CONSIDÉRATIONS THÉORIQUES SUR LES MACHINES THERMIQUES (D

La chaleur, source d'énergie

L'observation montre que la chaleur, en dilatant les corps, produit un travail qui peut être recueilli : la chaleur est donc une source d'énergie mécanique.

Réciproquement, l'énergie mécanique, dépensée à comprimer les corps, est une source de chaleur.

Ces deux phénomènes réciproques ont montré qu'il y a une corrélation intime entre la chaleur et le travail: la chaleur se transforme en travail et le travail produit de la chaleur. C'est la loi d'équivalence formulée par Mayer: elle constitue le premier principe de la Thermodynamique et s'énonce ainsi qu'il suit :

Toutes les fois qu'un corps produit ou subit un travail^ il disparaît do la chaleur ou bien il en apparaît; et il existe un rapport unique et constant entre les quantités de travail et de chaleur qui dépendent les unes des autres dans ces pbénomèmes.

Ce rapport unique et constant a été déterminé par l'expérience ; sa valeur dépend des unités de clialeur et de travail adoptées. Si l'on choisit la calorie et le kilogramme tre, il est égal à 425, et l'on dira, par exemple, que le travail de 425 kilogramme très correspond à la quantité de chaleur nécessaire pour élever d'un degré centigrade la température d'un kilogramme d'eau.

Il n'y aurait aucun intérêt actuellement à dépenser de l'énergie mécanique pour produire de la chaleur; mais les opérations qui ont pour but de créer du travail en brûlant un combustible sont éminemment pratiques.

Toutes les machines motrices utilisées par l'industrie tirent leur puissance de la chaleur : les moteurs hydrauliques ou électriques et

i. Ce cliapitre est un résumé des notions de thermodynamique absolument indispensables à quiconque veut se rendre compte du fonctionnement des machines àgaz.

les moteurs animés eux-mêmes ne font point exception à cette loi générale ; mais nous ne nous occuperons ici que des machines à feu. Dans ces moteurs, un combustible est brûlé ; la chaleur, qui résulte de celte réaction chimique, dilate un gaz ou une vapeur et lui fait acquérir une tension déterminée, laquelle vient s'exercer sur le piston mobile d*un cylindre et le pousse en avant.

La pression moyenne effective du fluide sur le piston est égale à la résistance totale par unité de surface du piston, lorsque le mouvement du moteur est uniforme. On peut donc calculer le travail effectué par le moteur, d'après l'effort exercé par le fluide sur le piston. Si nous désignons par la lettre p la pression moyenne du fluide, par s la surface du piston et par l sa course, nous aurons pour le travail par cylindrée T,

Nous venons d'expliquer la course-avant du piston. Or, pour produire un mouvement continu, il faut nécessairement lui faire succéder une course-arrière : ce résultat s'obtient en diminuant la pression moyenne du fluide, de telle sorte que ce soit maintenant le piston qui recule et refoule le fluide; cette diminution de la pression du fluide sera le résultat de la soustraction d'une quantité déterminée de calorique.

Pour produire une évolution complète, il faut donc alternativement échauffer le fluide au contact d'une source de chaleur et le refroidir au contact d'un réfrigérant. Admettons que la source ait cédé Q calories et que le réfrigérant en ait repris y; une quantité de chaleur Q-y a disparu dans l'opération et nous savons qu'elle s'est transformée en un travail T. D'après le premier principe nous devrons avoir :

425(Q — //) = S' ou Q-<7 = |îgSr.

On écrit ces équations sous la forme suivante :

E(Q — (2) = 3" et Q — <7 = A^:

E est l'équivalent mécanique de la chaleur et A l'équivalent calorifique du travail. •

Mais la thermodynamique va plus loin ; elle nous apprend que le rapport des quantités de chaleur Q et y, reçue et cédée, dépend uniquement des températures T et / de la source et ' du réfrigérant, quand ils opèrent à température constante :

CcsL le second principe de la théorie mécanique de la chaleur : omine le premier, c'est un principe expérimental, démontré par Tobservation.

Voici son énoncé :

Lorsqu'un corps est mis successivement en communication avec une source de chaleur faisant office de foyer et une autre jouant le rôle de réfrigérant, et que les cclmnrjes de clialeur se font à température censtantCy le rapport de la quantité de clialeur fournie par le foyer à celle qui est reprise par le réfrigérant est indépendant de la nature du corps et il ne dépend que de la température absolue des sources.

Celte loi a été formulée par Sadi Carnot, en iSii; elle a adjoint dans la science la notion de la qualité de la chaleur à celle de sa quantité.

Notons aussitôt que les températures T et / ne doivent pas être comptées, sur Téchelle centigrade, à partir du zéro de la glace fondante, mais à partir de — STS*', zéro absolu que nous aurons bientôt l'occasion de définir.

