CHAPITRE VII. — FIGURES D’ÉQUILIBRE VOISINES DES ELLIPSOÏDES

sera portée ensuite dans l’équation des ellipsoïdes à trois axes

F = 5±Sl üiS, 3 5

qui permettra de déterminer la valeur correspondante de b. On a ici, en remplaçant p par r sous le signe somme,

(a3o') Mi = R?/ gp = (P'- 6'2) (Ps~ c*)/ c‘)D*

Posons

et

il vient

r2 — 6 2 6ï2 — b 2 1 -t- Ix

D2 __ (1 x) (1 -h sx) (1 -+- tx) A2 . (p2 — a2)3 — si st ’

13 JL 1 / st r™ dx

__ 1 i / /',°° (1+ s#) (i -h tx) clx

Rt S-„ 1 / ^ r70

5 ~ 2 V p2 — a- JQ (i-

dx

1 1 rr (±±^1

w)(i + ^)A dx

On voit facilement sous cette forme que l’équation' (229) F = o n’est pas autre chose que l’équation (s, £) = o, formule (62'), que nous avons étudiée dans la discussion des ellipsoïdes de Jacobi,

. r°° 'x dx r *

x- dx A3 :

Pour le calcul numérique il faut développer les intégrales de F

208 figures d’équilibre d’une masse liquide en rotation. en séries. Pour cela, posons dans les expressions (23o)

et

Les limites deviennent o et i , on a

r dr r2 — a2

__ dz

D.s3 = y/p2 — a2 \Jp2 — è2 A,

formules où l’on a

A = \J i — — ^2) vV2 — c2+ (a2 — c2)z2.

Les formules (23o) se transforment alors dans les expressions simples suivantes, qui correspondent à celles de Liapounoff :

Ri Si

-=V,-X/Îxî’ ^ =

1 z' dz A3

En les développant suivant les puissances de X, on obtient [ Ri Si D

avec

2 2 yp2 — a2

et les formulés de récurrence

(2»+'4)<ïb+i= (2W+I)aft+ 6«,

^+1=(p2-C2)[(2/l+5)a„+i-(2/l + 2)fl,1]-

Si l’on fait maintenant pour simplifier c = o et a = 1, il vient d’après (226)

«0=£(p-v/?ï= 7l^/^) = pX!Q!,