CHAPITRE IX. — FIGURES D’ÉQUILIBRE, ETC

celle qui donne le volume de la masse, quantité donnée. On a

(53 ) Y = 2 7c Ç x- cly — 2 x a3 f ^ cl - = 2 ira3 F (h, — \ >

F est la fonction qui représente l’intégrale hyperelliptique, dont l’élément d’intégration est le même que celui de dy , multiplié par x 2. Gomme l’intégration se fait de à a, on obtient une expression F uniquement fonction de h et de C~ comme pour <ï> de (4q) 7

car l’intégrale est fonction uniquement de h, et ^ et dans la seconde limite on fait ici x = a'.

Ayant déterminé, au moyen de <I> (49)5 les valeurs de a! \a correspondant à une valeur de h, ou inversement la valeur de h correspondant à une valeur de a', la formule (53) nous donnera la valeur de a, correspondant à une valeur quelconque de h ou de a', c’est-à-dire la grandeur vraie de l’une quelconque de nos figures d’équilibre

On a en dérivant

ôa ^ V dF d F OF da'

à h 2 tu F2 dh ’ dh~ à a dh à h

On démontre que ^ est toujours positif, comme ce qui est

évident, puisque F ne diffère de <I> que par le facteur a?2 : a2 qui ne contient pas h.

Ces formules et les développements en série, permettent de démontrer qu’à partir de la formation de l’anneau a' =? o, le rayon extérieur a décroît et assez rapidement, en même temps que A, mais moins longtemps que celui-ci. Gomme le rayon intérieur ar croît au contraire et assez vite, on voit que l’anneau, au moment de sa formation, se contracte brusquement sur lui-même. Sa section méridienne, d’abord allongée vers l’axe de rotation qu’elle quitte, prend très rapidement une forme elliptique, presque circulaire, alors que le centre de cette section ne se déplace presque pas.

G’est un phénomène très curieux de brusque contraction, sous l’action de la tension superficielle, quand la dernière membrane

centrale, qui empêchait la formation de l’anneau, vient à se rompre, phénomène très bien analysé dans toutes ses phases par le calcul mathématique. C’est un phénomène analogue à celui de la division d’un mince filet fluide en gouttelettes. Le calcul démontre d’ailleurs que les figures d’équilibre sont instables au voisinage et au moment de la formation de l’anneau. On comprend qu’il y ait passage brusque d’une forme à l’autre. L’expérience montre également que le passage d’une forme à l’autre est très rapide, pour aboutir à des formes plus stables.

Le grand axe a, qui était égal à 1,67 du rayon de la sphère primitive au moment de la formation de l’anneau point C, se contracte à i,43, c’est-à-dire à 0,84 de la valeur précédente, ou de 0,16, puis croît ensuite indéfiniment (courbe CDa, fig. 5o)..La

Fig. 59.

courbe ABC représente la variation de a par rapport à la vitesse de rotation <*), pour les figures non annulaires, le point de départ étant en A, ou 1 , pour la sphère, avec <0 = o.

127. Variation de la vitesse de rotation &). — Après avoir déterminé le rayon équatorial a, on peut tirer la vitesse de rotation de la valeur du paramètre A, comme dans le premier cas

, po o2 a3 pto2 V „ 167: fF h

La fonction F permet de déterminer ses valeurs et sa variation.

La vitesse de variation croît d’abord au moment delà formation de l’anneau et de sa contraction brusque, sans atteindre tout à fait sa valeur maximum du cas précédent. Son maximum actuel est atteint environ quand a a effectué la moitié de sa contraction.