CHAPITRE VII. — FIGURES D’ÉQUILIBRE VOISINES DES ELLIPSOÏDES

Les calculs numériques des ellipsoïdes critiques de révolution se font plus simplement et plus rapidement que ceux relatifs aux ellipsoïdes à trois axes. Il suffit d’employer les formules analogues à celles qui nous ont donné la solution approchée, en considérant les ellipsoïdes à trois axes comme des ellipsoïdes de révolution allongés.

Nous avons remplacé la condition

Ri Si __ R k S*

par

Ici nous avons en général

7/ , x- dn+P ( i -H- s2 )n

R/t — X;i— h(i -h s-)* dsn+p 1

où l’on doit faire dans le résultat

ou bien, avec les notations simplifiées,

Nous aurons donc en somme

X| Q] = XftQft,

p dp

(XrÿD

où n H- p doit être pair.

Pour n = 3 et p = 3, on a trois méridiens symétriques d’intersection de la figure infiniment voisine avec l’ellipsoïde. On obtient une figure qui partage l’ellipsoïde en six fuseaux, formant alternativement des dépressions et des renflements d’un pôle à l’autre, comme les côtes d’un melon. Il est curieux de retrouver sur le globe terrestre la trace des mêmes déformations : les dépressions nord-sud de l’océan Pacifique, de l’océan Atlantique, de l’océan Indien avec la mer Caspienne, les renflements de l’Amérique, de l’Europe et de l’Afrique, de l’Asie avec l’Océanie.

Pour n — 4 et p — o, il y a intersection de deux figures suivant deux parallèles symétriques par rapport à l’équateur. Quand on aura déterminé p par l’équation ci-dessus, ce qui donne le rapport

des axes de l’ellipsoïde critique, on obtient les valeurs de olk et a2 qui déterminent la position des deux parallèles d’intersection, par les mêmes équations (253') déterminées plus haut pour ri — Il suffît d’j faire

b = c = o, d’où P = Q =■ o.

On en déduit

puis

Zi = ± ^/aj = 0,507, = ± |/a.2 = 0,941 •

L’un des parallèles correspondra au milieu de l’axe équatorial et l’autre presque à l’extrémité de cet axe. On obtient un renflement aux deux pôles et un sur le cercle équatorial, avec deux dépressions circulaires, symétriques par rapport à l’équateur et comprises entre z\ et z2. Les deux dépressions circulaires en se creusant pourraient se rejoindre, en détachant un anneau équatorial, au lieu des deux satellites que donnerait la figure n .= 4 étudiée ci-dessus. Ce serait le cas de l’expérience réalisée par Plateau, par la rotation d’une sphère d’huile (Jig. 38, n° 80). Mais, dans l’expérience de Plateau, il faut tenir compte de la tension superficielle. Ce sera l’objet du Chapitre IX.

Pour le cas n — 2 et y? = p qui détermine un autre ellipsoïde de révolution voisin, la valeur de a qui donne la position du parallèle d’intersection sera donnée par la formule