CHAPITRE VII. — FIGURES D’ÉQUILIBRE VOISINES DES ELLIPSOÏDES
Si l’on pose
(238) H - DP = K(P2)H- r K(a®) = K<>*) + ^ K(i),
on obtient
RnSn
P " \D H / pJ ’
les dérivées élant prises par rapport à p-, ou par rapport à p dans la notation de Liapounoff.
L’expression R,* Sn est exprimée au moyen de la seule fonction H, qui exprime la valeur de l’intégrale S7i pour la valeur particulière correspondant aux ellipsoïdes critiques de Jacobi.
La fonction K dans H peut d’ailleurs s’écrire
■ lV'2(a?y
où R'(aj) est la dérivée deR/? par rapport à p-, où l’on a fait ensuite p- — a,;. Pour n pair, n — ik, on a
et
R»=? (p2— ai)(p'— a2)- • • (p
pour /i impair, n = 2/r -f- 1, où l’on peut faire c = o. On aura alors
I P2 — R/2(«i) ‘2 jLJai I — az L 2 ( a i )
p2 4 2 — 3 az- 1
j 2dai 2(p2— a,) (1 — a,). iV2(aj) ’
^ai (p2— «z)2 R'2(ai)
Il suffira donc de déterminer les racines or* de R„ pour obtenir ÏI et la valeur correspondante de S«.
Remarque . — Liapounoff et M. P. Humbert donnent des formules différentes pour le cas de n pair ou impair. Mais les exprès-
sions plus compliquées données par M. P. Humbert pour ra impair peuvent s’écrire simplement
(240') en posant
a i «/T'? (af)
R n = \Zp~ — C2(P2— a0- • • (?2— a/c) — \J p2 — c2 T 7l i .
On obtient alors, en prenant les dériyées par rapport à p2
R' — — ----- - T-f- i/pa— çsT7;
2 \Jp2 — c2
en faisant ensuite p2 = a/ et c = o, il vient
T — o et a 1 T'2 (a/) == R'2 (oq).
La formule (240') est bien donnée par la formule générale (240).
F igure piriforme ou ovoïde n — 3. — On a, en faisant c = o,
L’équation différentielle qui détermine R peut s’écrire, H étant ici une constante,
('243) A^(A5)==^R”+AA'R'=[»(» + I)p^+HJR,
avec
(244) A=J, D2 = (p! — a2)(p2— *2)(p2 C2) = pî(p2— «2)(p2— 62), A2=(p2-a2)(p2- b'-), AA'= I(A*)'=ap»-(a*+6*)p.
On a
Ces valeurs doivent vérifier identiquement l’équation différentielle ci-dessus quel que soit p. En égalant à zéro les coefficients de p2 et le terme constant, on obtient
H = 10a — 9(a’2-h b 2), — aE = a(a2-r- b 2) -b6a2&2,
d’où l’équation qui donne a