Toute la théorie des machirtes à feu, généralement appelées machines thermiques, est fondée sur les deux principes que nous venons d'énoncer et sur les considérations qui en découlent.

Nous allons exposer succinctement cette théorie; mais il convient de rappeler d'abord les données que la physique nous fournit sur les gaz, et nous commencerons par étudier les variations qu'ils subissent sous l'action de la chaleur.

Variations thermiques des gaz

Les lois de Mariotte et de Gay-Lussac, bien qu'elles ne soient vérifiées rigoureusement que pour les gaz parfaits, peuvent être appliquées sans inconvénient à tous les fluides que nous aurons à considérer dans ce travail.

Ces deux lois sont exprimées par les formules connues :

d'où l'on tire :

Dans ces relations, jo^ et p représentent les pressions initiale et finale, v^ et v les volumes correspondants, rapportés à Tunité de poids ; v' est un volume de la même masse à une température /' et Vo, son volume à zéro. Enfin a est le coefficient de dilatation des gaz

permanents, égal a 3=^ environ.

Faisons observer aussitôt que les pressions s'expriment en kilo grammes par mètre carré ; on prendra donc, pour p^, 10.333 kilogrammes; les volumes sont les volumes spécifiques de l'unité de poids, c'est-à-dire l'inverse des poids spécifiques.

L'équation (3) peut s'écrire :

PO =:/JoCo(l-f «0

OU W • pv^ Pot^o 273 (273 -h 0

Or, ^=^** est une constante spécifique pour chaque gaz, puisque les

volumes sont ceux de l'uuité de poids ; on représente généralement cette constante par la lettre R. Voici Quelques valeurs de R :

Hydrogène 422.68

Oxygène 26.475

Acide carbonique 19.143

Air 29,îÉ72

Pour un gaz de densité rf, on aura approximativement R = — ^ —

Le facteur (273 + /) peut être remplacé par T, si nous convenons de désigner de la sorte une température centigrade augmentée de 273 degrés : c'est ce qu'on appelle une température absolue. Son zéro correspond évidemment à — 273, car nous avons alors T= (273 — 273) = 0.

La formule (4) est donc devenue :

(5) po = RT

Remarquons aussitôt que la dénomination de température absolue donnée à T est bien justifiée, car, à — 273* centigrades, alors que T est égal à zéro, le volume v s'est réduit à zéro (*). Il semblerait dès

1. On admet, graluitement il est yrai, que les lois de la dilatation s'appliqueront encore à cette limite extrême.

lors que — 273** centigrades soit un minimum qui ne saurait être dépassé ; le nom de zéro absolu lui convient donc bien.

Nous ferons constamment usage de ces températures absolues.

Pour déterminer la quantité de chaleur qu'il faut fournir à un gaz pour élever sa température de 1 degré, on compare d'ordinaire en physique cette quantité à celle qui est nécessaire pour élever de la même quantité Tunité de poids de Teau. On détermine de la sorte les capacités calorifiques en poids du gaz : nous ne nous occuperons que de celles-ci.

Par le fait même qu'on fournit du calorique à un corps, on tend à le faire dilater : dans ce cas, le corps surmonte une pression extérieure; il produit donc un travail extérieur, dont il faut donner au corps l'équivalent en chaleur. La capacité calorifique d'un corps qui se dilate est donc nécessairement plus grande que celle d'un corps qui ne se dilate pas. C'est pour cela qu'on a été amené à distinguer deux espèces de chaleurs spécifiques.

Supposons d'abord qu'on échauffe une masse gazeuse en lui permettant de se dilater librement, sans changer de pression : la quantité de chaleur nécessaire pour élever de 1 degré, dans ces conditions, la température de 1 kilogramme de gaz est la capacité calorifique de ce gaz à pression constante : nous l'écrirons C.

Si le gaz était renfermé dans une enceinte inextensible, son volume resterait invariable, mais sa pression augmenterait, et sa capacité calorifique serait dite à volume constant ; on la distingue de la précédente en la notant c.

La première seule des capacités a pu être déterminée par l'expérience ; mais les physiciens ont d'excellentes méthodes pour mesurer

r le rapport - des deux valeurs ; ce rapport, que nous appellerons y>

est égal à 1,41 pour les gaz permanents.

11 n'est plus que de 1,29 pour l'acide carbonique aux températures ordinaires et, vers 2,000° centigrades, M. Berthelot estime (*) qu'il s'est abaissé au-dessous de 1,12. Ce rapport varie donc avec la nature du gaz et il diminue lorsque la température s'élève. J'insiste sur ce point, que l'on paraît oublier quelquefois.

