CHAPITRE VII. FIGURES D’ÉQUILIBRE VOISINES DES ELLIPSOÏDES

d’où

ri 1 Si

— p^—gi L y/pi— c»H- t/a»— C2

En introduisant les simplifications c — o et a = i, on a enfin

Ri Si 1,, , ,

= P--(P”—0Lp I

= 2X1 Ql.

C’est bien la même valeur que celle du produit X] Q| .

La forme unique R*, correspondant à n, devient un poljnome de Legendre X° ou X;i d’ordre n où p — o. On a de plus, avec les simplifications introduites et b — a,

D =(p2— «2) vV— p(p- — 0-

L’expression S* devient alors

s* = r, r^dxn

2* + i Vp RiD Vp XjRp* — I)

C’est bien l’expression de la fonction de Legendre de seconde espèce, qui peut s’écrire, pour p = o,

2 P — ri

où F est un poljnome de degré n - «expressions.

Pour n — 3 et n — 4? on a

2/l-fI

dont on a donné différentes

R/c = X4 = — (35 p4 — 3o p2 -f- 3 ), F3=:— p(2ip2- 11).

Dans le premier cas, pour n = 3, en portant les expressions cidessusdans (223), on obtientpourles valeurs approchées p2 = 1 ,227 au lieu de 1 , 1 35 , et avec la condition ABC = 1 on a

alors que les vraies valeurs seront

206 figures d'équilibre d'une masse liquide en rotation.

Dans le second cas, pour n = 4? on obtient p2 = i,o85 au lieu de i ,o4i et

au lieu de

Remarque. — D’ailleurs, pour des valeurs assez grandes de /z , l’expression Xw Q„ peut s’écrire approximativement d’après les calculs de Laplace .

Xi Q/i — —

COS(2 7l ■H- l)6

(2/1 4-i)Vp2— I

chO = p,

et les tables des fonctions hyperboliques de l’Institut smithsonien de Washington permettent de résoudre l’équation obtenue.

D’ailleurs, l’équation de condition (223) et la valeur approchée de R| dans (226) nous donnent ici

X„Q„ = ^ = XJ Qj = const.

De plus, pour des valeurs croissantes de n , la valeur dep = ch 9 tend vers 1. Il en est de même du cos (277 + 1)6 dans X„Q„. En appliquant alors la formule (228') à deux valeurs successives de tz, on obtient la formule de récurrence très simple (*)

Pour 11 = 5 on obtiendra p2 ±= 1,02899. On en déduit la valeur p2 == 1.0207, exacte à moins de 0,001 près, puisque la vraie valeur est 1,0200. On aura donc certainement, avec la même approximation,