CHAPITRE VII. — FIGURES D’ÉQUILIBRE VOISINES DES ELLIPSOÏDES

et l’on a, pour la valeur correspondante de Ç,

Cm — o j 1498 <sô ? Cm — ~r = 0,1559^0-

Si l’on lait croître z de o à C, la valeur de z, d’abord négative, passe par un minimum égal à £m pour zm dans le plan xz et égal à Cm pour zm dans le plan yz. Ensuite C croît, s’annule pour la valeur zK dans le plan xz et pour la valeur z2 dans le plan yz, puis croît jusqu’à la valeur Ç0.

Quand on fait varier z de o à — C, C reprend les mêmes valeurs

Fig. 4a.

avec le signe contraire. Il a un maximum Cm et la valeur limite — Ç„. Les courbes de la figure 42 représentent ces variations. Le poin-

tillé représente la section de l’ellipsoïde ( voir aussi fig. 4o bis, n° 82).

Limite de la déformation. — La longueur Çest reportée sur la normale à l’ellipsoïde et représente l’épaisseur de la masse additionnelle, positive ou négative, qui donne la figure de déformation.

On considère Ç comme infiniment petit et l’on a des cylindres élémentaires de hauteur Ç et de base da reportés sur la surface de l’ellipsoïde. Darwin avait déjà remarqué que la déformation devait rester infiniment petite pour l’application rigoureuse de la formule (269) et il avait calculé la déformation en seconde approximation. Quand Ç est négatif et pris à l’intérieur de l’ellipsoïde, les cylindres élémentaires tendent à devenir des cônes. Au sommet du grand axe par exemple, où l’on a £ = — Ç0, les cylindres sont devenus des cônes quand Ç0 a atteint la valeur du rayon de courbure en ce point. On peut admettre que la formule générale est encore applicable jusque-là, comme première approximation, mais on ne peut pas donner à £0 des valeurs plus grandes, car les volumes élémentaires ne seraient plus exactement définis. Il n’est même pas nécessaire que la figure ait un rentrant.

Les rayons de courbure principaux en ce point sont ^ et on doit donc avoir

r > bl - e!

So,ii9.

Ainsi la déformation maximum à l’extrémité du grand axe 11e devra pas dépasser les ^ du grand axe.

Les maximum et minimum de Ç correspondants seront dans les deux plans de coordonnées

Xsm= 0,0178 et o, oi85.

En calculant Ç pour différentes valeurs de z on obtient le tableau suivant dans le plan xz. La première ligne donne les valeurs de z en prenant le grand axe comme unité. La seconde ligne donne les valeurs correspondantes de Ç en prenant Ç0 comme unité. Enfin la troisième donne les valeurs de Ç en prenant le grand axe comme unité et en donnant à Ç0 sa valeur maximum à la limite de défor-