CHAPITRE III. — ELLIPSOÏDES DE MACLAURIN ET DE JACOBI
Sur la surface p = o, et comme la pression est essentiellement positive à l’intérieur, elle croît quand on s’éloigne de la surface,
vers l’intérieur, c’est-à-dire qu’en tous ses points est positif. L’équation d’équilibre
dp = p d\J, ù U =/V -+- ~ O2 H- y2),
donne
dp dU '
drii ‘ drii ’
est donc positif en tous les points de la surface. Par conséquent, est négatif en tous les points de la surface, puisque U
est continu ainsi que ses dérivées premières. Appliquons alors le théorème de Green au volume total et à la fonction U, on a
Xau ch =/ £ d° ou (2“2— 4îc/p)frfx =1 £
Le second membre est négatif; il faut donc 2w2 — 4^/p<C0>
dU . ... , dU
autrement en certains points serait, positil, par conséquent
serait négatif et l’équilibre y serait impossible. Pour le rendre possible, il faudrait aj outer à l’extérieur une certaine pression.
Cette limite de Poincaré a été abaissée par Crudeli(1), qui a réussi à démontrer, en supposant que la surface libre soit convexe , que l’on doit avoir
18. Ellipsoïdes de Maclaurin. — Nous allons étudier maintenant les diverses formes d’équilibre; dans l’ordre historique, la première forme indiquée par Maclaurin est l’ellipsoïde de révolution. On l’appelle souvent l’ellipsoïde de Maclaurin.
Le potentiel de l’ellipsoïde de révolution pour l’intérieur, celui (*)
(*) Rendi Conti Acad, dei Lincei, 1910, p. 666.
qui nous intéresse ici, est
V = TZabcp r (l ~~ — r~ — J /--y ,
J0 \ a2-b X b--hX c-H-X/^/ç^x)
Si l'ellipsoïde est de révolution a = b, on aura
V = ~a2cp
Jq \ a~ -h X c-- h X / (a2+ X) X
L’intégrale elliptique se réduit alors à des intégrales élémentaires. Les composantes de l’attraction sont
X=/^=— Vx, Y=/^=— Vy, Z=/^-=— Rz.
J dx ’ '7 <?y • ^ cte
Les coefficients P et R ayant les valeurs
P = it. a- cf ? f — ,
dX
R = 2 tz a- cf ç> J'
L’équation d’équilibre relatif par rapport aux axes G#, G y entraînés dans le mouvement de rotation est
(~ — — P (a? dx -f- y dy) — Hz dz -f- oï2(x dx -f- y dy).
La force qui agit sur l’élément de masse-unité est, en effet,
— Px -h o)-x, — P y -f- io2y, — R s.
En intégrant, on a
f *-i[(p-^)(^+ri)+ y2]+c.
On obtient ainsi la pression à l’intérieur de l’ellipsoïde et à la surface, et les surfaces d’égale pression ont pour équation p — const., c’est-à-dire
(P — to2) (#24-y2) -T- R s2 = G.
