CHAPITRE III. — ELLIPSOÏDES DE MACLAURIN ET DE JACOBI

L’équation précédente exprime que le second membre doit être une différentielle totale quand t est traité comme une constante. Il faut et il suffit pour cela que le terme contenant p\ q\ r' soit une différentielle totale, car les autres le sont déjà. La condition pour que cela soit est

J-C? -a — ry)= ^(rx-hpz) ou — r=-+-r, r = o.

On aurait de même p = o et q' — o. Ainsi p , q, r sont constants. L’équilibre ne peut avoir lieu que si la rotation est constante. L’axe de rotation est fixe par rapport aux axes mobiles; il est donc fixe dans l’espace.

La rotation se fait autour d’un des axes principaux d’inertie. En effet, les équations du mouvement se réduisent à

.(47) (G — iï)qr == o, (A — C)rp = o, (B — \)pq = o.

Si l’ellipsoïde d’inertie n’est pas de révolution, ou bien q — o et r — o, et les trois équations sont satisfaites; ou bien q — o et r ^ o et la seconde équation exige alors p = o; ou encore — o et q^é. o, et l’on a p = o. Ainsi la rotation se réduit à une seule des composantes suivant l’un des axes.

Si l’ellipsoïde d’inertie est de révolution, supposons A = B, l’axe de révolution est G z ; alors, ou bien p == o et q = o, et l’axe de rotation est G^; ou bien p et q ne sont pas tous deux nuis, et alors r — o et l’axe de rotation est situé dans le plan des xy, et l’on sait que tout axe de ce plan est un axe principal d’inertie. En particulier, on pourrait prendre cet axe de rotation pour axe Gx.

17. Conditions de stabilité. — Il ne suffit pas que le mouvement soit possible, il faut qu’il soit stable. Pour un corps solide, il j a trois mouvements permanents possibles. Ces mouvements sont des rotations autour des axes principaux d’inertie. Le mouvement est stable quand la rotation a lieu autour du grand axe ou du petit axe. Il est instable autour de l’axe moyen. Pour un fluide, le mouvement autour de l’axe moyen sera instable à plus forte raison, car il s’introduit ici des conditions supplémentaires, en plus de celles des corps solides.

Le seul mouvement possible est donc une rotation uniforme

autour d'un axe fixe , l’axe de rotation étant confondu avec le grand ou le petit axe d’inertie.

Nous sommes donc amenés au problème particulier suivant, qui fera l’objet de notre étude :

Considérons une masse fluide tournant à vitesse constante autour d’un axe fixe G;. Soient Gxu Gy\ deux autres axes fixes, et Gx , G y des axes entraînés dans le mouvement de rotation, et coïncidant avec les axes principaux d’inertie.

Ecrivons que le liquide est en équilibre relatif par rapport aux axes mobiles Gx , Gy. Gz. Les composantes delà force centrifuge par unité de niasse sont alors co2#, u2y et zéro. L’équation d’équilibre s’écrit

-p drj =/(^ dx + dJy dr ÿ- + “H* dx -+-rdr),

et en intégrant

Sur la surface libre, la pression est nulle ou constante, soit/?0 = G' ; l’équation de la surface libre sera

11 faudra donc chercher quelle forme on doit donner à la masse fluide pour que, V désignant le potentiel dû à cette masse, l’on ait cette relation à la surface en chaque point, en supposant w donné.

Théorème de Poincaré. — La pression extérieure étant nulle, l’équilibre est impossible, quelle que soit la forme extérieure, si l’on a

co2

c’est-à-dire, pour parler un langage vulgaire, si le corps tourne trop vite. En effet, si le corps tourne de plus en plus vite, la force centrifuge périphérique finira par équilibrer l’attraction, puis par la dépasser. Les éléments superficiels tendraient alors à quitter la masse.