CHAPITRE Kl. — ELLIPSOÏDES DE MACLAURIN ET DE JACOBI

et dt, on peut écrire

dh f /de \1 dh

si

dl

avec t < o ; ds

d/i est positif et h croissant pour s <.t = t0. 11 est négatif et h décroissant pour s t . h est maximum pour s = t — t{].

3° Détermination de £0 et A0. — Pour s = t = t0, les deux équations fondamentales deviennent

ll o-

x dx

- t0xy ï -h x

, , . /* ” x dx /* 39 x'2 dx

= (I — 2t0) J *ii— / 7=°*

On pourrait les intégrer en les décomposant en fractions rationnelles. Mais on a un ellipsoïde de révolution et il est plus simple de revenir aux notations de ce cas particulier. On pose

On a, en remplaçant i -\-x par et supprimant des facteurs dans <L,

, ( 70N flX*(l -’r-X2)

^ rx x2{ i — x2)(i — V'x2)

Or, on peut écrire

dx,

dx — o.

1 x 2 dx l2x'2

: il* f + **(.+ /•) f

1 3x2 — (5 H- l2)xi — t2x6 (i -+- ï2x2)3

dx.

La dernière intégrale i ^ | est nulle aux deux limites et

^ = o. Il vient

i -f- 3 1'2 , f 1 x2 dx l — arc tan® l

Or, pour un ellipsoïde de révolution, on a

h0— — ^ — arc tang Z —

On en tire, en éliminant A0,

F = arc tang Z — Z -

Pour 1 = o, l’expression du premier membre est nulle. Sa dérivée est

Pour /< i, cette dérivée est d’abord négative, puis positive pour l^> i. La fonction F, nulle pour 1 = o, est d’abord décroissante et négative, puis pour î elle devient croissante et tend

vers ^ • Elle a donc une racine et une seule pour l >> i . Cette

racine l est déterminée par l’équation F = o. En tenant compte de la valeur correspondante de arc tan gl, on obtient

Les calculs donnent

Pour qu’un ellipsoïde à trois axes soit possible comme figure d’équilibre, il faut donc que l’expression —~f0 s0li inférieure

à 0,1871. Cette valeur est plus petite que celle qui correspond au