CHAPITRE IX. — FIGURES D’ÉQUILIBRE, ETC. 3o

courbe de la figure 55. Cette variation est sensiblement linéaire à

Fig 55.

partir de la valeur h = i, c’est-à-dire pour les figures qui sont creusées aux pôles.

117. Étude de la variation de la vitesse de rotation. Maximum de cette vitesse. — Le paramètre h contient c o2a3. Le calcul du volume invariable Y de notre masse liquide, contiendra a3 et permettra d’éliminer a3 de h et des autres expressions en h. Nous obtiendrons alors oo2, ou la vitesse de rotation ca en fonction du seul paramètre h.

En coupant notre masse liquide de révolution en tranches élémentaires normales à l’axe de rotation, et d’épaisseur dy on aura

a3 r1 tiwdi 9

J0 \Ji — i ?2(0

La formule est encore valable pour les surfaces concaves autour de l’axe de rotation, où les sections normales à l’axe peuvent couper deux fois la courbe méridienne.

Or on a identiquement

1 (1 — h) <p (t) -h 3 ht <p(£ )

En intégrant cette expression de o à 1 et tenant compte de (27) on a

1 = (1 — h) — - h — ■ , v a 2 rca3

APPELL

3o6 FIGURES D’ÉQUILIBRE D’UNE MASSE LIQUIDE EN ROTATION.

remplaçant h par sa valeur (io) dans le dernier terme, on obtient o)2pV où pV est égal à la masse M, d’où finalement

b : a est fonction uniquement de h d’après (25). Il en est donc de même de la vitesse de rotation w, d’après (29). Cette formule permet de la calculer facilement pour chaque valeur de h , parla même formule <ï>, qui donne y et b.

En dérivant co2 par rapport à h 011 a

3 M dm- b , d b

16 f dh a • dh a

Pour a) — o on a h — o, et b — a puis ^ ~ — — 1 d’après (26').

Le second membre de (3o) est égal à 2. La courbe de o> par rapport à h part de l’origine avec cette valeur de la tangente.

On peut calculer ensuite w en fonction de h au moyen de (26) et (26). On démontre que la dérivée seconde est toujours positive. La courbe tourne toujours sa concavité vers le bas. Elle a donc un maximum.

La vitesse de rotation a un maximum qui est déterminé par la valeur 1,662 de h qui annule le second membre de (3o). Cette

Fig. 56.

valeur de h et celle de w2 qui lui correspond se calcule par des approximations successives :

La vitesse de rotation diminue ensuite à partir de cette valeur de