La quantité de chaleur possédée par un gaz est connue, quand on a défini son volume, sa pression et sa température : ce quantum, renfermé dans le gaz, s'appelle sa chaleur interne. Si nous la désignons par U, nous pourrons poser :

v=f{v.pU)

l. Comptes Rendus de TAcadémie des Sciences, Tome LXXXIV, pa^e 407 ; 1877.

Mais, comme / est déterminé par p et v, on ne considère en pratique U que comme une fonction de v et de /? : on écrit donc :

L'accroissement de la clialeur interne pour une variation de volume dvel de pression rfp est donc la différentielle totale de la fonction /, et nous avons :

Le phénomène se complique lorsque, avec le changement d'état, il y a production simultanée de travail extérieur, comme serait, par exemple, le cas où le gaz aurait à surmonter en se dilatant, à pression constante, la tension égale à la sienne d'une atmosphère ambiante : alors la quantité de chaleur e/Q à fournir ne serait plus seulement rfU, mais d\]-\-kpdVy Apdv étant l'équivalent en chaleur du travail élémentaire dépensé. Il viendra donc, pour représenter l'état thermique du gaz :

,^ dv ^ dv ^ , ^ , dQ^-^ dv+^dp '\-Apdo

OU

(7) dQ = f^dp + {§+Ap)dv.

Remarquons incidemment que cette équation n'est pas intégrable; donc Q ne peut être exprimé en fonction des valeurs initiale et finale des volumes et des pressions du gaz, ce qui démontre que la dépense de chaleur nécessaire pour faire passer un gaz d'un état à un autre ne peut être déduite de la connaissance des états extrêmes, si on ne connaît pas en outre la suite des états intermédiaires. En d'autres termes, la quantité de chaleur nécessaire pour faire passer 1 kilogramme de gaz de l'état jd.k./ à l'état /?'k'^' dépend de la manière dont s'est opéré le passage du premier état au second. Nous devrons donc étudier les différents modes de transformations possibles.

Mais avant d'aborder cette question, dont l'importance est capitale pour nous, il convient d'introduire dans l'équation (7) les capacités calorifiques qui n'y figurent qu'impUcitement.

Que signifie Ja différentielle -j- ?

dp

Pour le savoir, imaginons que le gaz ait été chauffé de r à (/ + dt)

en conservant son même volume ; dans ce cas dv--^ o et nous avons

dans réqualion Çl) dQzn — dp. Mais nous venons d'opérer une transformation à volume constant; donc dQ=:cdt; d'où enfin

dp dp

De même, cherchons à pénétrer la signification physique de

( T — h A/) y On voit sans peine que si le corps varie de dt à pression

constante, il faudra faire, dans Téquation (7), dp=o, ce qui nous

donnera dQ= (— +Ap\dv. La transformation s'étant effectuée à

pression constante, la chaleur fournie sera Crf/, d'où nous déduirons comme ci-dessus :

ou

rfT dv

ou

dt p di^K

Les équations (8) et (9) portées dans l'équation (7) donnent enfin une expression de rfQ, en fonction des deux capacités calorifiques.

(10) ,c^^,pp^c^^^av

Mais l'équation /)K=RT, établie ci-dessus donne encore :

et

ce qui nous conduit finalement à cette dernière expression de dQ, (11) dQ = ^ {cv.dp + Cp.dv).

Nous possédons maintenant le moyen de calculer la quantité de chaleur nécessaire pour faire passer un gaz d'un état initial p^ro^o ^ un état ûnslpvt quelconque, lorsque nous connaissons le mode de transformation suivi dans l'opération.

Ces modes de transformation sont divers : ils dépendent uniquement de la relation f(p,v,) qui lie les volumes aux pressions, laquelle peut varier à l'infini : la température l du gaz est déterminée par V et p.

L'opération subie par le gaz peut toujours être représentée graphî-

quemenl. Ainsi supposons que, sur deux axes rectangulaires ojr et 07 (flg. 1), nous portions l'abscisse oa égale à v^ et l'ordonnée Aa égale à/?ç : le sommet A de cette ordonnée répond à l'état p^ v^ du fluide ; de même B figure l'état pv. Si le corps éprouve une transformation depf^v^kpv son changement d'état sera représenté par une ligne telle que AB, qui marque toutes les phases intermédiaires de la variation et peint aux yeux la variation de la fonction f(p.v.). AB peut varier à Tinfini comme la fonction.

Un très petit nombre de cas présentent de l'intérêt ; nous ne nous occuperons que de ceux-là.

