CHAPITRE IX. — FIGURES D’ÉQUILIBRE, ETC

En intégrant de o à cp cette expression on obtient

tang2 - dy ° 2

\/i — c2 sin'2 9

2 tang ^ \J i — c2 sin2 œ -+- F(c, cp) — 2 E(c, 9).

F(c, cp) et E(c, cp) représentent les intégrales de première espèce et de deuxième espèce de Legendre, calculables par les tables.

Cette dernière expression, portée dans (22), donne pour la valeur de l’ordonnée du méridien

(23) ^ = \/XE(c, 9) — v/X tang^ \/i— c2 sin2 9— ^"L.1 F(c, 9),

cp est la fonction de t ou de ^ définie ci-dessus (21). Pour chaque valeur de x , on aura une valeur et une seule pour y (fig- 54).

115. Pour la même valeur du paramètre unique h , toutes les figures d’équilibre sont semblables. — En effet, d’après la formule (23), y ne dépend que de X, c, h et cp. Or les constantes X et c ne dépendent que de h , et cp ne dépend que de t et de X, c’est-à dire de ^ et de h. L’expression (23) est donc une fonction

de h et de - seuls

Par conséquent, pour deux figures d’équilibre correspondant à deux valeurs égales de h (10), la densité p, la vitesse de rotation co, l’axe équatorial a, la tension superficielle /*, étant tous différents dans les deux cas, à toute valeur de ^ correspondra la même valeur de ^ dans les deux cas d’après (24). En prenant le rayon équatorial a comme unité, les équations de la courbe méridienne d’équilibre sont identiques (24, 2). Les deux courbes méridiennes et les deux surfaces d’équilibre sont identiques. Pour une valeur donnée de h toutes les figures d’équilibre sont homothétiques à l’une d’entre elles, celle où l’on aura fait a = 1 par exemple, et le rapport d’homothétie de chacune d’elles par rapport à celle-ci sera égal à a .

3o4 FIGURES d’équilibre d’une masse liquide en rotation.

Pour connaître exactement toutes les figures d’équilibre, comprises entre la sphère et celle qui aboutit à un anneau, il suffira de calculer par la formule (23) les courbes méridiennes correspondant à autant de valeurs de h que l’on voudra, comprises entre o et 2,32 valeurs limites de h , en y faisant a = i .

Après avoir déterminé ainsi la forme de chacune de ces figures, on les obtiendra en vraie grandeur en calculant la valeur de «, qui correspond aux données du problème dans chaque cas particulier, pour telle vitesse de rotation co par exemple.

116. Étude de la variation du rayon polaire. — Le rayon polaire b est la valeur de y sur l’axe de rotation. Il s’obient en faisant x — o dans l’expression (20), (23) ou (24) d e y

CD (l) dt — ty-(t)

^ est donc fonction uniquement de h et se calcule comme y.

D’autre part, en dérivant (25) sous le signe somme, par rapport à h , on obtient d’après (19)

d b dh a

y rv (t-i)dt 2 -A [i<lpJ(t)]5

Cette expression est toujours négative, car tous les éléments différentiels sont négatifs, puisque l'on a t < 1 pour x compris entre o et a limites d’intégration.

Le rayon polaire b décroît donc continuellement, quand le paramètre h croît. Pour h — o, on a b — a, et cp (t) 1 = 1 , d’où

d b 1 rv dt b

dh a~ -ij0 s/l—i ~ a

La tangente à la courbe de b fait un angle de 45° avec les axes.

On trouve ensuite par des tâtonnements sur différentes valeurs de h que b — o pour h = 2, 32. Pour cette valeur du paramètre le rayon polaire devient nul, la masse se transforme en une figure annulaire.

La variation de b : a par rapport à h est représentée par la