CHAPITRE III. — ELLIPSOÏDES DE MACLAURIN ET DE JAC0B

maximum de Maclaurin. C’est d’ailleurs un ellipsoïde de révolution pour lequel l’aplatissement e serait voisin de

La courbe dans V espace (Jig- 19) s’obtiendra en prenant un point R de la courbe précédente et en élevant une ordonnée RJ == h = 9 (s, t)t valeur essentiellement positive :

a. h est symétrique en s et t. La courbe gauche est donc symétrique par rapport au plan A OS. Il suffira d’en construire la moitié. Partons de A, on a t — o et s — 1 ; A, qui contient 5 et / en facteur, est donc nul.

b. Quand s croît, h croît constamment jusqu’à ce que s atteigne la valeur t0.

Pour s — t, on a /0:= 0,3396; on obtient alors h — 0,1871. C’est le maximum de A que nous représentons par le point E.

Pour avoir les ellipsoïdes qui correspondent à une certaine valeur de c*>, il suffit alors de chercher sur la courbe les points

cotés h — • Le plan horizontal de cote h coupe la courbe

en deux points J' et Y symétriques par rapport au plan A OS, auxquels correspondent sur le plan les deux points R' et R" symétriques par rapport à OS.

En résumé : i° La condition d’existence des ellipsoïdes de Jacobi est

tu*

Tant que l’on a h < h() —0,187, à chaque valeur de c*> correspondent en apparence deux ellipsoïdes de Jacobi; mais ces deux ellipsoïdes sont identiques, car si la première solution est s — s' et t = t\ la seconde sera s — t’ et t = sr. C’est le même ellipsoïde : on a seulement permuté les axes de coordonnées y et x. En effet, c ne change pas, a et b s’échangent entre eux; l’ellipsoïde a donc

tourné de ^ autour de son petit axe.

20 Si h = o, 1 87, il y a une solution pour laquelle s= t — o,33g6.

APPELL. — IV

Les deux axes a et b deviennent égaux. L’ellipsoïde de Jacobi devient, dans ce cas limite, un ellipsoïde de révolution particulier que nous désignerons par E. C’est certainement en même temps un ellipsoïde de Maclaurin, puisque notre analyse nous a donné tous les ellipsoïdes de révolution qui peuvent exister comme figures d’équilibre. E a ceci de remarquable que cet ellipsoïde appartient aux deux séries d’ellipsoïdes, ceux de Maclaurin et ceux de Jacobi. Il établit le passage des uns aux autres.

3° Si l’on a h >> 0,187, il n’y a plus d’ellipsoïdes de Jacobi possibles.

4° Que se passe-t-il si co tend vers zéro? Dans le cas des ellipsoïdes de Maclaurin, nous avons trouvé une sorte de disque très plat et de très grand rayon. Ici, nous avons une figure très différente. En effet, pour c*> = o, on a h — o, d’où s = o et t — 1, ou t = o et s= :i, ce qui donne le même ellipsoïde. Or, si s est

nul, c est nul. a est infini, b est nul et - tend vers un. Ainsi donc.

quand co tend vers zéro, le grand axe augmente indéfiniment, le petit et le moyen tendent vers zéro, pendant que leur rapport tend vers l’unité. La forme d’équilibre est alors une sorte d’aiguille sensiblement ronde et très allongée. La vitesse angulaire autour de Oz est très faible.