CHAPITRE IX. — FIGURES D’ÉQUILIBRE. ETC. 3oi
saire pour la formation des anneaux était de o,o3 gr:cm2, alors que la pression atmosphérique est supérieure à 1000 gr:cm2.
113. Cas d’une faible vitesse de rotation. Ellipsoïde de révolution. — Quand la vitesse de rotation est nulle, la figure d’équilibre est une sphère. Il est naturel de penser qu’ensuite on aura un ellipsoïde de révolution légèrement aplati, pour une faible vitesse de rotation.
Le rayon de courbure de la section méridienne donné par les formules \3) et (8) peut s’écrire
R dx \J j | y'i dx a 8/
D’ailleurs l’équation de l’ellipse, en appelant e l’aplatissement et négligeant e2, donne
La dérivée de cette expression par rapport à x nous donne 1 : R d’après (16). On voit que les deux expressions s’identifient en écrivant
, pw2a3
32 7 Zf
M = g 7up a2 6 == g 7rpa3(i -
où M est la masse totale. La courbe méridienne est donc une ellipse, dont l’aplatissement est égal au paramètre h et proportionnel à go2, comme dans le cas de la gravitation.
On vérifie d’ailleurs immédiatement que les deux rayons de courbure d’une ellipse, aux deux sommets des axes, R = a2 : b et R = b2 : a, vérifient bien l’équation (16) pour a? = o et x — a.
114. Intégration, complète de l’équation différentielle par les fonctions elliptiques. — Faisons le changement de variables suivant dans l’expression <!>(#) (8) :
1 — h — |— h — — s= 1 — / t — f— ht = cd(R.
3o 2 FIGURES D’ÉQUILIBRE D’UNE MASSE LIQUIDE EN ROTATION.
L'expression différentielle (9) devient
?(0 dt y 1 rl o{t)dt
y 1 Çv ?0 « 2 j^yy
sjl— t ?2(0
La dernière expression donne l'ordonnée de la courbe méridienne, l’intégration étant faite à partir du sommet du grand axe où# = a, t= 1 et y = o.
L’expression sous le radical est du troisième degré en t. On a donc une intégrale elliptique. On peut la ramener à des intégrales de première et de seconde espèce de Legendre, dont les valeurs sont données par les tables de Legendre. On pourra calculer ainsi la courbe méridienne, y en fonction de #, pour n’importe quelle valeur de h.
Comme on a toujours h < 4> la quantité sous le radical n’a toujours qu’une seule racine égale à t. On peut l’écrire
1 — 2<p2(/) = (i — t) [A2^2 -J- h(i — h)t- hi], ■
Posons, cp étant une nouvelle variable, qui remplace t ,
, s , CD , © do
(21) 1 — * = Xtang2-, — et* =X tang- — ?
