CHAPITRE II. — ATTRACTION ET POTENTIEL

W| est l’énergie potentielle du corps T1 considéré isolément, W2 celle de T2 ; W)2 désigne le groupe des deux dernières intégrales que nous appellerons V énergie relative des deux corps. C’est la partie de l’énergie totale du système que l’on obtient en associant un élément m, de T, avec un élément /??* de T2, c’està-dire, symboliquement,

\ y mtmk

2 ^ Hk

Or, on a vu (p. 23) que

(35) . f ?{\, ch = f p 2 V i dt ,

J Tj J X2

d’où

« Jr£l i/J

Le calcul de l’énergie relative de deux sphères homogènes extérieures l’une à l’autre est très simple. En appelant O, et 02 les centres, M* et M2 les masses des deux sphères, on obtient

Wj2 =

M, M, Oa 02 ‘

Cela provient de ce que la sphère, au point de vue de son attraction, peut être remplacée par une masse égale placée en son centre.

Le calcul de l’énergie relative de deux ellipsoïdes homogènes a été fait par Laguerre ( Œuvres , t. I, p. 4^5; ou Comptes rendus de V Académie des Sciences , t. CÏI, 1886). Les résultats seuls sont donnés; Laguerre recourt aux imaginaires par une méthode assez obscure. Cette méthode demanderait à être éclaircie par de nouvelles recherches.

12. Problèmes de maximum. — Nous avons étudié l’attraction, le potentiel et l’énergie d’une masse attirante; à ces trois objets se rattachent trois problèmes de maximum, dont nous allons étudier les solutions.

i° Solide de plus grande attraction. — Etant donnée une masse homogène de densité p et de volume T, et un point P,

APPELL. — IV

comment faut-il disposer cette masse, quelle forme lui donner et où la mettre pour que l’attraction sur P soit maximum?

a. P doit être sur la surface, car, s’il était à l’extérieur, en rapprochant la masse on augmenterait l’attraction; s’il était à l’intérieur, on augmenterait encore l’attraction en reportant dans la direction de la résultante la partie de la masse située à l’opposé par rapport à P.

b. Quelle doit être la forme de cette surface? Voici un raisonnement de Joseph Bertrand basé sur l’intuition, mais peu rigoureux ( Traité de Calcul différentiel et intégral , t. II). Tisserand a donné une solution rigoureuse dans sa Mécanique céleste , t. II.

Soit donc un point P sur la surface du solide de plus grande

Fig. 1 3.

attraction. Soit P# la résultante générale de l’attraction de tous les éléments sur P (/££•. i3).

Soit M un élément de masse m de la surface. L’attraction de M sur P et la projection de cette force sur P# sont

m fi.

Fx. = — / — p cos 0.

Soient maintenant M'un autre élément de la surface et m sa masse, égale à la première, r' et 9' la distance PM’ et l’angle M'P.r; on a de même

Ces deux composantes doivent être égales, car si F^>* F*1 j’a«g-