dire celle qui y étant comprise, forme le plus grand angle possible avec l’horizon.

Par un point de cette ligne, très voisin du point de contact, et pouvant être considéré comme appartenant à la surface courbe , imaginons un second plan tangent et une seçonde ligne île plus grande pente.*Sur cette ligne, et très près du second point de contact , prenons un troisième point. Par ce point, supposons un nouveau plan tangent et ainsi de suite. Les parties des lignes de plus grande pente , comprises entre les dilïércns points de contact , seront les élémens de la courbe de plus grande pente. .Cette courbe est généralement à double courbure : elle serait plane sur une surface de révolution, ayant son axe dirigé verticalement. C’est celle que suivrait une gQutte d’eau abandonnée sur une surface quel- 4

conque à l'action de la pesanteur.

Considérons la ligne de plus grande pente, et la tangente horizontale qui correspond à un point donné , le plan vertical passant par la ligne de plus grande pente (*) est perpendiculaire à cette tangente. Donc la trace de ce plan , ou la projection de la- ligne de plus grande pente, est perpendiculaire à l’élément correspondant de la courbe horizontale. Donc les projections des courbes de plus grande pente coupent à angles droits celles des coilrbes horizontales : c’est cette propriété qui leur a fait donner le nom de normales. , .

Cela posé , soient ( PI. C, Fig. IF) ABC,A'B C',A B' C , etc. , les projections des lignes de plus grande pente, tTacées sur une surface courbe MNO, la projection de la courbe projetée horizontalement en ABC, sur un plan vertical dont la trace est PX; enfin DEFGH1K.L la base d’un cylindre vertical. 11 s’agit de démontrer que l’on peut construire l’intersection de ce cylindre et de la surface donnée.

(*) Un plan vertical est perpendiculaire à une horizontale, s’il passe par une ligne perpendiculaire à cette horizontale.

SUR LE FIGURÉ DU TERRAIN. aq

On a fait voir précédemment que tout se réduisait à déterminer les hauteurs des points projetées en DEF, etc. au-dessus d’un plan horizontal passant par P X.

11 a été démontré d’ailleurs que les projections des courbes horizontales coupaient à angles droits celles des courbes de plus grande pente. La courbe H ST VU perpendiculaire aux courbes ABC, A B C', A B C , A B C' sera donc la projection de la courbe horizontale passant par le point projeté en H. Les points projetés en HSTVU, seront par conséquent à même hauteur; or , on connaît la hauteur UN du dernier. Donc celle du point projeté en H est déterminé aussi.

Quoique la principale condition se trouve remplie , cette méthode est évidemment moins directe que la précédente. Celle-ci donne immédiatement les projections des courbes horizontales toujours nécessaires pour la solution des problèmes ; elle rend donc inutile l’opération que nous venons d’indiquer.

Quelques géographes ont regardé les courbes de plus grande pente comme plus facile à déterminer sur le terrain que les courbes horizontales. Cette opinion ne paraît pas motivée. En effet, par un point donné, on ne peut faire passer qu’un plan horizontal, tandi» que, par le même point, on conçoit une infinité de plans verticaux ; ainsi dans le cas même où la courbe de plus grande pente serait plane, il semble difficile de déterminer le plan vertical qui la contient. La difficulté s’accroît encore lorsqu’elle est à double courbure. L’opinion que nous venons de combattre tient sans doute à ce que les lignes que suivent les eaux sont celles que sur la terrain on a le plus l’habitude de considérer.

Dans la méthode adoptée par Je dépôt général de la^uerre , on réunit la considëimtion des courbes horizontales, et celle des courbes de plus grande pente. Voici en quoi consiste cette méthode combinée.

La surface du- terrain est supposée coupée par des plans horizontaux équidistans. Cela posé, par un point appartenant à l’une des intersections, imaginons un plan tangent à la surface, ainsi que la ligne de plus grande pente de ce plan ; cette ligne rencontre le

3o INSTRUCTION

plan de la courbe horizontale immédiatement inférieure en un point dont la projection n’appartient pas rigoureusement à cette courbe.

Soient donc ( PI. C, Fig. F), l'équidistance étant de dix mètres , ABC, AB' C’, les projections horizontales de deux courbes consécutives. Par un point M, pris sur ABC, menons une normale MP P'. Laparlie M M’ de cette normale, comprise entre lesdeux courbes, sera la projection , non de la ligne de plus grande pente , correspondant au point projeté en M, et comprise entre les plans des deux courbes , mais de la droite qui joint ce point à celui où le plan vertical, passant par la ligne de plus grande pente, coupe la courbe inférieure. Au reste, les projections horizontales des deux lignes se trouvent sur la trace du même plan vertical , leurs longueurs seulement diffèrent; mais la différence serait à peine appréciable dans la pratique. Ainsi on peut, sans erreur sensible, considérer MM , NN , OO', comme les projections des lignes de plus ■grande pente, passant par les points projetés en M, N, O, et comprises entre ces points et le plan de la courbe inférieure.