Le mode le plus simple de transformation est celui dans lequel on ne fait varier que le volume ou la pression, l'autre élément restant constant. Tel serait, par exemple, le cas du chemin ACB de la figure ; le gaz à l'état />oVo, devant être amené à l'état /?k, y est conduit par deux séries d'opérations. Dans la première série, le gaz est distendu sous pression constante, le long de la droite AG, parallèle à l'axe des volumes : le volume croît de v^ à v, la température de /^ à /, (en valeurs absolues) et l'on a î^ = -? (*). La quantité de chaleur nécessaire

à la transformation est G (^o — ^i)- Puis, il faut soustraire du calorique

au gaz, de manière à abaisser sa pression de jo^ à /?, sous volume

constant, le long de CB : la température baissera de A à t, ces deux

P t valeurs étant liées aux pressions par la formule (12)^= -ri; d'où

résulte une variation thermique égale n — c {t^ — l). La dépense totale de chaleur est par conséquent égale à C (/g — ^0 — c (A — 0-

La détente d'un gaz sans variation de température est une des plus importantes que nous puissions considérer. C'est le cas auquel s'applique spécialement la loi de Mariette : revenons donc à l'équation (5)

Elle définit la série continue des états par lesquels passe une masse gazeuse qui se détend en gardant sa température : t étant donné, nous déduisons à chaque instant v dep, ou réciproquement.

1. Cette relation est pour aiosi dire éyidente, d'après ce qui précède : nous ayons en effet, en marquant par tq et ti les températures centigrades et îq et ti les températures absolues

Vo^I + olxq 273 + tq __ fp V l + axi 273 4- Ti U

Nous aurions une relation identique pour les pressions : ^ = -^

La courbe de cette transformation est une hyperbole équilatère, ayant les axes pour asymptotes, puisque nous avons jor^ constante. Il importe de faire observer que celte constante lit est entièrement déterminée par la température absolue t; la courbe peut donc se tracer sans qu'on ait besoin de connaître le produit initial p^v^.

Cette courbe est connue en théorie mécanique sous le nom de courbe isothermique.

Quand un gaz se détend suivant une isothermique, toute la chaleur qu'on lui fournit est transformée en travail.

Or, il est aisé de calculer le travail ^ développé pendant que le gaz se détend du volume initial v^ à un volume v quelconque. Ce travail est représenté par Taire comprise entre la courbe hyperbolique, les deux ordonnées extrêmes et Taxe des volumes. Son expression analytique est :

Fig. i

Af'.^^^

Cp

ïo

^Sy^

fvit)

■Vp]iune5

V dv

c^ rv , rv dv

S^= / p(fV=poVo I ■—

= />ot?olog'-

= Rtlog' ^*

A cette production de travail correspond une destruction de calorique : la quantité de chaleur transformée est égale à AU/ log* -

(13 bis).

Remarquons que la température du gaz varierait fatalement si les corps environnants et surtout les parois de Tenceinte ne lui fournissaient à chaque instant le calorique nécessaire pour maintenir sa température constante. L'hypothèse du changement d'état, sans variation de température, entraîne donc en pratique celle d'une enceinte indéfiniment conductrice, qui cède au fluide toute la chaleur transformée en travail dans sa détente.

Au lieu d'une détente, nous aurions pu étudier une compression à température constante : elle se ferait suivant la même ligne isothermique et d'après les mêmes lois : la paroi absorberait la chaleur produite par le fait de la transformation du travail.

Il y a une autre transformation possible : c'est celle qui s'effectue sans

perle ni gain de chaleur, le long d'une courbe adlabatiqueQ)^ dans une enceinte absolument imperméable à la chaleur.

Dans ce cas, la chaleur fournie étant nulle, nous devons poser dQ = o.

lien résulte les équations suivantes, déduites de Téquation (H);

cvdp -^ Cpdv = o

d'où, en remplaçant - par y et en divisant parpv :

dp , dv

L'intégrale de cette équation, prise entre les limites p^ v^, et jof, est:

On en tire et enfin

io(7'^ + Y/oi/'J=o

Po ©0 Y = pt? Y = constante.

Celte formule est connue sous le nom de formule de Poisson.

Elle nous fait connaître la série continue des états par lesquels passe une masse gazeuse qui se détend dans une enceinte imperméable à la chaleur.

La courbe correspondante est une hyperbole, ayant les axes pour asymptotes, mais non symétri- >i' A

que par rapport à ces axes : c'est en quoi elle diffère de la courbe isothermique. Comme y est plus grand que l'unité, on reconnaît sans peine que l'adiabatique se rapproche plus de Taxe des abscisses que riso thermique. Ces deux courbes se coupent donc nécessairement en un point, ainsi

que le fait voir la figure 2, sur laquelle AB est une adiabatîque et A'B' une isothermique.

1. Du grec aÔcaôaTOç, impénétrable; ce mot a été choisi par Rankinc et il est devenu d'un usage courant.

Toute la chaleur convertie en travail est empruntée dans ce cas à la masse gazeuse elle-même, dont la température décroit suivant une loi définie, qu'il est facile de découvrir.

En effet, nous pouvons écrire :