CHAPITRE IX. — FIGURES D’ÉQUILIBRE, ETC. 3l

Tous les éléments d’intégration dans (52) sont donc positifs, et la dérivée ^ est toujours positive, avec a <[ i. Ainsi a\ ou a! : a,

étant donné, croît constamment avec h. 11 y a donc toujours une valeur et une seule de h qui annule et donne une figure d’équilibre d’après (49).

Prenons a' et comme axes de coordonnées et traçons les courbes de pour différentes valeurs de h ( fig . 07).

On voit d’abord sur la formule qui donne <1> que pour d=a ou a! — 1, on a $ = o quelle que soit la valeur de h. Toutes les courbes passeront donc par le point A, situé sur l’axe des a', avec OA = 1 .

Pour h = 2,32, l’anneau se forme et a — o. La courbe part de l’origine. On la construit point par point, au moyen des développements en séries. Elle monte d’abord, passe par un maximum, et redescend en coupant l’axe a au point B, puis se termine au point A.

Cette valeur de h donne donc trois racines de en a', et trois figures d’équilibre différentes : la première figure annulaire, où le rayon intérieur de l’anneau est nul, a\ — o, point O; la figure annulaire extrême, avec a très grand et d très voisin de a} c’est-à-dire a— 1, point A; enfin une troisième figure annulaire correspond au point B, où l’on a environ a'2 = 0,9a.

D’après la démonstration faite plus haut, où est toujours positive, la valeur de O doit croître avec h. Par conséquent pour

3l6 FIGURES D’ÉQUILIBRE D’UNE MASSE LIQUIDE EN ROTATION.

toutes les valeurs de h plus grandes que 2,32, la courbe des valeurs de <ï> sera tout entière au-dessus de la courbe type précédente, courbe H2EA par exemple. La fonction O, en dehors de cl — 1, n’aura qu’une racine correspondant au point E. Il n’y aura qu’une valeur de a! correspondant à cette valeur de h et une seule ligure d’équilibre.

Au contraire pour les valeurs de h plus petites que 2,32, la courbe de sera tout entière au-dessous de la courbe type, en H,CC'A par exemple. Elle coupe l’axe de deux points G, G'. Elle déterminera donc deux valeurs de a\ racines de O et deux figures d’équilibre pour cette valeur de h. Ges racines sont intérieures à celles de la courbe type et se rapprochent l’une de l’autre à mesure que la valeur de h décroît. On a une racine double pour h = 0,9 avec a! : a == o,54, où a! atteint déjà les 9 dixièmes du rayon primitif de la sphère.

La courbe des variations des valeurs de a' : a par rapport à h est donnée par la figure 58, O'CDC'BA, où les points représentent

Fig. 58.

les mêmes valeurs que les mêmes points de la figure 5n, on a mis seulement O' au lieu de O, pour h = 2,82. De plus, le point A de la figure 5 7 serait représenté par tous les points de la droite AA', puisque a! — 1 est solution de quelle que soit h.

126. Détermination du rayon extérieur a de l’anneau et de sa variation. — Comme dans le premier cas, après avoir déterminé la forme des figures d’équilibre au moyen de a’ :a et h , d’après les formules et les discussions précédentes, on calculera la vraie grandeur de ces figures en déterminant a par une nouvelle relation,