Au lieu de mener par les points M, N, O, des normales à la courbe ABC, on préfère, pour la facilité de l’exécution (PI. C, Fig. VF) abaisser de ces points des normales sur la courbe A B C', La ligne MM est la projection de celle qui joint le point projeté en M à celui où le plan vertical, passant par la ligne de plus grande pente correspondante, coupe la courbe projetée en ABC.

Les courbes horizontales étant données, il est facile de tracer la normale. Pour qu’au premier aspect de la carte , ces lignes déterminent la forme du terrain, on convient qu’elles seront d’autant moins espftées que la pente sera plus rapide. Cette convention est conforme aux effets qui se produiraient, si la diibction des rayous lumineux était verticale. Dans cette hypothèse ; la quantité de lumière reçue par une surface plane, d’une certaine étendue, est d’autant moindre que la position de cette surface s'éloigne davantage de l’horizontalité. *

Si l’on se conformait rigoureusement à la loi qui détermine la

SUR LE FIGURÉ DU TERRAIN. 3i

quantité de lumière reçue pour chaque inclinaison , la variation d’espacement pour les normales ne serait point assez rapide. Les angles qui expriment la pente étant o et 66,66 grades, le rapport des quantités correspondantes de lumière reçue serait seulement :: 2 : i. La loi d’ailleurs comprenant des formules trigonométriques ne présenterait pas dans la pratique la simplicité désirable. On a préféré faire varier l’espacement des normales dans le même rapport que leur longueur. 11 fallait déterminer ce rapport. Si on le supposait , ainsi que l’équidistance , constant pour toutes les échelles, les normales, à mesure que l'échelle augmenterait ou diminuerait, pourraient être ou trop longues ou trop rapprochées. Relativement à leur exécution , leur longueur ne doit pas excéder 32 millimètres , ni leur espacement être moindre d’un quart de millimètre.

Il est rare de rencontrer , même dans un pays accidenté , des pentes plus rapides que celle de 5o grades. D’un autre côté , on regarde celle de 2 grades comme assez faible pour qu’il ne soit pas nécessaire de l’exprimer. Cela posé, soit l’équidistance io mètres, l’échelle étant au to'tôô» * a longueur des normales sera de i millimètre pour la pente de 5o grades, et de 3a millimètres pour celle de 2 grades. Eu supposant 4 le rapport de la longueur à l’espacement , on ne cessera point de satisfaire aux conditions imposées.

L'échelle étant au — les normales correspondantes aux peutes.de 5o grades et de 2 grades, auront pour longueur dans le premier cas, 2 millimètres; dans le second, 64 millimètres; mais celte.deraière longueur serait trop considérable, et pour quelle ne dépassât point les limites fixées, il faudrait supposer l'équidistance = 5 mètres.

Il paraît donc convenable de faire varier l'équidistance avec les échelles, et de la déterminer de telle manière qu’à l’échelle du plan elle soit toujours représentée par 1 millimètre. Cette condition remplie , la longueur des normales pour les inclinaisons de 5o grades et de 2 grades , sera de 1 et de 3a millimètres. Ainsi le rapport de la longueur à l’espacement pourra être invariablement = 4-

IXSTRUCTION

L'équidistance devrait varier aussi en raison de la forme du terrain. On a supposé cette forme telle , que la pente la plus rapide ne fut pas de plus de 5o grades. Souvent le maximum d'inclinaison est beaucoup moindre. Soit = 29 grades 5o millimètres l’angle qui mesure ce maximum. Pour cette inclinaison , la normale est égale au double de la ligne qui représente l’équidistance.

Si donc cette ligne est = 1 millimètre, les longueurs des normales correspondantes aux angles de 2 5 grades 5o millimètres et de 2 grades, seront de 2 et de 32 millimètres. Le rapport de la longueur à l’espacement étant toujours :: 4 : 1 j ° n aura j millimètre pour le minimum d’espacement. En diminuant la longueur et l’espacement des normales, on rendra l’exécution plus facile, et ou donnera plus d’effet au dessin. Ce double résultat sera obtenu si on fait l’équidistance telle qu’à l’échelle du plan , elle soit représentée par \ millimètre.

On rencontre quelquefois des parties de terrain extrêmement abruptes. Pour ces parties, le rapport établi entre la longueur des normales et leur espacement ne saurait être observé. Il faut se borner à exprimer la pente par le rapprochement des courbes , suivant lesquelles se projettent les sections horizontales.

Dans le cas où le rapport de la longueur à l’espacement est celui de 4, 1 , voici comme on procède dans l’exécution. Soient ABC, A B C , les projections de deux courbes consécutives. Si ces courbes sont à peu près parallèles, d’un point M (PI. C, Fig. VII) pris sur ABC, j’abaisse sur A B C’ la normale MM. Sur ABC de M en C, je prends MQ à peu près égal à MM . Je divise MQ en deux parties égales MO, QO, puis chacune d’elles en deux autres parties égales aussi MN, NO, OP, PQ. De chacun des points N O PQ, je mène une normale à la courbe A B C'.

Dans le cas où l’espacement des courbes ABC et A B C varierait sensiblement, il faudrait d'abord mener la normale O O’, porter du point O vers A et C les lignes OM et OP = 4 OO’, diviser chacune de ces lignes en deux parties égales, et abaisser de tous les points de division des normales sur A' B' C'.