AU

ce qui permet de déterminer rapidement la racine X ( , qui donnera ensuite b\ :

«2 — b 2 i — b' Jst a2 — Xp2 i — Xp3 A ~ “ ?2 62’ b~ ~ i — X “ i — X

Remarque /. — On aurait pu obtenir les formules (282) en posant dans les formules (23 1)

;> 1 et / ~ 1 t

et remplaçants par sa valeur en p2. On voit ainsi qu’on a développé simplement les intégrales de l’équation tp(s,^) = o suivant les puissances croissantes de 1 t < 1.

Remarque II. Liapounoff, qui a donné ce développement, écrivait dans sa notation

Ri Si 1 ,

= 5 E*.‘F*>* ^hfiwŸ m = ^ + q){t+

dt

(; w<..wo

11 pose ensuite

APPELL. — IV

et X :

p-hq

et il obtient les expressions (282) sous la forme

Détermina Lion des valeurs exactes de p et b. — Ces valeurs approchées p i et h 1 sont portées dans la seconde équation de condition

Ht S.i R/c S* = RA __ R„S» >

Nous pouvons écrire ici Rw et Sn parce qu’il n’j a qu’une seule fonction R d’ordre n qui convienne.

Ces valeurs de p et b ne vérifieront pas exactement cette équation et donneront G >> o par exemple. On essaiera une autre valeur voisine p2 qui donne G<o, après avoir déterminé la valeur correspondante b 2 au moyen du calcul précédent. On aura alors pour la valeur exacte p1 <T p <T p2 sipi<Cp2* On pourra ensuite recommencer les calculs et resserrer autant qu’on voudra les limites entre lesquelles se trouve comprise la valeur exacte.

L’expression G (235) a été appelée par Poincaré coefficient de stabilité de l’ordre n. Nous en verrons la raison au chapitre suivant :

En transformant la fonction de Lamé de seconde espèce S,,, Liapounoff arrive à écrire l’expression G sous la forme

pj

D Ræ S 1 T D /RjSï ç 3 ' p \ 3

où (C joue le même rôle que - 3 ma^s l’expression qu’il donne

pour J est extrêmement compliquée et conduit à des calculs très laborieux.

M. P. Humbert arrive à des formules plus simples. L’expression G peut s’écrire alors

037) - & = jRS^S^iDP'H- P) = R2DP'(!^ + ïîjp} =