CHAPITRE II. — ATTRACTION ET POTENTIEL

2° Système continu de masses attirantes. — Soient T Je volume d’un corps attirant et p la densité variable en chaque point de ce corps attirant. Considérons un élément infiniment petit dz de ce volume; en ce point, la densité est p et l’élément de masse dm = p dz. Désignons par V la valeur du potentiel en M, centre de gravité de l’élément dz. Ce potentiel diffère infiniment peu du potentiel enM dû au corps dont on aurait retiré l’élément dm. On a donc pour l’énergie totale

W = - f V dm — - f 0 V clx,

l’intégrale étant étendue au volume attirant. On peut dire aussi que l’intégrale est étendue à tout l’espace, puisque la densité est nulle en dehors du corps.

On a également en tout point de l’espace, même en dehors du corps,

(3o) AV = — 4 Tcp? W = — ~ (\k\dx)

mais on a, d’après (i3),

Ici, l’intégrale est étendue à tout l’espace. Les dérivées premières de V sont, à un facteur près, les projections de la force attirante qui existe dans tout l’espace.

On peut d’ailleurs écrire, en introduisant cette force,

<îa> MïMë )2+(£)2’ w = ^/Fî

dz.

Calculons, par exemple, l’énergie potentielle d’une sphère attirante de rayon a; nous mettrons en évidence les dimensions de l’énergie. On a

W = - p ( V dz, V = 2 je a2 p — ^ Tzr~o.

Puisque V ne dépend que de r, on peut prendre pour élément de volume le volume compris entre deux sphères concentriques de

rayons /* et r -f- dr ayant même centre que la sphère considérée

ch = 4 ^ r2 dr,

W = 4 je2

ci 2 r2 c/r —

Ainsi l’énergie est de dimension îî par rapport à la densité, de dimension 5 par rapport aux longueurs.

On peut aussi calculer W en partant de l’expression en fonction de la force F. Il faut alors décomposer l’intégration en deux, car F n’a pas la même expression analytique à l’intérieur et à l’extérieur de la sphère

Fi= Fe=jxp-.

Le calcul de W peut aussi se faire dans le cas d’un ellipsoïde homogène pour un point intérieur

x~ ch — B J" y- d'i — C

Le coefficient de K, c’est le volume de l’ellipsoïde ; les coefficients de A, B, C sont les moments d’inertie de l’ellipsoïde supposé de densité i par rapport aux trois plans de coordonnées.

V = jr abc p ( K — À x- ■ — B y'1 —

(33HW|>/V*

= izp^abc J' ch — A J '

Energie relative de deux corps différents , ou encore Energie mutuelle ou Energie potentielle réciproque. — Considérons deux corps T1 et T2, à l’intérieur desquels la densité est respectivement p, et p2. Cherchons l’énergie totale de ce système.

Soient V { le potentiel dû au corps Ti et V2 le potentiel dû au corps T2. Le potentiel total en un point quelconque sera

V = Vi-h v2

et l’énergie totale

pY ch

= lf

= PiV4 dx + l ff\, dx + jTpiV,

ch -

Yx ch,

W = Wi+ W2+ W12.