CHAPITRE IX. — FIGURES D’ÉQUILIBRE, ETC
s’exprimer en fonction de x, au moyen d’un seul paramètre , que nous désignerons par h , et qui contient toutes les autres données p, a), à, f. On a en effet,
pc o2 a3
Il suffira donc de donner à h toutes les valeurs compatibles avec (8), pour obtenir toutes les figures d’équilibre de la masse liquide.
Pour h — o, on a &ï = o,.la figure d’équilibre est une sphère. On a vu (8) que sur l’axe, pour x = o, on avait toujours y' = o, et la tangente au méridien normale à l’axe O y. Pour i, il n’y a pas d’autre racine de ^(#), ni de y’ , pour x compris entre o et a. La tangente yr décroît régulièrement de o à — oo de l’axe de rotation au cercle équatorial. La section méridienne et la surface libre sont partout convexes.
Pour h > 1 il y a une autre racine X\ de ty(x) et de y' entre o et a,
<"> & = ir’ *-*•>. •r = 0-
Autour de l’axe de rotation pour x < X\ on a y'^> o d’après (8)
la surface est creusée et concave, partie BH. Elle redevient convexe pour x> xK, en HA (fi g-. 54).
La figure se creuse de plus en plus, quand h croît, devient annulaire pour h == 2,32. Au delà, les équations ci-dessus ne conviennent plus au problème. Il faudra considérer les équations
3oo FIGURES D’ÉQUILIBRE D’UNE MASSE LIQUIDE EN ROTATION.
relatives aux figures annulaires, où la constante C de (5) n’est plus nulle et où nous retrouverons également le paramètre A.
De plus le dénominateur de (9) s’annule toujours pour <];(#):= 1 , c’est-à-dire x — a, où l’on = — 00. Or on voit facilement qu’on a toujours, en dehors de cette valeur, i} pour h< 4- La
tangente y' ne prendra pas d’autre valeur infinie dans l’intervalle considéré A <2, 32.
L’équation (9) définira parfaitement la courbe méridienne.
112. S’il n’y a pas de pression extérieure la figure reste convexe. — L’expression (7) devient, en introduisant A,
(12) p0— Pi= -^-(1 — A).
11 faut que p0, la pression interne sur l’axe, soit toujours positive ou nulle. Si la pression extérieure est nulle, p 1 = o, (12) montre qu’il faut avoir A^i. La figure reste convexe d’après la discussion précédente. Il ne peut pas y avoir d’anneaux. C’est donc l’action de la pression extérieure qui creuse la masse autour de l’axe de rotation, où la force centrifuge est la plus faible, et conduit à la formation des anneaux.
Si la pression extérieure />, n’est pas nulle, la condition (12) devient pour p0> o
Or au pôle, pour x — o, les rayons de courbures sont égaux, R = R/= R0. La formule (2), d’après (7) ou (12), donne
Au moment de la formation des anneaux, la surface est concave au pôle, on a R0 négatif. De plus on démontre que le rayon de courbure est égal alors à 1,27 r, où r est le rayon de la sphère ayant le même volume que la masse. On a donc
-Ko*
pil
Dans les expériences de Plateau, cette pression minimum, néces-
